概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)0001

1、基本公式要掌握首先必須會(huì)計(jì)算古典型概率，這個(gè)用高中數(shù)學(xué)的知識(shí)就可解決，如果在解古典概率方面有些薄弱，就應(yīng)該系統(tǒng)地把高中數(shù)學(xué)中的概率知識(shí)復(fù)習(xí)一遍 了，而且要將每類型的概率求解問題都做會(huì)了，雖然不一定會(huì)考到，但也要預(yù)防 萬一，而且為后面的復(fù)習(xí)做準(zhǔn)備。第一章內(nèi)容:隨機(jī)事件和概率也是后面內(nèi)容的基礎(chǔ)，基本的概念、關(guān)系一定要分辨清楚。條件概率、全概率公式和貝葉 斯公式是重點(diǎn)，計(jì)算概率的除了上面提到的古典型概率，還有伯努利概型 和幾何概型也是要重點(diǎn)掌握的。第二章是隨機(jī)變量及其分布磔機(jī)變量及其分布函數(shù)的概 念、性質(zhì)要理解，常見的離散型隨機(jī)變量及其概率分 布：0-1分布、二項(xiàng)分布B(n,p)、幾何分布、超幾何

2、分布、泊松分布P0)；連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度的 概念;均勻分布U(a,b)、正態(tài)分布N(p,o2)、指數(shù)分布 等，以上它們的性質(zhì)特點(diǎn)要記清楚并能熟練應(yīng)用，考 題中常會(huì)有涉及。第三章多維隨機(jī)變量及其分布，主要是二維的。大綱中規(guī)定的考試內(nèi)容有： 二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分 布，二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度，隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性，常用二 維隨機(jī)變量的分布，兩個(gè)及兩個(gè)以上隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函 數(shù)的分布。第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征，這部分內(nèi)容掌握起來不難，主要是記憶 一些相關(guān)公式，以及常見分布的數(shù)字特征。大數(shù)定律 和中心極限定理這部分也是在理解的基礎(chǔ)上以記憶

3、為 主，再配合做相關(guān)的練習(xí)題就可輕松搞定。數(shù)理統(tǒng)計(jì)這部分的考查難度也不大，首先基本概念都了解清楚。X2分 布、t分布和F分布的概念及性質(zhì)要熟悉，考題中常會(huì)有涉 及。參數(shù)估計(jì)的矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法，驗(yàn)證估計(jì) 量的無偏性、有效性是要重點(diǎn)掌握的。單個(gè)及兩個(gè)正 態(tài)總體的均值和方差的區(qū)間估計(jì)是考點(diǎn)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件一、給出事件描述，要求用運(yùn)算關(guān)系符表示事件：二、給出事件運(yùn)算關(guān)系符，要求判斷其正確性：概率古典概型公式：P (A) = A所含樣本點(diǎn)數(shù)Q所含樣本點(diǎn)數(shù)實(shí)用中經(jīng)常采用“排列組合”的方法計(jì)算 補(bǔ)例1：將n個(gè)球隨機(jī)地放到n個(gè)盒中去，問每個(gè)盒子恰有1個(gè)球的 概率是多少？

4、解：設(shè)A： “每個(gè)盒子恰有1個(gè)球”。求：P(A)=?。所含樣本點(diǎn)數(shù):A所含樣本點(diǎn)數(shù):n (n -1) (n 2) 二n!. P(A)=n!nn補(bǔ)例2：將3封信隨機(jī)地放入4個(gè)信箱中，問信箱中信的封數(shù)的最大 數(shù)分別為1、2、3的概率各是多少？ 解：設(shè)Ai ： “信箱中信的最大封數(shù)為i”。(i =1,2,3)求：P(Ai)=?。所含樣本點(diǎn)數(shù)：4 4 4 = 43 = 64A1所含樣本點(diǎn)數(shù)：4 3 2 = 2424二 P(A)二 一164A2所含樣本點(diǎn)數(shù)：C32 ,4 ,3 = 36 pP A2)=64916A3所含樣本點(diǎn)數(shù)：C14 = 44. P A3) = 64116注：由概率定義得出的幾個(gè)性質(zhì)：

5、1、0P(A)12、P(Q)=1, P(“)=01.3 概率的加法法則定理：設(shè)A、B是互不相容事件(AB=)，則：P (AUB) =P (A) +P (B)推論1：設(shè)A1、A2 An互不相容，則P(A1+A2+.+ An)= P(A1) + P(A2) + P(An)推論2：設(shè)A1、A2 An構(gòu)成完備事件組，則P(A1+A2+.+ An)=1推論 3： P (A) =1P (A )推論 4：若 B o A,則P(BA)= P(B)P(A)推論5(廣義加法公式)：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,有P(AU B)=P(A)+P(B)P(A B) 補(bǔ)充對(duì)偶律：A1 u A2 u. u A = AT c AT

6、c. c ATA1 n A2 n. n A = AT u AT u. u AT條件概率與乘法法則條件概率公式：P(A/B)= P(AB) (p(B)W0) P (B)P(B/A)= PAB)(P(A)W0)P (A)P (AB) =P (A/B) P (B) = P (B /A) P (A)有時(shí)須與 P (A+B) =P (A) +P (B)-P (AB)中的 P (AB)聯(lián)系 解題。全概率與逆概率公式：全概率公式：nP(B) = z p(A)P(B/A)i=1逆概率公式：P AJ B) =%(i=1,2,.,n)(注意全概率公式和逆概率公式的題型：將試驗(yàn)可看成分為兩步做，如 果要求第二步某事

7、件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件 發(fā)生條件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。)獨(dú)立試驗(yàn)概型事件的獨(dú)立性：A與B相互獨(dú)立 o P(AB) = P(A) P(B)貝努里公式加重貝努里試驗(yàn)概率計(jì)算公式）課本P24 另兩個(gè)解題中常用的結(jié)論一一1、定理：有四對(duì)事件：A與B、A與B、A與B、A與B， 如果其中有一對(duì)相互獨(dú)立，則其余三對(duì)也相互獨(dú)立。2、公式：P（A u A 5.u A ） = 1 - P（A A A）窠二章被機(jī)變要及其分布、關(guān)于離散型隨機(jī)變量的分布問題1、求分布列：確定各種事件，記為匕寫成一行;計(jì)算各種事件概率，記為p k寫成第二行。得到的表即為所求 的分布列。注意：應(yīng)符合

8、性質(zhì)一一1、Pk之0 （非負(fù)性）2、E Pk = 1 （可加性和規(guī)范性）k補(bǔ)例1：將一顆骰子連擲2次，以匕表示兩次所得結(jié)果之和，試寫出匕的概率分布。解：。所含樣本點(diǎn)數(shù)：6X6=36所求分布列為：自23456789101112Pk1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36補(bǔ)例2： 一袋中有5只乒乓球，編號(hào)1, 2, 3, 4, 5,在其中同時(shí)取3只，以匕表示取出3只球中最大號(hào)碼，試寫出匕的概率分布。解：。所含樣本點(diǎn)數(shù)：c 3 =105所求分布列為:2、求分布函數(shù)F(x)：分布函數(shù)F (x) = P x =工 pk xk x二、關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

9、問題：vxR,如果隨機(jī)變量匕的分布函數(shù)F (x)可寫成F (x)x 0j+% (x) dx = 1一8Pa b = Pa 匕 b = F(b) - F(a) = J 純(x)dx a第三章隨機(jī)變量數(shù)字特征一、求離散型隨機(jī)變量匕的數(shù)學(xué)期望E匕=？數(shù)學(xué)期望(均值)E 自=z x pk二設(shè)匕為隨機(jī)變量，f(x)是普通實(shí)函數(shù)，則n =f(也是隨機(jī)變量，求 En=?己xix2 xkPkPiP2 pkn =睢)x yk以上計(jì)算只要求這種離散型的。補(bǔ)例1:設(shè)匕的概率分布為:己10125Pk513A130求：”=:一1 ,封=己2的概率分布；E丑。解：因?yàn)榧?0125Pk51313010n=1121013n=

10、12101425所以，所求分布列為:n=1121013Pk51313)130和：n=12101425Pk51310130當(dāng) n-i 時(shí)，En=E -1)=2X 1+(-1)X 1+0X _1+1X 上+ 3 X 上 5101010 210= 1/4當(dāng) n=12時(shí)，En=E&2=1x 1+0 x 1+1 x 1+4X 2+5 x 上 5101010410=27/8三、求匕或n的方差D匕=?Dn=?實(shí)用公式Dm=慶2 E2自其中，E2m = (Ew )2 = (Zx p )2,k kkE 匕 2=E x2 kpkk補(bǔ)例2：己202Pk0.40.30.3求：E W和D W解：E己=-2X 0.4+0

11、X 0.3+2X0.3=-0.2E己 2= (-2 ) 2 X 0.4+02 X 0.3+22 X 0.3=2.8D己=E 自 2 E2己=2.8 （0.2） 2=2.76第四章幾種重要的分布（6個(gè)）常用分布的均值與方差（解題必備速查表）名稱概率分布或密度期望、 、一,. 方差參數(shù) 范圍0-1分布二項(xiàng)分布Pi = k = Ckpkqnkn(k = 0,1,2,., n)n pn p q0p0,有Um P-p-耳= 1，則稱6是0的一致估計(jì)； n fg 人如果滿足E（0）=0，則稱0是0的無偏估計(jì)；如果01和02均是0的無偏估計(jì)，若D）D（0）,則稱01是 12121八比0 2有效的估計(jì)量。區(qū)間

12、估計(jì)：幾個(gè)術(shù)語一一 TOC o 1-5 h z 1、設(shè)總體分布含有一位置參數(shù)，若由樣本算得的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量 八八0 （x，x ）及0 （X，X ），對(duì)于給定的a（0a 1）滿足： 11n 21n HYPERLINK l bookmark73 o Current Document 八八P0 （X，X ）00 （X，X ） = 1a11n21n則稱隨機(jī)區(qū)間（0 ,0 ）是0的100 （1-a）%的置信區(qū)間，0和0 1212稱為0的100 （1-a ）%的置信下、上限，百分?jǐn)?shù)100 （1-a ） %稱為置信度（置信水平）。一、求總體期望（均值）E0的置信區(qū)間1、總體方差。2已知的類型據(jù)a ,得（U ）

13、=1 上，反查表（課本P260表）得臨界值U0 a2a置信區(qū)間（X-d, X +d）.1 Vn CX =Xi求d二U 一n i=1 ia、n補(bǔ)簡(jiǎn)例：設(shè)總體XN（r ,0.。9）隨機(jī)取4個(gè)樣本其觀測(cè)值為12.6,13.4, 12.8，13.2,求總體均值的95%的置信區(qū)間。解：.Ta=0.95,a=0.05(Ua) =1 a =0.975,反查表得:Ua=1.96 21*1X =_z X = _(12.6 +13.4 +12.8 +13.2) = 134 ii=1d二U 二=1.96X 巴=0.29a nn 丫4所以，總體均值的a=0.05的置信區(qū)間為:(X d, X +d) = (130.29

14、, 13+0.29)即(12.71, 13.29) 2、總體方差。2未知的類型（這種類型十分重要！務(wù)必掌握?。?jù)a和自由度n1 （n為樣本容量），查表（課本P262表）得一、1八一確定X = n i和S2 =i=1S求 d= ta (n -1) 寸(X - X )2 n -1 ii=1置信區(qū)間（X-d, X +d）注：無特別聲明，一般可保留小數(shù)點(diǎn)后兩位，下同。二、求總體方差。2的置信區(qū)間據(jù)。和自由度n1 （n為樣本數(shù)），查表得臨界值:x 2( n 一 D 和 X 2 (n 1)a和 a51 2上限）一、1 n Y確定x=n xii=1(n 1) s 2上限x 2 (n 1)a12置信區(qū)間(下限

15、寸(X Xi )2 i=1(n 一 1) s 2下限 x 2 (n 1)a2典型例題:補(bǔ)例1：課本P166之16已知某種木材橫紋抗壓力的實(shí)驗(yàn)值服從正態(tài)分布，對(duì)10個(gè)試件作橫紋抗壓力試驗(yàn)得數(shù)據(jù)如下（單位：kg/cm2）:482493457471510446435418394469試對(duì)該木材橫紋抗壓力的方差進(jìn)行區(qū)間估計(jì)（。=0.04）。解：。=0.04,又限10,自由度n1=9查表得，x：(n一 1) = x 0.02(9)=19.72;(n 1) = x 0.98(9)=2.532收=I x10 ii=1=10 (482 + 493 +. + 469) =457.5s 2 = 1 ( X x.)

16、2=4(457.5 482)2 + (457.5 493)2 + (457.5 469)2 i=1二1240.28(n 一 1) s 2上限% 2 (n 1)a1-29s 29 x 1240.28%2 (9) = -233 =4412.06(n 一 1) s 2下限 2 (n 1)a29s29x1240.28197 =566.630.98所以，所求該批木材橫紋抗壓力的方差的置信區(qū)間為（566.63, 4412.06）第九章 假設(shè)檢驗(yàn)必須熟練掌握一個(gè)正態(tài)總體假設(shè)檢驗(yàn)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)一般思路：1、提出待檢假設(shè)H02、選擇統(tǒng)計(jì)量3、據(jù)檢驗(yàn)水平a，確定臨界值4、計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值5、作出判斷檢驗(yàn)類型： 未知方差

17、。2，檢驗(yàn)總體期望（均值）口根據(jù)題設(shè)條件，提出H。 = %（ 已知）； Y-M選擇統(tǒng)計(jì)量上 一 t（n - 1）;s /、n據(jù)a和自由度n 1（n為樣本容量），查表（課本P262表）得tJn-1）；由樣本值算出X = ?和5 =?從而得到|，| = |予I;0 s/n作出判斷若F0| tJn -1）,則接受H0若It （n -1）,則拒絕H01 01 a0典型例題：對(duì)一批新的某種液體的存貯罐進(jìn)行耐裂試驗(yàn)，抽查5個(gè)，得到爆破壓 力的數(shù)據(jù)（公斤/寸2 ）為：545，545，530，550，545。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)爆 破壓認(rèn)為是服從正態(tài)分布的，而過去該種液體存貯罐的平均爆破壓力 為549公斤/寸2，問這種新

18、罐的爆破壓與過去有無顯著差異？ （a =0.05）解： H0: r = 549選擇統(tǒng)計(jì)量/尸 B t（n -1） s / Jn:a =0.05, n1=4,查表得：1005（4）=2.776又 X = 5 （545 +. + 545）=543s2= 1(545 - 545)2 +. + (543 - 545)2=57.54543 - 549M5 / .J5=1.772.776接受假設(shè)，即認(rèn)為該批新罐得平均保爆破壓與過去的無顯著差異。檢驗(yàn)類型:未知期望（均值）P,檢驗(yàn)總體方差。2根據(jù)題設(shè)條件，提出H0：。=。0 （。0已知）；選擇統(tǒng)計(jì)量X2（n-1） = （n-D.s2 ；O 2據(jù)a和自由度n1 （n為樣本容量），查表（課本P264表）得臨界值：為 2 (n - 1)和 % 2 (n - 1)； TOC o 1-5 h z 1 22由樣本值算出X =?和s =?從而得到%02( n - 1) = (n -2 ；若% 2 (n-1) / 2(n-1) /2 (n-1)則接受假設(shè)，否則拒絕！ aa.1-022補(bǔ)例：某廠生產(chǎn)銅絲的折斷力在正常情況下服從正態(tài)分布，折斷力方差。2=64,今從一批產(chǎn)品中抽10根作折斷力試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果(單位:公斤)：578，572，570，568，572，570，572, 596，584，570。 是否可相信這批銅絲折斷力的方差也是64?(a =0.0