數(shù)理方程與特殊函數(shù)：高維定解問題分離變量求解

1、1高維定解問題分離變量求解本次課主要內(nèi)容(一)、圓域上拉普拉斯方程定解問題分離變量求解(二)、高維混合問題分離變量求解2 一個(gè)半徑為0 的薄圓盤，上下兩面絕熱，圓周邊緣溫度分布為已知，求達(dá)到穩(wěn)恒狀態(tài)時(shí)圓盤內(nèi)的溫度分布。 (一)、圓域拉氏方程定解問題分離變量求解分析:(1)這是一個(gè)穩(wěn)態(tài)問題，所以溫度分布滿足拉普拉斯方程：3可設(shè)邊界條件為：引進(jìn)極坐標(biāo)變換：方程與邊界條件變換為：4(2) 圓盤中心溫度有限，于是有：(3) (,)與(,+2)是圓盤上同一點(diǎn)，于是有：解：定解問題為：51、分離變量：(5)代入(1)得：整理后可令比值為：6得兩個(gè)常微分方程如下：如何構(gòu)造固有值問題？2、求解固有值問題7(1

2、) 0時(shí)，令=2 得：結(jié)合周期條件，只能取正整數(shù)。于是得固有值：固有函數(shù)為：83、求方程(7)的解方程(7)是二階歐拉方程，結(jié)合有限條件有：(1)、對(duì)應(yīng)于0= 0，(7)的解為：由(8)得：D=0,于是有：9(2)、對(duì)應(yīng)于n= n2(n=1,2.)作變換：=et,(7)變?yōu)椋?7)的解為：由(8)得：Dn=0,于是有：104、求定解(9)與(10)可以統(tǒng)一寫為：一般解為：由邊界條件(2)得：11由傅立葉級(jí)數(shù)展開公式有：代入整理后得定解形式為：12例1 求定解問題 ： 解：這是圓域上拉普拉斯方程狄氏問題分離變量得一般解為：13由邊界條件得：由傅立葉展開公式得：所以定解為：14注：圓域、扇形域等圓

3、弧形邊界圍城的區(qū)域上的定解問題分離變量求解，要在極坐標(biāo)下進(jìn)行。求解時(shí)要注意自然條件的使用。例2 在扇形域0,00上求定解問題：15解：1、分離變量：(5)代入(1)得：整理后可令比值為：16得兩個(gè)常微分方程如下：如何構(gòu)造固有值問題？2、求解固有值問題17于是得固有值：固有函數(shù)為：183、求方程(7)的解方程(7)是二階歐拉方程，結(jié)合有限條件有：(7)的解為：194、一般解為：由另一邊界條件(2)得：將f()在0,上按奇式展開得：20所以定解為：例3 半徑為b的“無限長(zhǎng)”圓柱形接地導(dǎo)體，放置在均勻外電場(chǎng) E0 中，圓柱的軸線與E0 方向垂直。求電勢(shì)分布. xyzE021分析：這是一個(gè)穩(wěn)態(tài)場(chǎng)問題。

4、(1)、由于導(dǎo)體接地，所以，柱內(nèi)電勢(shì)為零；又由于柱外沒有自由電荷，所以，柱外電勢(shì)滿足拉氏方程，即：方程的柱面坐標(biāo)表示為：因?yàn)橹w無限長(zhǎng)，所以，柱外電勢(shì)與z無關(guān)。即柱外電勢(shì)滿足：22(2)、因外電場(chǎng)與圓柱軸線垂直，且與x軸方向一致，所以：由電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)梯度的關(guān)系，外電場(chǎng)可用一個(gè)電位函數(shù)表示為：對(duì)于柱外電勢(shì)u，當(dāng)在無窮遠(yuǎn)處時(shí)，柱面上的感應(yīng)電荷激發(fā)的電勢(shì)可以認(rèn)為是0，所以有：23參看電磁場(chǎng)與電磁波第三版 謝處方等。P84 例4.2.1 (高等教育出版社)解：定解問題為：241、分離變量得固有值為：固有函數(shù)為：2、求歐拉方程的解(1)、對(duì)應(yīng)于0= 0，解為：由邊界條件得：25(2)、對(duì)應(yīng)于n= n2

5、(n=1,2.)，解為：由邊界條件得：所以，得：263、求定解一般解為：由無窮遠(yuǎn)條件得：2728基本步驟是：1. 時(shí)空變量的分離： (二)、高維混合問題分離變量求解2. 空間變量的分離 ： 3. 求解固有值問題4. 求解關(guān)于T(t)的常微分方程5. 構(gòu)造疊加解并求出定解。29例1 求定解問題：解：1. 時(shí)空變量的分離： 30代入方程整理后得：得關(guān)于時(shí)空的微分方程：2. 作空間變量的分離 ： 代入方程(2)整理后得：313.求解固有值問題324.分別求出兩個(gè)固有值問題得：同時(shí)得到關(guān)于V(x,y)的固有值：334. 4. 求T(t)固有函數(shù)為：344.5. 一般解為：由初值條件，再由多元傅立葉展開得：35例2 求邊長(zhǎng)分別為a,b,c的長(zhǎng)方體中的溫度分布，設(shè)物體表面溫度保持零度，初始溫度分布為解：定解問題為：361. 時(shí)空變量的分離： 2. 空間變量的分離