13.4 課題學(xué)習(xí)　最短路徑…24

1、課題：134 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題（第2課時）【人教版八年級上學(xué)期】_南平_市_市屬_縣（市、區(qū)） 學(xué)校 南平四中 姓名 周麗娟內(nèi)容分析1.課標(biāo)要求“課題學(xué)習(xí)”，著重在于考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法等解決簡單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識，提高實(shí)踐能力。本節(jié)課是“最短路徑問題（第2課時）”，讓學(xué)生經(jīng)歷用“平移變換”和“兩點(diǎn)之間，線段最短”來尋求分析問題和解決問題的方法的過程，在觀察、操作、想象、論證、交流的過程中，體會圖形變化在解決問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化的思想。2.教材分析知識層面：本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是研究一道有趣的“造橋選址”問題，充分體現(xiàn)了利用平移變換實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化，從而有效求解。學(xué)生是在已經(jīng)學(xué)

2、習(xí)了三角形及平移、軸對稱知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行的有關(guān)最短路徑問題的研究。最短路徑問題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到，初中階段主要以“兩點(diǎn)之間，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”為知識基礎(chǔ)，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進(jìn)行研究。本節(jié)課以“造橋選址”為背景，開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題，再利用平移將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）問題。對它的學(xué)習(xí)和研究，有助于對最短路徑問題的分析、解決。為今后在求立體圖形、圓、平面直角坐標(biāo)系中求最值問題提供了方法。能力層面：學(xué)生在七年級和上節(jié)課的

3、學(xué)習(xí)過程中，已經(jīng)掌握了用與最值有關(guān)的公理、定理解決問題的推理能力?！霸鞓蜻x址”是實(shí)際生活中的極值問題，在這個問題中，平移起了一個橋梁作用，學(xué)習(xí)過程的本質(zhì)是推理與化歸的過程。有助于提高學(xué)生的推理能力、應(yīng)用意識；分析問題、解決問題的能力。思想層面：本節(jié)課在將實(shí)際問題抽象成幾何圖形的過程中滲透數(shù)學(xué)建模的思想。在如何將三條線段的和轉(zhuǎn)化為兩條線段的和的探索過程中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想。在最值問題的證明中，“任取”一點(diǎn)(除了點(diǎn)外)，由于點(diǎn)的任意性，所以結(jié)論對于直線上的每一點(diǎn)（除了點(diǎn)外）都成立，這在數(shù)學(xué)中常采用的方法，體現(xiàn)了化歸的思想。3.學(xué)情分析最短路徑問題從本質(zhì)上說是最值問題，作為初中學(xué)生，在此之前很少涉及最

4、值問題，解決這方面問題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，特別是面對具有具體背景的最值問題，更會感到陌生，無從下手 。與上節(jié)課相比，本節(jié)課的問題更為復(fù)雜，出現(xiàn)了三段線段的和最小問題，解答“當(dāng)點(diǎn)在直線的什么位置時，最小?”需要將其轉(zhuǎn)化為“當(dāng)點(diǎn)在直線的什么位置時，最小?”。能否這樣轉(zhuǎn)化，如何實(shí)現(xiàn)這樣的轉(zhuǎn)化？有的學(xué)生會存在理解上和操作上的困難，還有的學(xué)生可能會受思維慣性的影響（上節(jié)課學(xué)習(xí)了“利用軸對稱解決最短路徑問題”）。在教學(xué)中要巧妙引導(dǎo)，其本質(zhì)還是在于對“兩點(diǎn)之間，線段最短”的深刻理解。 在證明“在直線上任取一點(diǎn)（與所求做的點(diǎn)不重合），大于”，這種思路和方法，學(xué)生有了上節(jié)課的經(jīng)驗(yàn)，容易想到。教師要適時點(diǎn)撥，讓學(xué)

5、生體會“任意”，并在小組合作中展開討論，讓學(xué)生自己證明。教學(xué)目標(biāo) 對教學(xué)內(nèi)容的研究是為了制定精準(zhǔn)的教學(xué)目標(biāo)，本節(jié)課的總體教學(xué)目標(biāo)是：能利用平移解決最短路徑問題，體會圖形的變換在解決最值問題中作用，感悟轉(zhuǎn)化的思想。 具體體現(xiàn)如下：（1)知識與技能：初步學(xué)會利用三角形、平移性質(zhì)等知識，求線段和的最小值，會解決簡單的最短路徑問題；（2）數(shù)學(xué)思考：經(jīng)歷問題探究的過程，感受圖形變換、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思考的嚴(yán)謹(jǐn)性； （3）問題解決：經(jīng)歷與同學(xué)合作討論交流解決問題的過程，嘗試解釋自己解決問題的方法；（4）情感與態(tài)度：在學(xué)習(xí)過程中，體會數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系；激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；培養(yǎng)學(xué)生的合作精神。

6、重點(diǎn)：利用平移將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題。難點(diǎn)：如何利用平移將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題。關(guān)鍵：利用平移將橋的長度巧妙地化解開去。設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生能將實(shí)際問題中的“地點(diǎn)”“河岸”“橋”抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”“線”“線段”，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題；能利用河的寬度固定，利用平移巧妙地將兩河岸巧妙“二合一”為一條直線，從而將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題；會用與上節(jié)課類似的方法證明問題，體現(xiàn)了化歸的思想，提高學(xué)生的應(yīng)用意識。策略分析 教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成需要有效的教學(xué)策略，依據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生情況，為解決教學(xué)問題，本節(jié)課采取“問題串”的方式組織教學(xué)活動。在

7、教學(xué)中我以小故事的方式推動教學(xué)，設(shè)計(jì)了一系列的問題，由易到難，層層深入，引導(dǎo)學(xué)生在逐步解決問題的過程中理解找到符合條件的點(diǎn)的方法和原理；這樣使問題簡單化，學(xué)生易于理解和掌握。從而達(dá)到突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，化難為易的目的。教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入師：“最短路徑問題”是大家很熟悉的一個話題，生活中的應(yīng)用非常廣泛：（圖片1）在城市建設(shè)時經(jīng)常將彎曲的河道改直，這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是什么？生：兩點(diǎn)之間，線段最短（圖片2）測量學(xué)生跳遠(yuǎn)成績的數(shù)學(xué)依據(jù)是什么？生：垂線段最短（圖片3）在兩岸平行的河面上如何建橋最經(jīng)濟(jì)最科學(xué)，它的數(shù)學(xué)依據(jù)是什么？生：垂線段最短師：我們要學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來美化我們的生活。上節(jié)課我們一起討論了

8、兩個非常有趣的話題“將軍飲馬”問題。如圖1：將軍從A地出發(fā)到一條筆直的小溪邊 飲馬，然后到B 地到溪邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？問1：你能用數(shù)學(xué)語言描述這個問題嗎？生：A,B兩點(diǎn)在直線兩側(cè)，在直線上找點(diǎn)C使CA+CB最小問2：你是如何找到點(diǎn)C的，依據(jù)是什么？生：連接AB交直線于C點(diǎn)，C點(diǎn)就是要找的點(diǎn)，依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”如圖2：將軍從圖中的A 地出發(fā),到一條筆直的河邊 飲馬,然后到B 地.到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短?問1：你能用數(shù)學(xué)語言描述這個問題嗎？生：A,B兩點(diǎn)在直線同側(cè)，在直線上找點(diǎn)C使CA+CB最小問2：你是如何找到點(diǎn)C的，依據(jù)是什么？生：作B點(diǎn)關(guān)于

9、直線的對稱點(diǎn)B點(diǎn)，連接AB交直線于C點(diǎn)，C點(diǎn)就是要找的點(diǎn)，依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”師：剛才兩位同學(xué)的回答都非常準(zhǔn)確，這兩個問題實(shí)際上就是求“兩點(diǎn)一線”型的線段和最小值問題（1）兩點(diǎn)在直線的異側(cè) （2）兩點(diǎn)在直線的同側(cè)兩點(diǎn)在直線的異側(cè)時，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”找點(diǎn)C，兩點(diǎn)在直線的同側(cè)時，利用軸對稱將直線同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點(diǎn)，再利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”找點(diǎn)C。轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法1、實(shí)際生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題2、兩點(diǎn)在直線同側(cè)問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)在直線異側(cè)問題。設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)，滲透轉(zhuǎn)化思想。我們繼續(xù)研究“將軍飲馬”問題，將軍又搬家了，搬到哪呢？我們一起來看題：A、B兩

10、地在一條大河的兩岸，將軍現(xiàn)要在河上造一座橋MN，才能從A到B地。（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）使得從A到B的距離最短，橋應(yīng)該造在何處？這又出現(xiàn)了一個“最短路徑問題”。在本節(jié)課中會運(yùn)用怎樣的圖形變換來解決這個問題呢？二、自主探究 活動一、 分析問題：問題1：對于這個實(shí)際問題，我們首先要做什么？生：首先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。 追問1：能在實(shí)際問題中抽象出幾何圖形嗎?生：具體地可以將、兩地抽象為兩個點(diǎn)，將河的兩岸抽象為兩條互相平行的直線，將橋抽象為一條與直線垂直的線段。我們要解決的問題就是找到滿足條件的線段MN的具體位置。追問2：對于橋的確定需要幾個點(diǎn)？生：兩個（點(diǎn)） 追問3：如果已

11、知一個點(diǎn)可以確定另一個點(diǎn)嗎？生思考并回答：可以。師：這樣把找“一條線段”的問題就轉(zhuǎn)化為“找一個點(diǎn)”的問題了。追問4：綜合以上分析，請結(jié)合圖形用數(shù)學(xué)語言來描述這個問題？ 學(xué)生思考討論，并相互補(bǔ)充，最后達(dá)成共識：如圖3，直線，點(diǎn)為直線上的一個動點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于什么位置時，最??？也可說成：如圖3，直線，點(diǎn)為直線上的一個動點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于什么位置時，最??？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，即將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”。三、合作提升活動二、解決問題追問3：問題中要求的N點(diǎn)位于何處最小，在這三條線段中，有哪些線段的長度會隨著點(diǎn)位置變化而變化？生：由于河岸是互相平行的且橋

12、要與河岸垂直，決定了橋的長度就是河寬，無論橋造在何處，是必經(jīng)路線，所以我認(rèn)為最小本質(zhì)上就是最小。追問4：這位同學(xué)的分析很準(zhǔn)確，這是一個很大的突破，那么怎樣保證最小呢？學(xué)生思考。追問5：如圖4，假設(shè)點(diǎn)、中間不是隔著一條河（平行線），而是一條直線，你會解決這個問題嗎？生：直接連接、即可。圖4 圖5追問6：我們現(xiàn)在將一條直線轉(zhuǎn)化成了一條河，這兩個問題之間有什么聯(lián)系？你能把今天的問題轉(zhuǎn)化為前面的問題來解決嗎？學(xué)生小組討論，動手操作，老師觀察生1：將直線向直線平移，與重合，連接AB交于點(diǎn)N,N點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)。生2：將直線向直線平移，平移的方向?yàn)椤芭c河岸垂直”，平移的距離為“河寬”，使兩直線重合，但點(diǎn)也

13、需要同樣的平移，否則點(diǎn)與河岸的距離會發(fā)生變化。這樣就轉(zhuǎn)化為假設(shè)的問題了，從而找到建橋點(diǎn)N。師動畫演示。師：如何清楚地表達(dá)這種方法？并畫出圖形。學(xué)生小組合作交流，相互補(bǔ)充生：過點(diǎn)作射線,在上截取河寬，連接，交直線于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求。設(shè)計(jì)意圖：通過搭建平臺，將“三條線段和”的問題，轉(zhuǎn)化為“兩條線段和”的問題；將“兩平行線”轉(zhuǎn)化為“一條直線”問題。通過這兩個臺階，降低問題的難度，滲透轉(zhuǎn)化思想，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。四、引導(dǎo)發(fā)展活動三、證明問題通過幾何畫板演示MN位置變化時路徑大小的變化師：你能證明這樣找到的點(diǎn)為符合條件的點(diǎn)嗎？通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，要證明“最大”或“最小”這類問題，通常怎么處理

14、？生：常常要另任選一個量，通過與需求證的那個“最大”或“最小”的量進(jìn)行比較來證明。生：不妨在直線上另外取一點(diǎn)，作為建橋點(diǎn)，過作，垂足為，連接,求證：.學(xué)生在學(xué)習(xí)提綱上進(jìn)行嘗試證明。證明：在中，即最小。師：你能解釋小組中出現(xiàn)的各種作法，它們是否符合題意嗎？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步驗(yàn)證作法的正確性，提高邏輯思維能力。五、成效評價活動四：鞏固練習(xí)如圖，如果、兩地有兩條平行的河，要在兩條河上各造一座橋（橋與河岸垂直），如何找到最短距離？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固利用所學(xué)知識解決問題的方法和策略。在小組合作中學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生的合作意識，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識、轉(zhuǎn)化思想?；顒游澹赫n堂小結(jié)教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題： 1.本節(jié)課研究實(shí)際問題的基本過程是什么？將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，根