考研中值定理課件

1、1解2例7分析1:3分析2:例74例8分析從結(jié)論想證明1:由羅而定理，5由羅而定理，例86證明2:則由已知條件得例87例9. 證明不等式2.證明不等式證由上式得又即8例10. 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo),且證明由泰勒公式得兩式相減得證93. 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論題型一.例11. 設(shè)分析：1011題型二.12例12. 設(shè)分析：用羅爾定理時(shí)找輔助函數(shù)的方法證13例13. 設(shè)證14例14. 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo), 且證明至少存在一點(diǎn)上連續(xù), 在分析: 問題轉(zhuǎn)化為證：證明 設(shè)輔助函數(shù)顯然故至少使即有存在一點(diǎn)15分析:證明例1510年考研題16總之， 有關(guān)中值問題的解題方法:利用逆向思維 , 設(shè)輔助函數(shù) .一般解題方法

2、:證明含一個(gè)中值的等式或根的存在 ,(2) 若結(jié)論中涉及含中值的兩個(gè)不同函數(shù) ,(3) 若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值 ,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) .多用羅爾定理,可考慮用柯西中值定理 .必須多次應(yīng)用中值定理 .(4) 若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù) , 多考慮用泰勒公式 ,有時(shí)也可考慮對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理 .17存在 (或?yàn)?)定理 1.(洛必達(dá)法則) 推論1.定理 1 中換為之一,推論 2.若理1條件, 則條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理 1 仍然成立.二、洛比達(dá)法則及其應(yīng)用18存在 (或?yàn)?定理 2.(洛必達(dá)法則)說明: 定理中換為之一,條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理仍然成立.19例1解例2解2

3、0注意：1)條件充分但不必要.洛必達(dá)法則的使用條件.例如,極限不存在也不是無窮大2)對(duì)有些極限失效對(duì)數(shù)列極限失效.對(duì)不存在時(shí)失效.21有時(shí)出現(xiàn)循環(huán)，這時(shí)羅比達(dá)法則失效.如：事實(shí)上：有時(shí)會(huì)越用越復(fù)雜，這時(shí)不必用羅比達(dá)法則.如：223)用洛必達(dá)法則之前應(yīng)先(1)檢查極限的類型是否為(2)結(jié)合以前的方法化簡函數(shù)，如等價(jià)無窮小代換、四則法則、變量代換等.注意： 洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好. 常用的有等價(jià)無窮小代換、重要極限、變量代換，極限的運(yùn)算法則等.23三、函數(shù)單調(diào)性的判別法若有若有設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，在則在上單調(diào)增加.則在上單調(diào)減少.注意：判別法的

4、條件是充分條件而非必要條件.問題：錯(cuò)！一個(gè)點(diǎn)不存在單調(diào)性24四、函數(shù)的極值1.極值的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)如果對(duì)適合不等式則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值如果對(duì)適合不等式函數(shù)在點(diǎn)有極小值極大值、極小值通稱為極值.稱為極大點(diǎn)；極大點(diǎn)、極小點(diǎn)通稱為極值點(diǎn).極值定義：極值點(diǎn)定義：將點(diǎn)則稱稱為極小點(diǎn).點(diǎn)義，25注：極值與最值的區(qū)別：是對(duì)整個(gè)區(qū)間而言，絕對(duì)的、極值：最值：是對(duì)某個(gè)點(diǎn)的鄰域而言、相對(duì)的、可以不是唯一的.極大值不一定都大于極小值.如何求極值？觀察圖形知：可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是零.是整體的、唯一的.是局部的、262.取得極值的條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在點(diǎn)(費(fèi)馬定理)那么處取

5、得極值，注意1:可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是它的駐點(diǎn)，但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn).可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)駐點(diǎn)即如：是駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn).2:在點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo)，也可能是極值點(diǎn).如：連續(xù)不可導(dǎo)，卻是極小值點(diǎn).xyo27如：在處連續(xù)不可導(dǎo)，也不是極值點(diǎn).3:極值點(diǎn)的可疑點(diǎn)：駐點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn).283.取得極值的充分條件：設(shè)連續(xù)函數(shù)的極值可疑點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)在可除外可導(dǎo).到大經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，若(1)在的兩側(cè)，由正變負(fù)，則是極大值.(2)在的兩側(cè)，由負(fù)變正，則是極小值.不變號(hào)，在的兩側(cè)，(3)則不是極值點(diǎn).左正右負(fù)極大左負(fù)右正極小左右同號(hào)無極值當(dāng)由小為(1)第一充分條件：29(2)第二充分條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù)，那么

6、函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值.且注意使用的條件：在 x0處可導(dǎo).對(duì)不可導(dǎo)點(diǎn)不能用.問題：五、函數(shù)的最值1.閉區(qū)間a,b上連續(xù)函數(shù)的最值的求法(比較法)步驟:(1)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);(2)求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,就是最小值;比較大小,最大的數(shù)就是最大值,最小的數(shù)302.在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且只有一個(gè)駐點(diǎn)，它是極大(小)點(diǎn)，則它一定是最大(小)值點(diǎn).3.對(duì)于實(shí)際問題，且知最若在一定區(qū)間內(nèi)有唯一駐點(diǎn)，大(小)值一定存在，而且一定在定義區(qū)間內(nèi)取得，那么可以不必討論是否為極值，就可斷定該點(diǎn)就是最大(小)值點(diǎn).六、曲線的凹凸性和拐點(diǎn)311.定義：(1) 若恒有(2)

7、若恒有連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn) .注意:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線.322.凹凸區(qū)間的求法如果在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，若在內(nèi)(1)(2)則曲線在內(nèi)是凹的.則曲線在內(nèi)是凸的.注意：該定理換成其它區(qū)間仍然成立.3.拐點(diǎn)的求法(第一充分條件)33拐點(diǎn)的求法(第一充分條件)七、曲線的漸近線1.水平漸近線2.垂直漸近線3.斜漸近線34曲線彎曲程度的描述曲率;曲率圓(弧)可以近似代替曲線弧.(2)曲率(3)曲率半徑(1)弧微分:思考： 曲線在一點(diǎn)處的曲率圓與曲線有何密切關(guān)系?答: 有公切線 ;凹向一致 ;曲率相同.dydxds八、曲率、曲率半徑35典型例題分析題型一、證明不等式可以利用：1)單調(diào)

8、性2)中值定理3)泰勒公式4)凹凸性5)求最值36例1證37說明：1)用單調(diào)性證明不等式的步驟：將不等式變形為一邊為零,另一邊就是要設(shè)的輔助函數(shù)判斷 的單調(diào)性. 用單調(diào)性的定義與端點(diǎn)的函數(shù)值比較可得所證的不等式.2)為快速的證明,可先對(duì)不等式做恒等變形后再設(shè)輔助函數(shù).3)為證不等式 可用 的單調(diào)性.思考: 證明時(shí), 如何設(shè)輔助函數(shù)更好 ?提示:38例2. 證明證故時(shí), 單調(diào)增加 ,從而所以原不等式成立.39例3分析取對(duì)數(shù)40(1)設(shè)是方程的一個(gè)解,則(A) 取得極大值 ;(B) 取得極小值 ;(C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 ;(D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 .提示:A(2)設(shè)則在點(diǎn) a 處( ).B例

9、4題型二、極值和拐點(diǎn)41解 (3)42例5解43例6.求函數(shù)的極值與拐點(diǎn).解 定義區(qū)間為列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):拐點(diǎn)極大值拐點(diǎn)44例7 求數(shù)列的最大項(xiàng) .證求導(dǎo)得列表判別:因此在處也取最大值 .又因內(nèi)只有唯一的極大點(diǎn)45試問 為何值時(shí),在時(shí)取得極值 ,解由題意應(yīng)有又取得極大值為例8求出該極值,并指出它是極大還是極小.46例9題型三、討論方程根的個(gè)數(shù).解47oxy例948oxyoxy例9491)水平漸近線:2)垂直漸近線:3)斜漸近線:題型四.求曲線的漸近線50解沒有鉛直漸近線所以它沒有水平漸近線;例1051單調(diào)增區(qū)間為 ;的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)(1) 設(shè)函數(shù)其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,單調(diào)減區(qū)間為 ;極小值點(diǎn)為 ;極大值點(diǎn)為 .提示:的正負(fù)作 f (x) 的示意圖. 題型五、與曲線的圖形有關(guān)的問題例1152 .在區(qū)間 上是凸弧 ;拐點(diǎn)為 提示:的正負(fù)作 f (x) 的示意圖. 形在區(qū)間 上是凹弧; 則函數(shù) f (x) 的圖 (2) 設(shè)函數(shù)的圖形如圖所示,53(3) 設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則 有(