2022年河南省南陽市高考第一次模擬數(shù)學(xué)試卷及答案解析

1、第 PAGE 17 頁 共 16 頁2022 年河南省南陽市高考第一次模擬理科數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1（5 分）已知全集 UR，集合 Ax|log2（x1）1，集合 Bx|ex3，則圖中陰影部分表示的集合是（）Ax|1xln3Bx|xln3Cx|1xln3Dx|xln32（5 分）已知復(fù)數(shù) z 滿足 z+ 1 =1，則|z|（）12A 2C2D 23（5 分）已知函數(shù)（f x）log2|xa|的對稱軸為直線 x2，則函數(shù)（f x+1）的對稱軸為（）直線 x0直線 x1直線 x2直線 x3，則|（

2、4（5 分）已知向量|= 6， =8，| + |52）A22B235（5 分）把函數(shù) f（x）sin（2x C27D334）的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的 2 倍，縱坐標(biāo)保持不變，再把所得的曲線向左平移 a（a0）個(gè)單位長度，得到函數(shù) ycosx 的圖像，則 a 可以是（）A8B434D6（5 分）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn 為其前 n 項(xiàng)和且 a12021，S9S4，若 ak+a30，則 k 的值為（）A9B10C11D127（5 分）對于函數(shù) f（x）x2axlnx（aR），下列說法正確的是（）函數(shù) f（x）有極小值，無極大值函數(shù) f（x）有極大值，無極小值函數(shù) f（x）既有極大值又

3、有極小值函數(shù) f（x）既無極大值又無極小值8（5 分）已知命題p：“x0，x+a10”，命題 q：“xR，exax0”，若 p（q）為真命題，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（）A1，e） C（1，0）e，+）B0，1De，+）9（5 分）已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，a11，Sn+1Sn+2an+1，若 4n145（an+2），則 n 的最小值是（）A4B5C6D710（5 分）已知 01，則1 + 1+2 的最小值是（）212A5B6C7D811（5 分）已知 f（x）sinx+2，其中 f（x）為函數(shù) f（x）的導(dǎo)數(shù)則 f（2021）2021 +1+f（2021）+f（2022）f（202

4、2）（）A0B2C2021D202212（5 分）已知函數(shù) f（x）x3+ax2+bx+2 在 x1 處取得極小值 0，若x1m，n，x2m，n，使得 f（x1）f（x2），且 x1x2，則 nm 的最大值為（）A2B3C4D6二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分）413（5 分）已知( + ) = 2，則2 = + 2，011 114（5 分）已知函數(shù)f（x）= 2，設(shè) yf（x）kx2 有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k15（5 分）定義x表示不大于 x 的最大整數(shù)（xR），例如2.12，1.52，則使不等式 2x217x+210 恒成立的 x 的取值范圍是16（5 分）已知直

5、線 ym 與函數(shù) f（x）sin（x+ + 30）的圖象相交，若自左4） 2（至右的三個(gè)相鄰交點(diǎn) A，B，C 滿足 2|AB|BC|，則實(shí)數(shù) m三、解答題（本大題共 6 小題，共 70 分解答應(yīng)寫岀文字說明、證明過程或演算步驟）17（10 分）設(shè)函數(shù) f（x）x2+ax+b，若不等式 f（x）0 的解集為（1，3）（1）求 f（2x）0 的解集；（2）比較 與 的大小18（12 分）已知向量=（2，a）， =（sin（2x+ = ，其中aR，3函數(shù) f（x）圖象的一條對稱軸方程為 x= ，cos2x），f（x）求函數(shù) f（x）的解析式；若 ）= 8，求 sin2 值（0，3），且 f（ 519

6、（12 分）如圖，在ABC 中，ABAC，AD、AE 分別為 BC 邊上的高和中線，AD4，DE3若BAC90，求 AB 的長；是否存在這樣的ABC，使得射線 AE 和 AD 三等分BAC？20（12 分）已知函數(shù) f（x）（x2）exx22ax+1，aR當(dāng) a1 時(shí)，求 f（x）的單調(diào)區(qū)間；若函數(shù) f（x）不存在極值點(diǎn)，求證：a121（12 分）已知數(shù)列a 是正項(xiàng)等差數(shù)列，a 1，且 a a，數(shù)列b 滿足 b =1n112nn+1+（nN），數(shù)列b前 n 項(xiàng)和記為 S，且 S+S11=（2）（nN ）+nnn+1n4+1+求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 an；若數(shù)列c 滿足c =1，其前 n 項(xiàng)和記為

7、 T，試比較 S 與 T的大小nn +1nnn22（12 分）已知函數(shù) f（x）lnx，g（x）x+m（mR）若 f（x）g（x）恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍；+(2)1lnx+1（2）求證：當(dāng) x0 時(shí)，2022 年河南省南陽市高考第一次模擬理科數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1（5 分）已知全集 UR，集合 Ax|log2（x1）1，集合 Bx|ex3，則圖中陰影部分表示的集合是（）Ax|1xln3Bx|xln3Cx|1xln3Dx|xln3【解答】解：Ax|log2（x1）1x|

8、1x3，Bx|ex3x|xln3 陰影部表示為 ARBx|1x3x|xln3x|1xln3故選：A2（5 分）已知復(fù)數(shù) z 滿足 z+ 1 =1，則|z|（）122AB1C2D 2【解答】解：設(shè)復(fù)數(shù) za+bi，a，bR，復(fù)數(shù) z 滿足 z+ 1 =1，+ + +1= 1， + + (+)()= 1，即 + + 2+2= 1， +2+2= 1，解得 a= 1，b= 3= 1，b= 3， = 02+222 或 a22a2+b21，| = 2 + 2 = 1 故選：B3（5 分）已知函數(shù)（f x）log2|xa|的對稱軸為直線 x2，則函數(shù)（f x+1）的對稱軸為（）A直線 x0B直線 x1C直線

9、 x2D直線 x3【解答】解：函數(shù) f（x）的圖象向左平移 1 個(gè)單位可得到函數(shù) f（x+1）的圖象，且函數(shù) f（x）log2|xa|的對稱軸為直線 x2，函數(shù) f（x+1）的對稱軸由直線 x2 向左平移 1 個(gè)單位得到， 即函數(shù) f（x+1）的對稱軸為 x1，故選：B，則|（4（5 分）已知向量|= 6， =8，| + |52）A22B23C27D33=【解答】解：因?yàn)閨 + |52，所以2 +2 + 2 =50，所以 6+28+250，解得|27故選：C5（5 分）把函數(shù) f（x）sin（2x4）的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的 2 倍，縱坐標(biāo)保持不變，再把所得的曲線向左平移 a（a0）

10、個(gè)單位長度，得到函數(shù) ycosx 的圖像，則 a 可以是（）A8B434C2D4），【解答】解：函數(shù) f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的 2 倍，縱坐標(biāo)保持不變得 ysin（x 4）cosx，將該曲線向左平移 a（a0）個(gè)單位長度，得 ycosx 的圖象， 可得 sin（x+a 對 A，當(dāng) a= + ）sin（x 8時(shí)，sin（x848）cosx，故 A 錯(cuò)誤；對 B，當(dāng) a= + ）sinxcosx，故 B 錯(cuò)誤；4時(shí)，sin（x44對 C，當(dāng) a= + ）sin（x+ ）cosx，故 C 錯(cuò)誤；2時(shí)，sin（x244對 D，當(dāng) a= 33 4 時(shí)，sin（x+ 44）sin（x+

11、2）cosx，故 D 正確故選：D6（5 分）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn 為其前 n 項(xiàng)和且 a12021，S9S4，若 ak+a30，則 k 的值為（）A9B10C11D12【解答】解：由題意得，S9S40， 即 a5+a6+a7+a8+a90，數(shù)列an是等差數(shù)列，a5+a6+a7+a8+a95a70，ak+a302a7，k+314，故 k11； 故選：C7（5 分）對于函數(shù) f（x）x2axlnx（aR），下列說法正確的是（）函數(shù) f（x）有極小值，無極大值函數(shù) f（x）有極大值，無極小值函數(shù) f（x）既有極大值又有極小值函數(shù) f（x）既無極大值又無極小值【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù) f（

12、x）x2axlnx，其定義域?yàn)椋?，+），其導(dǎo)數(shù) f（x）2x 1 a，則有 f（x）2+1 ，易得 f（x）0，2則 f（x）2x 1 a 在（0，+）上為增函數(shù)，且其值域?yàn)?R， 故 f（x）2x 1 a 存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)其零點(diǎn)為 t，在區(qū)間（0，t）上，f（x）0，f（x）為減函數(shù)，區(qū)間（t，+）上，f（x）0，f（x）為增函數(shù)，故函數(shù) f（x）有極小值，無極大值； 故選：A8（5 分）已知命題p：“x0，x+a10”，命題 q：“xR，exax0”，若 p（q）為真命題，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（）A1，e） C（1，0）e，+）【解答】解：因?yàn)?p（q）為真命題， 所以 p 和q

13、均為真命題，因?yàn)槊} q：“xR，exax0”，B0，1De，+）所以q：xR ，exax0， 若q 為真命題，即 exax 無解，yex 與 yax 無交點(diǎn)，直線 yax 斜率為 a，過（0，0），而 yex，求導(dǎo) yex，當(dāng) a0 時(shí)，yax 與 yex 恒有交點(diǎn)，當(dāng) a0 時(shí)，y0 與 yex0 無交點(diǎn)，符合題意， 當(dāng) a0 時(shí)，設(shè)切點(diǎn)（x0，y0），則 y0ax0e0 ，切線斜率為 e 所以 ax0a， x01，0=a，所以 ae0=e，所以 0ae 時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)； 當(dāng) p 為真時(shí)，“x0，x+a10”，即 a1x， 因?yàn)?x0，所以 1x1， 所以 a1，綜上所述，1ae

14、， 故選：A9（5 分）已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，a11，Sn+1Sn+2an+1，若 4n145（an+2），則 n 的最小值是（）A4B5C6D7【解答】解：由題意可知，Sn+1Sn+2an+1，則 an+12an+1，即 an+1+12（an+1），所以數(shù)列an+1是以 a1+12 為首項(xiàng)，以 2 為公比的等比數(shù)列，因此 + 1 = 2， = 2 1，由 4n145（an+2），即 4n145（2n1+2），整理得（2n）2452n460，解得 2n46，所以 n 的最小值為 6，故選：C10（5 分）已知 01，則1+ 1+2 的最小值是（）2A5B612C7D82，所以【解

15、答】解：因?yàn)?0 11+ 1+212= 1 + 2(12)12= 1 +11 121111122（ +）（x+ ）12（2+ 2211+）12（2+2）17，1211+2當(dāng)且僅當(dāng)2=1，即 x= 4時(shí)取等號，此時(shí)+的最小值是 7故選：C21211（5 分）已知 f（x）sinx+2，其中 f（x）為函數(shù) f（x）的導(dǎo)數(shù)則 f（2021）2021 +1+f（2021）+f（2022）f（2022）（）A0B2【解答】解：f（x）sinx+2，2021+1C2021D2022f（x）+f（x）sinx+2+sin（x）+2=2+220212021+12021+1= 2，則 f（2021）+f（20

16、21）2；2021+12021+1f（x）cosx+ 2(2021+1) = 220212021(2021+1)2，(2021+1)2f（x）cosx 220212021 = 220212021(2021+1)2(2021+1)2則 f（2022）f（2022）0f（2021）+f（2021）+f（2022）f（2022）2+02 故選：B12（5 分）已知函數(shù) f（x）x3+ax2+bx+2 在 x1 處取得極小值 0，若x1m，n，x2m，n，使得 f（x1）f（x2），且 x1x2，則 nm 的最大值為（）A2B3C4D6【解答】解：f（x）3x2+2ax+b，因?yàn)楹瘮?shù) f（x）x3+a

17、x2+bx+2 在 x1 處取得極小值 0，所以 (1) = 03 + 2 + = 0(1) = 0 ，即1 + + + 2 = 0，解得 a0，b3， 所以 f（x）x33x+2，則 f（x）3x23，令 f（x）0，解得 x1，當(dāng) x1 時(shí)，f（x）0，則 f（x）單調(diào)遞增， 當(dāng)1x1 時(shí)，f（x）0，則 f（x）單調(diào)遞減， 當(dāng) x1 時(shí)，f（x）0，則 f（x）單調(diào)遞增，所以 f（x）的極大值為 f（1）4，極小值為 f（1）0， 由 f（x）4，解得 x1 或 x2，令 f（x）0，解得，x1 或 x2，因?yàn)閤1m，n，x2m，n，使得 f（x1）f（x2），且 x1x2，則 nm 的

18、最大值為 2（2）4故選：C二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分）413（5 分）已知( + ) = 2，則2 =4 5【解答】解：( + ) = 2 = 1+，tan= 1，413cos2= 22 = 12 = 4，2+24故答案為 51+25 + 2，0114（5 分）已知函數(shù)f（x）= ，設(shè) yf（x）kx2 有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)2 1 12數(shù) k 1【解答】解：由 yf（x）kx2 有兩個(gè)零點(diǎn)可得， yf（x） 與 ykx+2 的 圖 象 有 2 個(gè) 交 點(diǎn) ， yf（x）的圖象如圖，ykx+2 表示的是過點(diǎn)（0，2）的直線，所以由 yf（x）與 ykx+2 的圖象

19、有 2 個(gè)交點(diǎn)可得 k0， 且 y2 1（x1）與 ykx+2 的圖象有一個(gè)交點(diǎn)， 由 21 =kx+2 可得 k2x2x+10，所以14k20，22解得 k= 1（正值舍去），故答案為： 115（5 分）定義x表示不大于 x 的最大整數(shù)（xR ），例如2.12，1.52，則使不等式 2x217x+210 恒成立的 x 的取值范圍是2，7） 【解答】解：不等式 2x217x+210 可化為（2x3）（x7）0，3所 以 x7，2因?yàn)閤表示不大于 x 的最大整數(shù)， 所以 2x7，故滿足條件的 x 的取值范圍為2，7）故答案為：2，7）16（5 分）已知直線 ym 與函數(shù) f（x）sin（x+ +

20、 30）的圖象相交，若自左4） 2（至右的三個(gè)相鄰交點(diǎn) A，B，C 滿足 2|AB|BC|，則實(shí)數(shù) m 1 或 2【解答】解：由題知，直線ym 與函數(shù) f（x）sin（x+ + 30）的圖象相交，等價(jià)于直線 ym 3與函數(shù) ysin（x+ 4） 2（24）的圖象相交，設(shè) A（x1，m 3），B（x2，m 3），C（x3，m 3），222所以|AC|= 2，3又由 2|AB|BC|得，|AB|= 1|AC|=2，33即 x2x1= 2，3化簡得x2x1= 2，1+23由題知點(diǎn) A 和點(diǎn) B 的中點(diǎn)坐標(biāo)為（當(dāng)直線 ym 3與 ysin（ + 2，m 2），2( 1+2 + ) = 1，4）的交點(diǎn)在

21、 x 軸上方時(shí)，24即 1+2 + = + 2， ，2化簡得14+ 222= + 4，kZ，46由聯(lián)立得1+ = + 2， ，所以(+ ) = ( + 2) = 1，1462即 m 3 = 1，22解得 m2；當(dāng)直線 ym 3與 ysin（ + 2( 1+2 + ) = 1，4）的交點(diǎn)在 x 軸下方時(shí)，24即 1+2 + = 3 + 2， ，2化簡得14+ 222= 5 + 4，kZ，由聯(lián)立得+ = 7 + 2， ，146所以(+ ) = (7 + 2) = 1，146222即 3 = 1，解得 m1，所以 m1 或2， 故答案為：1 或2三、解答題（本大題共 6 小題，共 70 分解答應(yīng)寫岀

22、文字說明、證明過程或演算步驟）17（10 分）設(shè)函數(shù) f（x）x2+ax+b，若不等式 f（x）0 的解集為（1，3）（1）求 f（2x）0 的解集；比較 與 的大小【解答】解：（1）由題意知，1 和 3 是方程x2+ax+b0 的兩根，1 + 3 = 所以(1) 3 = ，所以 a2，b3，所以 f（x）x2+2x+3，由 f（2x）0 知，4x24x+30，即（2x+3）（2x1）0，所以 x 3或 x 1，22故不等式的解集為（， 31）（ ，+）22（2）由（1）知，a2，b3，所以 =2233=32236=89 0，6所以 18（12 分）已知向量=（2，a）， =（sin（2x+

23、），cos2x），f（x）= ，其中aR，63函數(shù) f（x）圖象的一條對稱軸方程為 x= 求函數(shù) f（x）的解析式；若 ）= 8，求 sin2 值（0，3），且 f（ 5【解答】解：（1）f（x）= =2sin（2x+ + +acos2x=3sin2x+（a+1）cos2x，6）+acos2x2sin2xcos62cos2xsin63，因?yàn)楹瘮?shù) f（x）圖象的一條對稱軸方程為 x= 2所以 f（0）f（ 3 ），4 +431即 a+1= 3sin 3化簡得 a+11，（a+1）cos 3= 3 2+（a+1）（ 2），所以 a2，6）所以 f（x）= 3sin2xcos2x2sin（2x （2

24、）因?yàn)?（ （0，3），所以 266，2），又 f（）2sin（2 = 8，所以 sin（2 = 4 0，6） 56） 5所以 2 6（0，2），6）5所以 cos（2 = 3，故 sin2sin（2 + +cos（2 = 4 3+ 3 1 =43+3106） 6sin（2cos6sin6525219（12 分）如圖，在ABC 中，ABAC，AD、AE 分別為 BC 邊上的高和中線，AD4，DE3若BAC90，求 AB 的長；是否存在這樣的ABC，使得射線 AE 和 AD 三等分BAC？【解答】解：（1）BAC90，所以 BC2AE10，BE5，5cosAEBcosAED= 3，在AEB 中，

25、AB2BE2+AE22BEAEcosAEB， 所以 AB45（2）假設(shè)存在這樣的ABC，不妨設(shè) BEx，則 BD3+x，易得 AB= 16 + (3 + )2，AE5，而 sinEABsinEAD= 3，sinAEBsinAED= 455，= E在AEB 中，EE77即 7x254x2250，解得：x= 75，即 BE= 75，而在ADC 中，DCDE3，所以 EC6，故 BEEC，因此，不存在這樣的ABC，使得射線 AE 和 AD 三等分BAC20（12 分）已知函數(shù) f（x）（x2）exx22ax+1，aR 當(dāng) a1 時(shí)，求 f（x）的單調(diào)區(qū)間；若函數(shù) f（x）不存在極值點(diǎn)，求證：a1【解

26、答】（1）解：當(dāng) a1 時(shí)，函數(shù) f（x）（x2）exx22x+1， 則 f（x）（x1）ex2（x1）（x1）（ex2），令 f（x）0，解得 xln2，x1，當(dāng) xln2 時(shí)，f（x）0，則 f（x）單調(diào)遞增， 當(dāng) 1xln2 時(shí)，f（x）0，則 f（x）單調(diào)遞減， 當(dāng) x1 時(shí)，f（x）0，則 f（x）單調(diào)遞增，所以 f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（，ln2）和（1，+），單調(diào)遞減區(qū)間為（ln2，1）；（2）證明：函數(shù) f（x）（x2）exx22ax+1， 則 f（x）（x1）ex2x2a，因?yàn)楹瘮?shù) f（x）無極值點(diǎn)，故方程（x1）ex2x2a0 無實(shí)數(shù)根， 令 g（x）（x1）ex2x2a，

27、則 g（x）xex2，當(dāng) x0 時(shí)，恒有 g（x）0， 當(dāng) x0 時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，又 g（0）2，g（1）e20，故存在 x0（0，1），使得 g（x0）0，即 x00 =2，所以函數(shù) g（x）在（，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，+）上單調(diào)遞減， 故 g（x）的最小值為 g（x0），則 g（x0）0，所以 a1（x0+又 x0（0，1），故 a11 ），021（12 分）已知數(shù)列a 是正項(xiàng)等差數(shù)列，a 1，且 a a，數(shù)列b 滿足 b =1n112nn+1+（nN），數(shù)列b前 n 項(xiàng)和記為 S，且 S+S11=（2）（nN ）+nnn+1n4+1+求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 an；若數(shù)列c 滿足c =1，其前 n 項(xiàng)和記為 T，試比較 S 與 T的大小nn +1nnn【解答】解：（1）設(shè)數(shù)列an的公差為 d，=1，+1+= 1 ( )，+1= 1 ( ) + ( ) + ( 1) = 1 ( 1)，+1+ +14= 1 (1+