一道中考題的解法探究及思考

1、一道中考題的解法探究及思考一道以正方形為背景的中考題，很多同學(xué)解答時(shí)，往往找不到解題的突破口，不能綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，思維缺乏靈活性、連貫性。下面的六種解法給同學(xué)們提供借鑒。題 （2009賀州）如圖1-1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，連接BF、DE，則圖中陰影部分的面積是 cm2分析：圖中陰影部分是不規(guī)則四邊形，須作輔助線轉(zhuǎn)化為規(guī)則四邊形或三角形，才能運(yùn)用規(guī)則四邊形或三角形的面積公式求解。也可考慮間接求解：先求出空白部分的面積，再用正方形的面積減去空白部分面積。題目中重要的是要考慮中點(diǎn)的如何運(yùn)用。解法一：如圖1-2，連接AC、BD交于G,根據(jù)正方形性質(zhì)，G是B

2、D中點(diǎn)，顯然，O是BDC的重心。CG經(jīng)過(guò)O點(diǎn)。OG=CG， BOG的面積等于BCD的面積的，即，陰影部分的面積=.點(diǎn)評(píng)：正方形常見的輔助線是正方形的對(duì)角線。由正方形對(duì)角線的性質(zhì)迅速得到O是三角形BCD的重心，利用三角形重心的性質(zhì)使解答比較簡(jiǎn)捷。（重心性質(zhì)見人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第115頁(yè)第15題的結(jié)論）。解法二：如圖1-3，連接OC，F(xiàn)分別是CD的中點(diǎn)，DOF的面積和COF面積相等. 由FC=EC，BC=DC，得，.由，, 得, .由OC=OC,CF=CE,OF=OE, 得COFCOE，DOF的面積等于DCE的面積的，即DOF的面積=1=空白部分的面積等于DOF的面積的4倍，即為4=，陰影部

3、分的面積=1=.點(diǎn)評(píng)：解答過(guò)程反復(fù)運(yùn)用了全等三角形的有關(guān)知識(shí)，充分發(fā)揮了全等三角形在處理幾何問(wèn)題時(shí)的工具性。解法三：如圖1-2，同解法一可知，AC過(guò)O點(diǎn)。而AC是正方形ABCD的對(duì)稱軸，,COFCOE，ABFC,ABOCFO,相似比為AB:FC=2,面積比為4，設(shè)CFO的面積為a，則ABO的面積為.同理ADO的面積為,CEO的面積為,E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，,，,陰影部分的面積=.點(diǎn)評(píng)：正方形的對(duì)稱性、相似三角形性質(zhì)的靈活運(yùn)用，使解答比較巧妙。解答中根據(jù)所設(shè)，應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)得到了圖中有關(guān)三角形的面積關(guān)系，值得關(guān)注。解法四：如圖1-4，作EMDC交BF于M.相似比為，面積比為，設(shè)，則

4、，（由證法二知），。,相似比為，面積比為，且.圖中空白部分面積為，陰影部分的面積=1-=. 點(diǎn)評(píng)：全等三角形和相似三角形性質(zhì)綜合應(yīng)用，思路更加開闊靈活。解法五：如圖1-5，過(guò)O作GHDC,PQDC,分別交正方形四邊于G、H、P、Q, 設(shè)HO=，則OG=.（由證法二知），DO=BO.又，RtDOQRtBOG,DQ=BG, HO=PO,AHPO、CGOQ為正方形。陰影部分的面積等于矩形ADQP的面積。由得矩形ADQP的面積=1=陰影部分的面積。 點(diǎn)評(píng)：把不規(guī)則四邊形用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為矩形是本解法的亮點(diǎn)。解法六：如圖1-6，連接BD、EF, E、F分別是BC、CD的中點(diǎn), EFBD, ,相似比為，面積比為.設(shè)的面積為,則面積為4，BO:OF=2:1,和的面積都為，而, ，陰影部分的面積=.點(diǎn)評(píng)：把求陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)三角形分的面積。充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。歸納與思考：以上各種解法，使用的知識(shí)點(diǎn)較多，其中相似三角形、全等三角形的性質(zhì)為解答提供了主要依托，使解答入口更寬。各種解法有共性，也有差別。觀察思考的角度略有不同。解答中注重了轉(zhuǎn)化的思想方法運(yùn)用：解法一、解法六是把陰影部分面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的面積之和，解法二、解法三、解法四是把陰影部分面積轉(zhuǎn)化求正方形面積與空白部分面積之差，而空白部分的面積求法由輔助線的不同而不同