專題十：參數(shù)的取值問(wèn)題的題型及方法

1、專題十：參數(shù)取值問(wèn)題的題型與方法（4課時(shí)）求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，在中學(xué)數(shù)學(xué)里比比皆是，這一講，我們分四個(gè)方面來(lái)探討一、若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過(guò)恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問(wèn)題求解.例1已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.分析：在不等式中含有兩個(gè)變量及，其中的范圍已知()，另一變量的范圍即為所求，故可考慮將及分離.解：原不等式即：要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求的最值問(wèn)題.，即，上式等價(jià)于或，解得.說(shuō)明：注意到題目中出現(xiàn)了及，而，故若把換元成，則可把原不

2、等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)類型.另解：即，令，則，整理得，恒成立.設(shè)，則二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，在內(nèi)單調(diào)遞減.只需，即.(下同第一種解法)例2已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立？并說(shuō)明理由.分析：由單調(diào)性與定義域，原不等式等價(jià)于對(duì)于任意恒成立，這又等價(jià)于 對(duì)于任意恒成立.不等式（1）對(duì)任意恒成立的充要條件是，即-(3)不等式（2）對(duì)任意恒成立的充要條件是，即或，-(4)由（3）、（4）求交集，得，故存在適合題設(shè)條件.說(shuō)明：抽象函數(shù)與不等式的綜合題常常需要利用單調(diào)性脫掉函數(shù)記號(hào).例3設(shè)直線過(guò)點(diǎn)，和橢圓順次交于、兩點(diǎn)，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：

3、，但從此后卻一籌莫展, 問(wèn)題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠. 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.思路1:從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量、，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個(gè)變量直線的斜率. 問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范圍把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA= f（k），xB

4、= g（k）得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍解1：當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，可求得；當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得，解之得 因?yàn)闄E圓關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)在軸上，所以只需考慮的情形.當(dāng)時(shí)，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式關(guān)于所求量的不等式韋達(dá)定理AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍思路2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是

5、產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定的取值范圍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來(lái). 一般來(lái)說(shuō)，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問(wèn)題的橋梁，但本題無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于不是關(guān)于的對(duì)稱關(guān)系式. 原因找到后，解決問(wèn)題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對(duì)稱關(guān)系式.解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*）則 令，則，在（*）中，由判別式可得 ，從而有 ，所以，解得.結(jié)合得. 綜上，.說(shuō)明：范圍問(wèn)題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.二、直接根據(jù)圖像判斷若把等式或不

6、等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過(guò)畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷.例4當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.xyo12y1=(x-1)2y2=logax分析：若將不等號(hào)兩邊分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖象是拋物線，右邊為常見(jiàn)的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，故可以通過(guò)圖象求解.解：設(shè)：，則的圖象為右圖所示的拋物線，要使對(duì)一切，恒成立，顯然，并且必須也只需當(dāng)時(shí)的函數(shù)值大于等于的函數(shù)值.故，10.則原方程有解即方程有正根。 即解得.解法2（利用根與系數(shù)的分布知識(shí)）：4oxy即要求有正根,設(shè).10.，即,或.時(shí)，得，不合題意；時(shí)，得,

7、符合題意。.20. ，即或時(shí)，故只需對(duì)稱軸，即.，綜合可得.三、求參數(shù)的取值范圍在解析幾何中的應(yīng)用解析幾何中確定參變量的取值范圍歷來(lái)是各級(jí)各類測(cè)試及高考命題的熱點(diǎn)。由于此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，且確定參變量取值范圍的不等量關(guān)系也較為隱蔽，因而給解題帶來(lái)了諸多困難。為此，我們有必要總結(jié)和歸納如何尋找或挖掘不等量關(guān)系的策略和方法.在幾何問(wèn)題中，有些問(wèn)題和參數(shù)無(wú)關(guān)，這就構(gòu)成定值問(wèn)題，解決這些問(wèn)題常通過(guò)取參數(shù)和特殊值來(lái)確定“定值”是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式來(lái)證明該式是恒定的.解析幾何中的最值問(wèn)題，一般先根據(jù)條件列出所求目標(biāo)函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式手特征選用參數(shù)法，配方法，判別式

8、法，應(yīng)用不等式的性質(zhì)，以及三角函數(shù)最值法等求出它的最大值或最小值.充分運(yùn)用各種方法學(xué)會(huì)解圓錐曲線的綜合問(wèn)題（解析法的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，圓錐曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系，與圓錐曲線相關(guān)的定值問(wèn)題，最值問(wèn)題，應(yīng)用問(wèn)題和探索性問(wèn)題）.研究最值問(wèn)題是實(shí)踐的需要，人類在實(shí)踐活動(dòng)中往往追求最佳結(jié)果，抽象化之成為數(shù)學(xué)上的最值問(wèn)題，所以最值問(wèn)題幾乎滲透到數(shù)學(xué)的每一章.解析幾何中的最值問(wèn)題主要是曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值，到定直線的距離最值，還有面積最值，斜率最值等，解決的辦法也往往是數(shù)形結(jié)合或轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值.而一些函數(shù)最值，反而可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為解析幾何中的最值問(wèn)題.1幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯

9、體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決。2代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值。求函數(shù)最值常用的方法有配方法、判別式法、重要不等式法、三角函數(shù)的值域法、函數(shù)的單調(diào)性法.例9已知橢圓:和點(diǎn)，過(guò)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，使，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡所在曲線的方程及點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.分析：這是一個(gè)軌跡問(wèn)題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過(guò)消參可達(dá)到解題的目的.由于點(diǎn)的變化是由直線的變化引起的，自然可選擇直線

10、的斜率作為參數(shù)，如何將，與聯(lián)系起來(lái)？一方面利用點(diǎn)在直線上；另一方面就是運(yùn)用題目條件： 將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理利用點(diǎn)Q滿足直線AB的方程：y = k (x4)+1，消去參數(shù)k點(diǎn)Q的軌跡方程來(lái)轉(zhuǎn)化.由、四點(diǎn)共線，不難得到，要建立與的關(guān)系，只需將直線的方程代入橢圓的方程，利用韋達(dá)定理即可.通過(guò)這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒(méi)有開始解題，但對(duì)于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).在得到之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參，目的不過(guò)是得到關(guān)于，的方程（不含），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過(guò)程.解：設(shè)，則由可得：，解之得： （1）設(shè)直線的方程為：，代入

11、橢圓的方程，消去得出關(guān)于的一元二次方程： （2） 代入（1），化簡(jiǎn)得： (3)與聯(lián)立，消去得：在（2）中，由，解得 ，結(jié)合（3）可求得 故知點(diǎn)的軌跡方程為： （）.說(shuō)明：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到. 這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問(wèn)題求解的一條有效通道.例10已知，試討論的值變化時(shí)，方程表示的曲線的形狀.解：（1）當(dāng)時(shí)，方程化為，它表示兩條與軸平行的直線； （2）當(dāng)時(shí)，方程化為，它表示兩條與軸平行的直線； （3）當(dāng)時(shí)，方程化為，它表示一個(gè)單位圓； （4）當(dāng)時(shí)，

12、方程化為，因?yàn)椋运硎疽粋€(gè)焦點(diǎn)在軸上那個(gè)的橢圓； （5）當(dāng)時(shí)，方程化為，因?yàn)?，所以它表示一個(gè)焦點(diǎn)在軸上那個(gè)的橢圓； （6）當(dāng)時(shí)，方程化為，因?yàn)?，所以它表示一個(gè)焦點(diǎn)在軸上那個(gè)的雙曲線.五、強(qiáng)化訓(xùn)練1（南京市2003年高三年級(jí)第一次質(zhì)量檢測(cè)試題） 若對(duì)個(gè)向量存在個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)，使得成立，則稱向量為“線性相關(guān)”依此規(guī)定， 能說(shuō)明，“線性相關(guān)”的實(shí)數(shù)依次可以取 （寫出一組數(shù)值即可，不必考慮所有情況） 2已知雙曲線，直線過(guò)點(diǎn)，斜率為，當(dāng)時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)到直線的距離為，試求的值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).3設(shè)函數(shù)，若當(dāng)0時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4已知關(guān)于的方程有唯一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5試

13、就的不同取值，討論方程所表示的曲線形狀，并指出其焦點(diǎn)坐標(biāo).六、參考答案1分析：本題將高等代數(shù)中維向量空間的線形相關(guān)的定義，移植到平面向量中，定義了個(gè)平面向量線性相關(guān)在解題過(guò)程中，首先應(yīng)該依據(jù)定義，得到，即，于是，所以即則所以，的值依次可?。ㄊ遣坏扔诹愕娜我鈱?shí)數(shù)）2分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問(wèn)題的重要手段. 從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過(guò)點(diǎn)B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式 直線l在l的上方且到

14、直線l的距離為 解題過(guò)程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題求解問(wèn)題關(guān)于x的方程 有唯一解解：設(shè)點(diǎn)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離為： 于是，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.由于，所以，從而有于是關(guān)于的方程， ， 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價(jià)于.由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .說(shuō)明：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.3分析與解：從不等式分析入手，易知首先需要判斷的

15、奇偶性和單調(diào)性，不難證明，在R上是奇函數(shù)和增函數(shù)，由此解出.令，命題轉(zhuǎn)化為不等式，-(*)恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。接下來(lái)，設(shè)，按對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分類使，綜合求得.本題也可以用函數(shù)思想處理，將（*）化為，當(dāng)時(shí)，；（2）時(shí)，由函數(shù)在上是減函數(shù)，易知當(dāng)時(shí)，,綜合（1）、（2）知。說(shuō)明：本題涉及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的條件極值、不等式等知識(shí)，以及用函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化和化歸的思想方法解題，是綜合性較強(qiáng)的一道好題。4分析：方程可轉(zhuǎn)化成，從而得，注意到若將等號(hào)兩邊看成是二次函數(shù)xyl1l2l-20o及一次函數(shù)，則只需考慮這兩個(gè)函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可。解：令，則如圖所示，的圖象為一個(gè)定拋物線，的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使和在x軸上