福建高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)教案――空間角度

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載專題(三)空間角主干知識整合：立體幾何的空間角度中，對三種角度的求解與性質(zhì)的探究，屬于高考永恒的話題經(jīng)典真題感悟：1（07全國理7題）已知正三棱柱ABCABC的側(cè)棱長與底面邊長相等，111則AB與側(cè)面ACCA所成角的正弦等于（A）1114B23A6104CD222（07浙江理16題）已知點O在二面角AB的棱上，點P在內(nèi)，且POB45。若對于內(nèi)異于O的任意一點Q，都有POQ45，則二面角AB的大小是_90_。3（07廣東理19題）如圖6所示，等腰ABC的底邊AB=66，高CD=3，點B是線段BD上異于點B、D的動點.點F在BC邊上，且EFAB.現(xiàn)沿EF將BEF折起到PEF的位置，

2、使PEAE。記BEx，V(x)表示四棱錐PACFE的體積。（）求V(x)的表達式；（）當(dāng)x為何值時，V(x)取得最大值？（）當(dāng)V(x)取得最大值時，求異面直線AC與PF所成角的余弦值；解：1）由折起的過程可知，PE平面ABC，SABC96，BDCx2SBEFx26S5412ABBCBD1MFBFPFBC6549423，V(x)=6x(91x2)（0 x36）312（2）V(x)6(91x2)，所以x(0,6)時，v(x)0，V(x)單調(diào)遞增；6x3634時v(x)0，V(x)單調(diào)遞減；因此x=6時，V(x)取得最大值126；（3）過F作MF/AC交AD與M,則BMBFBEBE,MB2BE12，

3、PM=62，AB2636在PFM中，cosPFM84722，異面直線AC與PF所成角的余弦值為2；4277熱點考點探究：考點一：異面直線所成的角空間角的最小元素其范圍是0,.學(xué)習(xí)必備歡迎下載.直線與直線所成角是立體幾何的所成角（線線角、線面角、面面角）中最簡單的一種，只需要把兩條直線（或其中一條直線）平移，使它們相交于一點，就可以把兩條異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫嬷袃蓷l相交直線所夾角的問題了.要注意的是角的取值范圍，分清那個角是這兩條直線的所成角（或者它的補角）2【例1】如圖（1）所示，在空間四邊形ABCD中，已知AD=1，BC=3，且ADBC，對角線BD=133，AC22，求AC和BD所成

4、的角.同理，GH=，HF，GHAD，HFBC.在ACE中，AC2CE224,2【解析1】如圖（2）所示，分別取AD、CD、AB、BD的中點E、F、G、H，連結(jié)EF、FH、HG、GE、GF.由三角形中位線定理知，EFAC，且EF=3，GEBD，4且GE=13.4GE和EF所成的銳角（或直角）就是AC和BD所成的角.1322又ADBC，GHF90.GF2GH2HF21.在EFG中，EG2EF21GF2，圖（2）GEF90，即AC和BD所成的角為90.【解析2】如圖（3），在平面BCD內(nèi)，過C作CEBD，且CE=BD，連DE，則DEBC且DE=BC.ACE就是AC和BD所成的角（若ACE為鈍角，則A

5、CE的補角就是AC和BD所成的角）.又ADBC,ADDE.AE2AD2DE24.圖（3）32132ACE=90，即AC和BD所成的角為90.【點評】求異面直線所成的角常采用“平移線段法”.平移的方法一般有下面三不存在補角的問題.直線與平面成角的范圍是0,.()當(dāng)k時，求直線PA與平面PBC所成角的大小.在eqoac(,Rt)ODF中,sinODF=OF,學(xué)習(xí)必備歡迎下載種類型：利用圖有已有的平行線平移；利用特殊點（線段的端點或中點）作平行線平移；補形平移，計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行.考點二：線面角直線與射影的夾角為主體直線與平面所成的角分兩種，一是平面的斜線與平面所成的銳角，即斜

6、線與平面內(nèi)的射影所夾的角；二是平面的垂線與平面所成的直角.直線與平面所成角2【例2】如圖（4），在三棱錐PABC中，ABBC，ABBCkPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP底面ABC()求證：OD平面PAB；12【解析】()O、D分別為AC、PC的中點：ODPA,又AC平面PAB,圖（4）OD平面PAB.()ABBC,OA=OC,OA=OC=OB,又OP平面ABC,PA=PB=PC.取BC中點E,連結(jié)PE,則BC平面POE,作OFPE于F,連結(jié)DF,則OF平面PBCODF是OD與平面PBC所成的角.又ODPA,PA與平面PBC所成角的大小等于ODF.圖（5）210OD30PA與平面PBC

7、所成角為arcsin21030【點評】求直線與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角.考點三：二面角用平面角來量度面面成角是立體幾何中的所成角問題的重點，二面角的兩個面是兩個半平面，因此二面角中有鈍角存在，二面角的取值范圍與線線角、線面角不同，它的取值范圍是【0,】.二面角的大小往往轉(zhuǎn)化為其平面角的大小，從而又化歸為三角形的內(nèi)角大小求解，以利用平面幾何、三角函數(shù)等重要知識.【例3】在棱長為a的正方體ABCDABCD中，E、F分別是BC、AD的中點.學(xué)習(xí)必備歡迎下載圖（6）(1)求證：四邊形BEDF是菱形；(2)求直線AC與DE所成的角；(3)求直線AD與平面BEDF所成的角；(4)求面B

8、EDF與面ABCD所成的角.【解析】(1)證明：如上圖所示，由勾股定理，得BE=ED=DF=FB=5a,2下證B、E、D、F四點共面，取AD中點G，連結(jié)AG、EG，由EGABAB知，BEGA是平行四邊形.BEAG,又AFDG,AGDF為平行四邊形.AGFD，B、E、D、F四點共面故四邊形BEDF是菱形.(2)解：如圖（7）所示，在平面ABCD內(nèi)，過C作CPDE，交直線AD于P，圖（7）則ACP(或補角)為異面直線AC與DE所成的角.在eqoac(,A)CP中，易得AC=3a，CP=DE=由余弦定理得cosACP=15155a,AP=13a22故AC與DE所成角為arccos1515.(3)解：

9、ADE=ADF,AD在平面BEDF內(nèi)的射影在EDF的平分線上.如下圖所示.學(xué)習(xí)必備歡迎下載圖（8）又BEDF為菱形，DB為EDF的平分線，故直線AD與平面BEDF所成的角為ADB在eqoac(,Rt)BAD中，AD=2a，AB=2a,BD=2a則cosADB=33故AD與平面BEDF所成的角是arccos3.3(4)解：如圖，連結(jié)EF、BD，交于O點，顯然O為BD的中點，從而O為正方形ABCDABCD的中心.圖（9）作OH平面ABCD，則H為正方形ABCD的中心，再作HMDE，垂足為M，連結(jié)OM，則OMDE，故OMH為二面角BDEA的平面角.在eqoac(,Rt)DOE中，OE=2a,OD=2

10、3a,斜邊DE=5a,22則由面積關(guān)系得OM=ODOE30aDE10在eqoac(,Rt)OHM中，sinOMH=OH30OM6故面BEDF與面ABCD所成的角為arcsin.306【點評】對于第(1)問，若僅由BE=ED=DF=FB就斷定BEDF是菱形是錯誤的，因為存在著四邊相等的空間四邊形，必須證明B、E、D、F四點共面.求線面角關(guān)鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法.求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法.學(xué)習(xí)必備歡迎下載考點四：探索性問題例4.如圖，在三棱錐ABCD中，側(cè)面ABD,ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD3,BDCD1,另一個側(cè)面是正三角形，在線段AC上

11、是否存在一點E，使ED與面BCD成30角，若存在，確定E的位置，若不存在，請說明理由。A分析：如圖5把在三棱錐ABCD補成以BD為棱的正方體HCDB-AMNG,使我們對題意及圖形有透徹理解找到ED與面BCD所成的角。在AC上任取一點E,BED使CEx(0 x2)，利用ED與面BCD所成的角為30來構(gòu)建方程，再求x的值，若x0,2就確定了E點的位置，若x0,2則說明滿足條件的E點不存在。C解法1：如圖6，在三棱錐ABCD中，側(cè)面ABD與ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，AD3,BDCD1,ABC是正三角形，AGBEMND則ABBCCA2HC,O取BC的中點O連結(jié)AOD則BCAO,BCD

12、O，AODOO，BC平面AOD，平面BCD平面AOD，作AHDO,交DO的延長線于H，ODBC，D則平面BC平面AOD1222,DH則AH平面BCD，在RtABCD中，在RtACO中，AO3AC，在RtAOD中，622BEODcosADO，AD2OD2AO262ADOD3HFC3中AHADsinADO1，設(shè)CEx(0 x2)，sinADO3，在RtADH作EFCH于F，平面AHC平面BCD，EF平面BCD,EDF就是ED與面BCD所成的角。由EF,EFx()，在RtCDE中，學(xué)習(xí)必備歡迎下載CE2AHAC2DE22CECD1D2x，要使E與面BC成30角，只需使1,x1，當(dāng)CE1時ED與面BC

13、D成30角則D(0,0,0),E(2x,1,x),DE(x,1,x)，2x2x212解法2在解法1中接（）以D為坐標原點，以直線DB,DC分別為x軸，y軸的正方向，以過D與平面BCD垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如下圖所示2222222又平面BCD的一個法向量為n(0,0,1)，要使ED與面BCD成30角，DEn12x只需使DE與n成60，只需使cos60，即2,x1，DEnx212當(dāng)CE1時ED與面BCD成30角AEzxBDOHFCy規(guī)律總結(jié)：1、求線面角關(guān)鍵是找、作線與面垂直，通常是先尋找面面垂直，得到線面垂直；2、二面角的平面角的基本作法有：定義法，三垂線定理法，垂面法。點到面的

14、距離通常在面面垂直背景下向線作垂線得到線面垂直得射影。另空間距離和角的求解應(yīng)遵循：一作二證三計算。3、向量法在題目中的應(yīng)用專題能力訓(xùn)練：一選擇題：1已知三棱錐DABC的三個側(cè)面與底面全等，且ABAC3，BC2，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的大小為（C）學(xué)習(xí)必備歡迎下載3Barccos12D2Aarccos33C32正四面體ABCD中E、F分別是棱BC和AD之中點，則EF和AB所成的角（A）A45B60C90D30113.已知正四面體ABCD中,AE=AB,CF=CD,則直線DE和BF所成角的余弦為(A)444343A.B.C.D.131313134等邊三角形ABC和等邊三角形

15、ABD在兩個相互垂直的平面內(nèi)，則CAD（B）Aarccos()BarccosCarccos()D121741625.已知單位正方體ABCDA1B1C1D1對棱BB1,DD1上有兩個動點E,F,BE=D1F=(012),設(shè)EF與AB所成的角為,與BC所成的角為,則的最小值(B)A.等于60B.等于90C.等于120D.等于135二填空題：6.棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,若點P為三角形BCD的重心,則D1F與平面ADD1A1所成的角的大小為_arcsin147_7若正三棱錐的側(cè)面均為直角三角形，則它的側(cè)面與底面所成二面角的為大小為arctan2三解答題：8、如圖，在四面體P-ABC

16、中，PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB234，F(xiàn)是線段PB上一點，CF1534，點E在線段AB上，且EF17PB.（1）求證：PB平面CEF；（2）求二面角BCEF的大小。解（I）證明：PA2AC23664100PC2PAC是以PAC為直角的直角三角形，同理可證PAB是以PAB為直角的直角三角形，PCB是以PCB為直角的直角三角形。故PA平面ABC又S112|AC|BC|2PBC10630而|PB|CF|234111534221730SPBC學(xué)習(xí)必備歡迎下載故CFPB,又已知EFPBPB平面CEF（II）由（I）知PBCE,PA平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，故ABCE

17、在平面PAB內(nèi)，過F作FF1垂直AB交AB于F1，則FF1平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的射影，EFEC故FEB是二面角BCEF的平面角。AB105tanFEBcotPBAAP63二面角BCEF的大小為arctan53M，PNBB交CC于點N10如圖，點P為斜三棱柱ABCABC的側(cè)棱BB上一點，PMBB交AA于點11111111(1)求證：CCMN；(2)在任意DEF中有余弦定理：1DE2DF2EF22DFEFcosDFE拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明解(1)證：CC/BBCCPM,CCPN,CC平面PMNCCMN；ABB