線性代數(shù)試卷及答案3套

1、線性代數(shù)（A卷 共四頁）一.填空或選擇填空(共30分,每小題3分)1.設(shè),其中均為四維列向量. 已知,則.2.設(shè)為矩陣,為階可逆矩陣,且,則( ).A B C D3.四維列向量組 ,的秩為_,一個極大無關(guān)組為_.4.齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是( ).A的列向量組線性無關(guān) B的行向量組線性無關(guān)C的列向量組線性相關(guān) D的行向量組線性相關(guān)5.設(shè),都是三階方陣的屬于特征值的特征向量,而,則.6.設(shè)為可逆矩陣的一個特征值,則有一個特征值為.7 8.下列矩陣中不與對角矩陣相似的是( ).A B C D9.設(shè),則與 ( ).A合同但不相似 B合同且相似 C不合同但相似D不合同且不相似10.設(shè)實二

2、次型,當(dāng)( )時,該二次型為正定二次型.A B C D 二.計算下列行列式(共12分,每小題6分)1.；2.(空白處元素全為).三.計算(共20分,每小題10分)1.設(shè)為可逆矩陣,且.1) 求證為可逆矩陣；2) 當(dāng)時,求矩陣.2.求解如下線性方程組；若有無窮多解,請用其特解與導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系聯(lián)合表出通解.四.(18分)求一個正交替換,將如下實二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.五.(5分)求證秩為的實對稱矩陣可以寫成個秩為的實對稱矩陣之和.線性代數(shù)（B卷）一.填空與選擇(30分,每小題3分)1.設(shè),則_.2._.3.設(shè)均為階方陣,則有( ).ABCD4.設(shè)向量組線性無關(guān),則的秩為_.5.設(shè)與相似,則_,_.6.

3、設(shè)的全體特征值為,則( )為可逆矩陣.ABCD7.設(shè)為線性變換在基下的矩陣,則在基下的矩陣為_.8.設(shè)是實對稱矩陣的特征向量,且,則( )也是的特征向量.AB非零C不全為零D全不為零9.實二此型有標(biāo)準(zhǔn)形( ).ABCD10.設(shè)均為階正定矩陣,則( )不一定是正定矩陣.ABCD二.(28分,前3小題各6分,第4小題10分)1.計算階行列式().2.設(shè)階方陣滿足,求證可逆,并求.3.求向量組,的一個極大無關(guān)組,并用該極大無關(guān)組線性表示向量組中其他向量.4.設(shè),其中為的伴隨矩陣,試不計算與,而直接求矩陣.三.(12分)設(shè)線性方程組有解,求參數(shù)；求解線性方程組,若有無窮多解,用其特解與對應(yīng)齊次線性方程

4、組的基礎(chǔ)解系聯(lián)合表出通解.四.(15分)求正交矩陣與標(biāo)準(zhǔn)形,使得二次型經(jīng)過正交線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形.五.(5分)設(shè)矩陣的每列全體元素之和均為.1)求證是的特征值；2)設(shè)為齊次線性方程組的解向量,求證.線性代數(shù)（C卷 共4頁）一.填空與選擇(30分,每小題3分)1.設(shè)三階方陣,其中均為三維列向量. 若,則_.2.四階方陣各元素的代數(shù)余子式之和為_.3.設(shè),則_.4.設(shè),為的伴隨矩陣,則_,_.5.設(shè),則的列向量組可由( )的列向量組線性表示. AB C D6.設(shè),則齊次線性方程組與( ). A無共同解B共同解只有零解 C必有共同非零解 D同解7.設(shè)是矩陣的分別屬于特征值的特征向量,而,則( ).

5、A BC D8.設(shè)二維線性空間上的線性變換在基下的矩陣為,則在基下的矩陣為_.9.實對稱矩陣與( )正交相似. AB C D10.元實二次型的正慣性指數(shù)為_.二.(8分)設(shè).1)求證是的子空間； 2)求的一個基.三.(10分)設(shè),求矩陣,其中.四.(12分)設(shè)線性方程組有解,求參數(shù)；求解線性方程組,若有無窮多解,用其特解與對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系聯(lián)合表出通解.五.(10分)設(shè)是實數(shù)域上的以可微函數(shù)組為基的三維線性空間.1)求微分運算在基下的矩陣；2)問是否存在的某個基,使得線性變換在該基下的矩陣為對角矩陣?必須說明理由.六.(10分)設(shè)為三階實對稱矩陣,而是的屬于特征值的特征向量,是的屬于

6、特征值的特征向量,求參數(shù)與矩陣.七.(16分)求正交矩陣與標(biāo)準(zhǔn)形,使得二次型經(jīng)過正交線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形.八.(4分)設(shè)均為階正定矩陣,求證 正定正定.線性代數(shù)A卷一.填空題（共6小題,滿分18分）1.設(shè)=(1,0,-1,2), =(0,1,0,1),令A(yù)T,則A4 = .2.設(shè)矩陣且BA=B+E,則B-1= .3.設(shè)1, 2是2維的列向量,令A(yù)=(21+2, 1-2),B=(1, 2),若|A|=6, 則|B|= .4.設(shè)A為n階方陣,且A2=A,則RA+ R(A- E) = .5.設(shè)1=(1,1,1), 2=(a,0,b), 3=(1,2,3)線性相關(guān),則a與b應(yīng)滿足的關(guān)系式為 .6. 設(shè)+

7、2=(2,1,t,-1), 2-=(-1,2,0,1),且與正交,則t= . 二.單項選擇題（共6小題,滿分18分） 1. 設(shè)A為n階方陣,且AAT= E,|A|0,則A+ E為 .A 非奇異矩陣,B 奇異矩陣,C正交矩陣,D正定矩陣.2.設(shè)A是43矩陣,且RA=2,若則R(AB)為 .A 2,B 3,C 4,D 0.3. 設(shè)A為n階可逆矩陣,k0為常數(shù),則(k A)* 為 .A k A*, B kn -1 A*, C kn A*, D kn A.4. 設(shè)向量組1, 2, 3線性無關(guān),則下面向量組線性相關(guān)的是 .A 12,23,31, B 1+2,2+3,3+1,C 122,223,321,

8、D 1+22,2+23,3+21.5.設(shè)矩陣Anm,Bmn,且nm,若ABE,則下面結(jié)論正確的是 .A A的行向量組線性相關(guān), B A的列向量組線性無關(guān),C 線性方程組Bx0僅有零解, D 線性方程組Bx0必有非零解.6.設(shè)3階方陣A與B相似,且A的特征值為,則tr(B-1- E)為 .A 2,B 3,C 4,D 6.三.解答題（共6小題,滿分42分）1.設(shè)A為4階方陣,A*是A的伴隨矩陣,且|A|0,而A*O. 1, 2, 3是線性方程組Axb的三個解向量,其中,求線性方程組Axb的通解.2.設(shè)向量組,問a為何值時,向量組1, 2, 3,4線性相關(guān),并求此時的極大無關(guān)組.3.求一組非零向量1

9、, 2與已知向量3(1,1,1)T正交,并把它們化成R3的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基.4.設(shè)矩陣,且A*相似于B,其中A*是A的伴隨矩陣,求x,y.5.設(shè)二次型,其中二次型的矩陣A的特征值之和為1,特征值之積為12,求a,b.6.設(shè)V是二階實對稱矩陣全體的集合,對于通常矩陣的加法與數(shù)乘運算所構(gòu)成的實數(shù)域R上的線性空間.且是V的一個基,試證也是V的一個基.并求V中的向量在該組基下的坐標(biāo). 四.（本題滿分11分）已知齊次線性方程組()()同解,求a,b,c的值.五.（本題滿分11分）設(shè)矩陣3階實對稱矩陣A的各行元素之和為3,且RA1.求A的特征值與特征向量；求正交矩陣P和對角矩陣,使P-1AP=；求A及.線性

10、代數(shù)B卷一.填空題1設(shè)A為3階正交矩陣,且AT= -A*,其中A*是A的伴隨矩陣,則|A| = 2設(shè)線性空間R2的兩個基A：1=(1,0)T, 2=(1,1)T；B：1=(1,1)T,2=(-1,1)T,則A組基到B組基的過渡矩陣為 3設(shè)3階矩陣A的特征值為1,3,5,則A的跡tr(A)= 4若二次型f(x1,x2,x3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3 正定,則t滿足 二.單項選擇題1設(shè)1, 2,3是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系,則該方程組的基礎(chǔ)解系還可為 . A 1-2, 2- 3,3- 1； B與1, 2,3等秩的一個向量組；C 1, 1+ 2,1+ 2+3；

11、D與1, 2,3等價的一個向量組.3設(shè)A為n階非奇異陣(n=2),A*是A的伴隨陣,則 A (A*)*= |A|n -2A ；B (A*)*=|A|n+ 2A ；C (A*)*= |A|n -1A ；D (A*)*=|A|n+ 1A . 4設(shè)A為mn矩陣,C為n階可逆矩陣,RA=r,矩陣B=AC的秩為r1,則 A r r1； B rr1；Brr1；Cr與r1關(guān)系依賴與矩陣C； Dr=r1 .4設(shè)1,2,3是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系,則該方程組的基礎(chǔ)解系還可為 .A 1,1+ 2,1+ 2+3；B 與1,2,3等價的一個向量組；C 1-2,2- 3,3- 1； D 與1,2,3等秩的一個

12、向組.5向量組1,2,s線性無關(guān)的充要條件是 .A 1,2,s都不是零向量； B 1,2,s中任意兩個向量都線性無關(guān)；C 1,2,s中任一向量都不能用其余向量線性表出；D 1,2,s中任意s-1個向量都線性無關(guān).6. 如果 ,則A與B相似.A |A|=|B|； B RA=RB； C A與B有相同的特征多項式；D n階矩陣A與B有相同的特征值且n個特征值各不相同.三.解答題（共5小題,每小題9分,滿分45分）1. 設(shè)向量組1=(1,0,2,1)T,2=(1,2,0,1)T,3=(2,1,3,0)T,4=(2,5,-1,4)T.(1) 判斷向量組的線性相關(guān)性；(2) 求它的秩和一個極大無關(guān)組；(3

13、) 把不在極大無關(guān)組中的向量用極大無關(guān)組線性表示.五.（本題滿分10分）設(shè)實二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的秩為2,且1= (1,0,0)T是(A-2E)x=0的解,2=(0,-1,1)T是(A-6E)x=0的解.(1)求矩陣A的特征值與特征向量；(2)用正交變換將該二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出所用的正交變換和所化的標(biāo)準(zhǔn)形；(3)寫出該二次型.第一部分 選擇題 (共28分)單項選擇題（本大題共14小題,每小題2分,共28分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的,請將其代碼填在題后的括號內(nèi)。錯選或未選均無分。1.設(shè)行列式=m,=n,則行列式等于（ ） A. m+nB. -(m+n

14、) C. n-mD. m-n2.設(shè)矩陣A=,則A-1等于（ ） A. B. C. D. 3.設(shè)矩陣A=,A*是A的伴隨矩陣,則A *中位于（1,2）的元素是（ ） A. 6B. 6 C. 2D. 24.設(shè)A是方陣,如有矩陣關(guān)系式AB=AC,則必有（ ） A. A =0B. BC時A=0 C. A0時B=CD. |A|0時B=C5.已知34矩陣A的行向量組線性無關(guān),則秩（AT）等于（ ） A. 1B. 2 C. 3D. 46.設(shè)兩個向量組1,2,s和1,2,s均線性相關(guān),則（ ） A.有不全為0的數(shù)1,2,s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全為0的數(shù)1,2,s使1（1+1）

15、+2（2+2）+s（s+s）=0 C.有不全為0的數(shù)1,2,s使1（1-1）+2（2-2）+s（s-s）=0 D.有不全為0的數(shù)1,2,s和不全為0的數(shù)1,2,s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.設(shè)矩陣A的秩為r,則A中（ ） A.所有r-1階子式都不為0B.所有r-1階子式全為0 C.至少有一個r階子式不等于0D.所有r階子式都不為08.設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組,1,2是其任意2個解,則下列結(jié)論錯誤的是（ ） A.1+2是Ax=0的一個解B.1+2是Ax=b的一個解 C.1-2是Ax=0的一個解D.21-2是Ax=b的一個解9.設(shè)n階方陣A不可逆,則必有（ ） A.秩(A

16、)nB.秩(A)=n-1 C.A=0 D.方程組Ax=0只有零解10.設(shè)A是一個n(3)階方陣,下列陳述中正確的是（ ） A.如存在數(shù)和向量使A=,則是A的屬于特征值的特征向量 B.如存在數(shù)和非零向量,使(E-A)=0,則是A的特征值 C.A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量 D.如1,2,3是A的3個互不相同的特征值,1,2,3依次是A的屬于1,2,3的特征向量,則1,2,3有可能線性相關(guān)11.設(shè)0是矩陣A的特征方程的3重根,A的屬于0的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)為k,則必有（ ） A. k3B. k312.設(shè)A是正交矩陣,則下列結(jié)論錯誤的是（ ） A.|A|2必為1B.|A|必為1 C.

17、A-1=ATD.A的行（列）向量組是正交單位向量組13.設(shè)A是實對稱矩陣,C是實可逆矩陣,B=CTAC.則（ ） A.A與B相似 B. A與B不等價 C. A與B有相同的特征值 D. A與B合同14.下列矩陣中是正定矩陣的為（ ） A.B. C.D.第二部分 非選擇題（共72分）二.填空題（本大題共10小題,每小題2分,共20分）不寫解答過程,將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯填或不填均無分。15. .16.設(shè)A=,B=.則A+2B= .17.設(shè)A=(aij)33,|A|=2,Aij表示|A|中元素aij的代數(shù)余子式（i,j=1,2,3）,則(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a

18、21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.設(shè)向量（2,-3,5）與向量（-4,6,a）線性相關(guān),則a= .19.設(shè)A是34矩陣,其秩為3,若1,2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解,則它的通解為 .20.設(shè)A是mn矩陣,A的秩為r(n),則齊次線性方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系中含有解的個數(shù)為 .21.設(shè)向量.的長度依次為2和3,則向量+與-的內(nèi)積（+,-）= .22.設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8,已知A有2個特征值-1和4,則另一特征值為 .23.設(shè)矩陣A=,已知=是它的一個特征向量,則所對應(yīng)的特征值為 .24.設(shè)實二次型f(

19、x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4,正慣性指數(shù)為3,則其規(guī)范形為 .三.計算題（本大題共7小題,每小題6分,共42分）25.設(shè)A=,B=.求（1）ABT；（2）|4A|.26.試計算行列式.27.設(shè)矩陣A=,求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.28.給定向量組1=,2=,3=,4=.試判斷4是否為1,2,3的線性組合；若是,則求出組合系數(shù)。29.設(shè)矩陣A=.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。30.設(shè)矩陣A=的全部特征值為1,1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D,使T-1AT=D.31.試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 f(x1,x2,x3)=,并寫出所用的滿秩線性

20、變換。四.證明題（本大題共2小題,每小題5分,共10分）32.設(shè)方陣A滿足A3=0,試證明E-A可逆,且（E-A）-1=E+A+A2.33.設(shè)0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解,1,2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系.試證明（1）1=0+1,2=0+2均是Ax=b的解； （2）0,1,2線性無關(guān)。線性代數(shù)（試卷一）填空題（本題總計20分,每小題2分）1. 排列7623451的逆序數(shù)是。2. 若,則 3. 已知階矩陣.和滿足,其中為階單位矩陣,則。4. 若為矩陣,則非齊次線性方程組有唯一解的充分要條件是_設(shè)為的矩陣,已知它的秩為4,則以為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間維數(shù)為_2_。6. 設(shè)

21、A為三階可逆陣,則 7.若A為矩陣,則齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 8.已知五階行列式,則 9. 向量的模（范數(shù)）。10.若與正交,則 二.選擇題（本題總計10分,每小題2分）1. 向量組線性相關(guān)且秩為s,則(D) 2. 若A為三階方陣,且,則(A)3設(shè)向量組A能由向量組B線性表示,則( d ) 4. 設(shè)階矩陣的行列式等于,則等于。c 5. 設(shè)階矩陣,和,則下列說法正確的是。 則 ,則或 三.計算題（本題總計60分。1-3每小題8分,4-7每小題9分）1. 計算階行列式 。2設(shè)A為三階矩陣,為A的伴隨矩陣,且,求.3求矩陣的逆4. 討論為何值時,非齊次線性方程組 有唯一解； 有無窮多

22、解； 無解。5. 求下非齊次線性方程組所對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和此方程組的通解。 6.已知向量組.,求此向量組的一個最大無關(guān)組,并把其余向量用該最大無關(guān)組線性表示7. 求矩陣的特征值和特征向量四.證明題（本題總計10分）設(shè)為的一個解,為對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,證明線性無關(guān)。 (試卷二)一.填空題（本題總計 20 分,每小題 2 分）1. 排列6573412的逆序數(shù)是 2.函數(shù) 中的系數(shù)是 3設(shè)三階方陣A的行列式,則= A/3 4n元齊次線性方程組AX=0有非零解的充要條件是 5設(shè)向量,=正交,則 6三階方陣A的特征值為1,2,則 7. 設(shè),則.8. 設(shè)為的矩陣,已知它的秩為4,則

23、以為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間維數(shù)為_9設(shè)A為n階方陣,且2 則 10已知相似于,則 , 二.選擇題（本題總計 10 分,每小題 2 分）1. 設(shè)n階矩陣A的行列式等于,則等于 (A) (B)-5 (C) 5 (D)2. 階方陣與對角矩陣相似的充分必要條件是 . (A) 矩陣有個線性無關(guān)的特征向量 (B) 矩陣有個特征值 (C) 矩陣的行列式 (D) 矩陣的特征方程沒有重根3A為矩陣,則非齊次線性方程組有唯一解的充要條件是 A B C (D) 4.設(shè)向量組A能由向量組B線性表示,則( )A(B)(C) (D)5. 向量組線性相關(guān)且秩為r,則 (A) (B) (C) (D) 三.計算題（本

24、題總計 60 分,每小題 10 分）1. 計算n階行列式: .2已知矩陣方程,求矩陣,其中.3. 設(shè)階方陣滿足,證明可逆,并求.4求下列非齊次線性方程組的通解及所對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系:5求下列向量組的秩和一個最大無關(guān)組,并將其余向量用最大無關(guān)組線性表示6已知二次型：, 用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形,并求出其正交變換矩陣Q四.證明題（本題總計 10 分,每小題 10 分）設(shè), , , , 且向量組線性無關(guān),證明向量組線性無關(guān).（試卷三）一.填空題（本題總計20分,每小題2分）按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序,則排列的逆序數(shù)為 設(shè)4階行列式,則 已知,則 已知n階矩陣A.B滿足,則 若A為矩陣,則齊次

25、線性方程組只有零解的充分必要條件是 若A為矩陣,且,則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中包含解向量的個數(shù)為 若向量與向量正交,則 若三階方陣A的特征多項式為,則 9.設(shè)三階方陣.,已知,則 10.設(shè)向量組線性無關(guān),則當(dāng)常數(shù)滿足 時,向量組線性無關(guān).二.選擇題（本題總計10分,每小題2分）以下等式正確的是( ) 4階行列式中的項和的符號分別為（ ）正.正正.負(fù) 負(fù).負(fù)負(fù).正設(shè)A是矩陣,C是n階可逆陣,滿足BAC. 若A和B的秩分別為和 ,則有( ) 以上都不正確 設(shè)A是矩陣,且,則非齊次線性方程組( )有無窮多解有唯一解無解無法判斷解的情況5.已知向量組線性無關(guān),則以下線性無關(guān)的向量組是（ ）三.計算題（