第7章-動態(tài)電路的時域分析-課件

1、第 7 章 動態(tài)電路的時域分析7.1 換路定律及初始值的計算7.2 一階電路的零輸入響應7.3 一階電路的零狀態(tài)響應7.4 一階電路的全響應7.5 一階電路的三要素法*7.6 二階電路分析 7.1 換路定律及初始值的計算7.1.1 過渡過程的概念如圖7.1所示電路。 圖 7.1 實驗電路7.1.2 換路定律及初始值的計算前已述及，若電容電流和電感電壓為有限值，則電容電壓和電感電流均不能躍變，即 (7-1)式(7-1)表述的換路前后瞬間電容電壓和電感電流不能躍變的結果，通常稱為換路定律。例 7.1 圖7.2(a)所示電路中，已知US=18 V，R1=1 ，R2=2 ，R3=3 ，L=0.5 H，

2、C=4.7 F，t=0時，S閉合，設S閉合前電路已處穩(wěn)態(tài)。求i1(0+)、i2(0+)、i3(0+)、uL(0+)、uC(0+)。圖 7.2 例 7.1 圖解 第一步，作t=0等效電路如圖7.2(b)所示，電感相當于短路，電容相當于開路。第二步，根據(jù)t=0等效電路，計算換路前的電感電流和電容電壓： 根據(jù)換路定律，可得第三步，作t=0+等效電路如圖7.2(c)所示，電感L相當于一個 6 A的電流源，電容C相當于一個 12 V的電壓源。第四步，根據(jù)t=0+等效電路，計算其它的相關初始值： 例 7.2 圖7.3(a)所示電路在t=0時換路，即開關S由位置1合到位置2。設換路前電路已經(jīng)穩(wěn)定，求換路后的

3、初始值i1(0+)、i2(0+)和uL(0+)。圖7.3 例 7.2 圖解 (1) 作t=0等效電路如圖7.3(b)所示。則有 (2) 作t=0+等效電路如圖7.3(c)所示。由此可得例7.3 如圖7.4(a)所示電路，t=0時刻開關S閉合，換路前電路無儲能。試求開關S閉合后各電壓、電流的初始值。圖 7.4 例 7.3 圖解 (1) 根據(jù)題中所給定條件，換路前電路無儲能，故有(2) 作t=0+等效電路如圖7.4(b)所示，電容相當于短路，電感相當于開路。則有 7.2 一階電路的零輸入響應零輸入響應是指動態(tài)電路無激勵，僅由初始儲能產(chǎn)生的響應。工程實際中典型的無電源一階電路有電容放電電路(稱RC電

4、路)和發(fā)電機磁場的滅磁回路(稱LC電路)。7.2.1 RC電路的零輸入響應 根據(jù)圖7.6所示電路電壓、電流的參考方向，依KVL有圖7.6 RC電路的零輸入響應將 (式中負號是因為電容電壓和電流參考方向不一致)，將其代入上式可得 (7-2)式(7-2)為常系數(shù)一階線性齊次微分方程。由高等數(shù)學知其通解形式為uC=Aept。其中p是特征方程的根，A為待定積分常數(shù)。式(7-2)的特征方程可將uC=Aept 代入而得RCp+1=0特征根將初始條件uC(0+)=Uo 代入上式，可得A=Uo，則 (7-3)式(7-3)就是零輸入響應，即電容放電過程中電容電壓uC隨時間變化規(guī)律的表達式。電路中的放電電流i(t

5、)和電阻電壓uR(t)分別為 (7-4) (7-5) 從式(7-3)、(7-4)和式(7-5)中可以看出，電壓uC(t)、uR(t)和電流i(t)都是按同樣的指數(shù)規(guī)律衰減的，它們隨時間變化的曲線如圖7.7(a)、(b)所示。圖7.7 RC電路零輸入響應曲線式(7-3)、(7-4)及式(7-5)中的RC具有時間的量綱，因為所以稱其為時間常數(shù)，并令=RC(7-6)引入時間常數(shù)后，式(7-3)、(7-4)和式(7-5)可表示為圖7.8 時間常數(shù)對暫態(tài)過程的影響例 7.4 如圖7.9(a)所示電路，在t=0時刻開關S閉合，S閉合前電路已穩(wěn)定。試求t0 時的i1(t)、i2(t)和iC(t)。圖 7.9

6、 例 7.4 圖解 (1) 作t=0等效電路如圖7.9(b)所示。則有(2) 作t0電路如圖7.9(c)所示，其等效電路如圖7.9(d)所示。則等效電阻故電路的時間常數(shù) 根據(jù)式(7-3)可得在圖7.9(c)所示電路中，可求得7.2.2 RL電路的零輸入響應如圖7.10(a)所示電路。 圖7.10 RL電路的零輸入響應在圖7.10(b)中，依KVL，可得將電感的伏安關系 (7-7)式(7-7)也是一個常系數(shù)一階線性齊次微分方程，與式(7-2)相似，其通解的形式為其中，是電路的時間常數(shù)。特征方程為則代入初始條件iL(0+)=Io，可得A=Io，故電路的零輸入響應為 (7-8)電阻和電感上的電壓分別

7、為 (7-9) (7-10)圖7.11 RL電路的零輸入響應曲線從以上分析可見，RC電路和RL電路中所有的零輸入響應都是由初始值開始以指數(shù)規(guī)律衰減的，且都可寫成相同的形式，即(7-11)例 7.5 如圖7.12(a)所示為一測量電路，已知L=0.4 H，R=1，US=12 V，電壓表內(nèi)阻RV=10 k，量程為 50 V。開關S原閉合，電路已處穩(wěn)態(tài)。t=0時，開關S打開，試求： (1) 電流i(t)和電壓表兩端的電壓uV(t)。(2) t=0時(S剛打開)電壓表兩端的電壓。圖7.12 例 7.5 圖解 (1) t0電路如圖7.12(b)所示，為一RL電路。電路的時間常數(shù)為電感中電流的初始值為根據(jù)

8、式(7-11)，可得電感電流的表達式為電壓表兩端的電壓為(2) 當t=0時該數(shù)值遠遠超過電壓表的量程，將損壞電壓表。在斷開電感電路時，必須先拆除電壓表。圖7.13 RL電路切斷電源時的保護措施7.3 一階電路的零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應是指當電路初始狀態(tài)為零時，由外加激勵產(chǎn)生的響應。外加激勵可為直流電源(電壓或電流)，也可為交流電源。 7.3.1 RC電路的零狀態(tài)響應如圖7.16所示RC串聯(lián)電路，開關S閉合前uC(0)=0，t=0時，S閉合，US接入電路，US向電容充電。在t=0+瞬間，依換路定律，有uC(0+)=uC(0)=0，則US全部加在R兩端(電容相當于短路)，此時i(0+)=US/R為最大

9、。隨著時間的推移，電容被充電，uC隨之升高，此時i=(USuC)/R將逐漸減小, 直至uC=US，i=0，充電結束，電路進入穩(wěn)態(tài)。圖7.16 RC電路的零狀態(tài)響應根據(jù)圖7.16中S閉合后的電路，依KVL有將R、C的伏安關系：代入上式后可得(7-12)式(7-12)為常系數(shù)一階線性非齊次微分方程。由高等數(shù)學知識知，其解由特解ucp和相應齊次方程的通解uch兩部分組成，即uC=ucp+uch 對應于式(7-12)的齊次微分方程即式(7-2)，其通解為非齊次方程式(7-12)的特解為電路達到穩(wěn)態(tài)時的解 ucp=US因此uC的全解為將初始條件uC(0+)=0代入上式，可得A=US則電容電壓的零狀態(tài)響應

10、為 (7-13)式(7-13)為充電過程中電容電壓的表達式。它表明uC的變化規(guī)律。令=RC，則 (7-14)充電電流i(t)和電阻電壓uR(t)為 (7-15)(7-16)uC(t)、uR(t)和i(t)隨時間變化的曲線如圖7.17(a)、(b)所示。圖7.17 RC電路的零狀態(tài)響應曲線7.3.2 RL電路的零狀態(tài)響應如圖7.18所示RL串聯(lián)電路，開關S閉合前iL(0)=0，t=0 時，S閉合，US接入電路。 圖7.18 RL電路的零狀態(tài)響應根據(jù)圖7.18中S閉合后的電路，依KVL，有 (7-17)式(7-17)也是一常系數(shù)一階線性非齊次微分方程，它的解同樣由其特解icp和相應的齊次方程的通解

11、ich組成，即iL=icp+ich其中，特解仍是電路達到穩(wěn)態(tài)時的解齊次微分方程的通解與RL串聯(lián)電路的零輸入響應形式相同，即令將iL(0+)=0代入上式可得則電路的零狀態(tài)響應iL(t)為 (7-18)電感電壓uL(t)和電阻電壓uR(t)分別為 (7-19)iL(t)、uL(t)和uR(t)隨時間變化的波形曲線如圖7.19(a)、(b)所示。圖7.19 RL電路零狀態(tài)響應曲線由上述分析可知： RC電路的零狀態(tài)響應電壓uC(t)和RL電路的零狀態(tài)響應電流iL(t)都是由零狀態(tài)逐漸上升到新的穩(wěn)態(tài)值，而且都可以寫成相同的形式，即 (7-20)式(7-20)中，f()是響應的穩(wěn)態(tài)值。套用此式即可求得RC

12、電路的零狀態(tài)響應電壓uC(t)和RL電路的零狀態(tài)響應電流iL(t)。例 7.6 圖7.20所示電路，t=0時開關S閉合。已知uC(0)=0，求t0時的uC(t)、iC(t)和i(t)。圖7.20 例 7.6 圖解 因為uC(0)=0，故換路后電路屬于零狀態(tài)響應。因此電容電壓可套用式(7-20)求出。又因為電路穩(wěn)定后，電容相當于開路，所以時間常數(shù)根據(jù)式(7-20)得則例 7.7 圖7.21所示電路，換路前電路已達穩(wěn)態(tài)，在t=0時開關S打開，求t0時的iL(t)和uL(t)。圖7.21 例 7.7 圖解 因為iL(0)=0，故換路后電路的響應為零狀態(tài)響應。因此電感電流表達式可套用式(7-20)。又

13、因為電路穩(wěn)定后，電感相當于短路，所以時間常數(shù)根據(jù)式(7-20)得則7.4 一階電路的全響應 以圖7.23所示RC電路為例。UC(0+)=Uo，t=0時，S閉合，計算電路的全響應uC(t)。圖7.23 RC電路的全響應根據(jù)圖7.23中S閉合后的電路，依KVL，有 (7-21)對應于式(7-21)的齊次微分方程的通解為非齊次微分方程的特解為因此，微分方程式(7-21)的全解為代入初始條件uC(0+)=Uo，可得 (7-22)則全響應 (7-23)可以看出，上式右邊第一項是受輸入激勵制約的穩(wěn)態(tài)分量；第二項是隨時間增長而衰減的暫態(tài)分量，也就是說電路的全響應可分解為穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量之和。即圖7.24給

14、出了UoUS三種不同初始狀態(tài)下，RC電路的全響應uC(t)的曲線。圖7.24 三種情況下uC隨時間變化的曲線(a) UoUS還可將式(7-23)寫成下列形式 (7-24)可以看出，上式右邊第一項是uC的零輸入響應，第二項是uC的零狀態(tài)響應，也就是說，電路的全響應還可以分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應的疊加。即當US=0時，響應uC(t)由初始狀態(tài)uC(0+)作用所產(chǎn)生，它就是零輸入響應，則當uC(0+)=0時，響應uC(t)由外加激勵US所產(chǎn)生，它就是零狀態(tài)響應，則因此，電路的全響應為上式與式(7-24)完全相同。圖7.25給出了UoUS 三種情況下，用零輸入響應和零狀態(tài)響應疊加而得到的uC(t)

15、的全響應曲線，其結果與穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量疊加是一樣的。圖7.25 三種情況下uC隨時間變化的曲線(a) UoUS例 7.8 圖7.26所示電路，在t=0時開關S打開，已知uC(0+)=5 V。求t0電路的全響應uC(t)。圖7.26 例 7.8 圖解 作t0電路如圖7.26(b)所示。用響應的兩種分解方法求全響應uC(t)。方法1 全響應分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應的疊加。按圖7.26(b)所示電路，當IS=0時，uC(0+)=5 V，則電路的零輸入響應為故得出按圖7.26(b)所示電路，當uC(0+)=0 時，IS=1 A，則電路的零狀態(tài)響應為電路的全響應電容電壓則為方法2 全響應分解為穩(wěn)態(tài)

16、分量和暫態(tài)分量的疊加。穩(wěn)態(tài)分量uC()=20 V暫態(tài)分量為所以全響應為7.5 一階電路的三要素法由于一階電路的全響應為零輸入響應與零狀態(tài)響應之和，因此全響應是動態(tài)電路響應的一般形式。用f(t)表示全響應，則全響應可由下式求出 (7-25)例 7.9 圖7.28(a)所示電路，t=0時S打開，設S打開前電路已處于穩(wěn)態(tài), 已知US=24 V、R1=8 、R2=4 、L=0.6 H。求t0時的iL(t)和uL(t)并畫出其波形。圖7.28 例 7.9 圖解 (1) 求初始值iL(0+)、uL(0+)。作t=0等效電路如圖7.28(b)所示。依圖有作t=0+等效電路如圖7.28(c)所示。依KVL有(

17、2) 求穩(wěn)態(tài)值iL()、uL()。作t=穩(wěn)態(tài)等效電路如圖7.28(d)所示，依圖有(3) 求時間常數(shù) 。先計算電感斷開后端口輸入電阻，電路如圖7.28(e)所示，依圖有則時間常數(shù)為根據(jù)式(7-25)計算出各響應量為iL(t)、uL(t)的波形如圖7.28(f)所示。例 7.10 圖7.29(a)所示電路，在t=0時開關S閉合，S閉合前電路已處穩(wěn)態(tài)。求t0 時uC(t)、iC(t)和i(t)。圖7.29 例 7.10 圖解 (1) 求初始值uC(0+)、iC(0+)、i(0+)。作t=0等效電路如圖7.29(b)所示。依圖有作t=0+等效電路如圖7.29(c)所示。列出網(wǎng)孔電流方程聯(lián)立求解(=3

18、2，i=40，ic=80)，得(2) 求穩(wěn)態(tài)值uC()、iC()、i()。作t=時等效電路如圖7.29(d)所示，依圖有(3) 求時間常數(shù)。將電容元件斷開，電壓源短路，如圖7.29(e)所示，求得等效電阻時間常數(shù)(4) 根據(jù)式(7-25)得出電路的響應電壓、電流分別為例 7.11 如圖7.30(a)所示含受控源電路，開關S閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，在t=0時開關S閉合。求t0時的iL(t)、uL(t)和i(t)。圖7.30 例 7.11 圖解 (1) 求iL(0)，因此時電路已處于穩(wěn)態(tài)，2 H電感相當于短路線，故iL(0)=1 A。(2) 求初始值iL(0+)、uL(0+)、i(0+)，因iL(0

19、)=1 A，故由換路定律得iL(0+)=iL(0)=1 A 作t=0+等效電路如圖7.30(b)所示，電感相當于 1 A的電流源。列節(jié)點方程解之，得則(3) 求穩(wěn)態(tài)值iL()、uL()、i()。作t=時等效電路如圖7.30(c)所示，依圖有(4) 求時間常數(shù)。用外加電壓法求電感元件兩端電路的戴維南等效電阻R，其等效電路如圖7.30(d)所示，依圖有故則時間常數(shù)為(5) 根據(jù)式(7-25)計算出各響應量為例 7.12 如圖7.31(a)所示電路中，已知US=12 V，R1=3 k，R2=6 k，C=5 F，電容中無儲能。t=0時將開關S閉合，經(jīng)0.02 s后又重新打開，試求t0時的uC(t)及其

20、波形。圖7.31 例 7.12 圖解 由于開關S閉合后又打開，故電路的過渡過程分為兩個階段。(1) t=0時S閉合后，電容充電，用三要素法求電容電壓uC。則(2) 以t=0.02 s為換路時刻，S打開后，電容放電，用三要素法求電容電壓uC。則*7.6 二階電路分析如圖7.33所示的RLC串聯(lián)電路，若電容電壓及電感電流的初始值分別為uC(0+)和iL(0+)，開關S在t=0時閉合，則儲能元件將通過電路進行放電。這是一個零輸入響應電路。下面對電路的響應情況進行分析。依KVL，得uR+uLuC=0圖7.33 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應按圖中標定的電壓、電流參考方向有將以上各式代入KVL方程，便可以得

21、出以uC為響應變量的微分方程，為 (7-26)式(7-26)為一常系數(shù)二階線性齊次微分方程，其特征方程為LCp2+RCp+1=0其特征根為 (7-27)式中，由式(7-27)可見，特征根由電路參數(shù)R、L、C的數(shù)值來確定，反映了電路本身的固有特性。根據(jù)電路參數(shù)R、L、C數(shù)值的不同，特征根p1、p2可能出現(xiàn)如下四種情況。(1) 當時，p1、p2為不相等的負實根，稱為過阻尼情況。特征根為微分方程的通解為 (7-28)式中待定常數(shù)A1、A2由初始條件來確定，其方法是當t=0+時刻，則由式(7-28)可得uC(0+)=A1+A2(7-29)對式(7-28)求導，可得 t=0+時刻uC(t)對t的導數(shù)的初

22、始值為 (7-30)聯(lián)立求解式(7-29)和式(7-30) ，便可以解出A1、A2。由式(7-28)可見，零輸入響應uC(t)是按指數(shù)規(guī)律衰減的，為非振蕩，其波形如圖7.34所示。圖7.34 過阻尼時的uC(t)波形(2) 當時，p1、p2為相等的負實根，稱為臨界阻尼情況。特征根為微分方程的通解為(7-31)式中常數(shù)A1、A2由初始條件uC(0+)和uC(0+) 來確定。根據(jù)式(7-31)可知，這種情況的響應也是非振蕩。uC(t)隨時間變化的波形圖如圖7.35 所示。圖7.35 臨界阻尼情況零輸入響應uC(t)的波形圖 (3) 當時，p1、p2為具有負實部的共軛復根，稱為欠阻尼情況。特征根為式中 (7-32)稱為阻尼振蕩角頻率。微分方程的通解為 (7-33)式中常數(shù)A和由初始條件確定。由式(7-33)可知，響應隨時間變化的規(guī)律具有衰減的振蕩特性，其振幅Aet隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快慢取決于衰減系數(shù)的大小，越大則衰減越快。衰減振蕩的角頻率為d，d越大，則振蕩周期T=2/d 就越小。uC(t)的波形圖如圖7.36所示。圖 7.36 欠阻尼情況電路零輸入響應uC(t)波形曲線(4) 當R=0時，p1、p2為一對共軛虛根，稱為無阻尼情況。特征根為響應的表達式為 (7-34)A和可以直接由初始條件