【VIP專享】第七章-多元生命函數(shù)課件

1、第七章多元生命函數(shù)本章結(jié)構(gòu)多元生命函數(shù)簡介 連生狀況最后生存狀況生命模型人壽保險與生存年金在特殊死亡律假定下求值本章中英文單詞對照多元生命函數(shù)連生狀態(tài)最后生存狀態(tài)共同震動繼承年金Multiple life functionJoint-life statusLast-survivor statusCommon shockReversionary annuities第一節(jié)多重生命函數(shù)簡介多重生命函數(shù)的定義及作用多元生命函數(shù)的定義：涉及多個生命剩余壽命的函數(shù)。作用養(yǎng)老金給付場合合伙人聯(lián)保場合遺產(chǎn)稅計算場合多元剩余壽命的聯(lián)合分布聯(lián)合密度函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)多元剩余壽命的聯(lián)合分布邊際生存函數(shù)第二節(jié)多元生命狀

2、況連生狀況連生狀況定義：當(dāng)所有成員都活著時的狀況，稱為連生狀況。當(dāng)有一個成員死亡時，連生狀況就結(jié)束了。簡記連生狀況為：連生狀況剩余壽命等于：連生狀況剩余壽命的性質(zhì)：求連生狀況的剩余壽命實質(zhì)上就是m個生命的最小次序統(tǒng)計量兩個體連生狀況的生命函數(shù)分布函數(shù)生存函數(shù)兩個體連生狀況的生命函數(shù)密度函數(shù)死亡效力函數(shù)兩個體連生狀況的生命函數(shù)兩獨立個體至少有一個在第K年死亡的概率連生狀況整值剩余壽命為k的概率兩個體連生狀態(tài)的生命函數(shù)剩余壽命期望最后生存狀況最后生存狀況定義：只要有一個成員活著時的狀況，稱為最后生存狀況。只有當(dāng)所有成員都死亡時，最后生命狀況才算結(jié)束。簡記為：最后生存狀況的剩余壽命等于：最后生存狀況

3、的剩余壽命的性質(zhì)：最后生存狀況的剩余壽命實際上就是m個生命的剩余壽命的最大次序統(tǒng)計量多元生存狀況剩余壽命的關(guān)系 兩個體最后生存狀況的生命函數(shù)分布函數(shù) 等價公式兩個體最后生存狀況的生命函數(shù)生存函數(shù) 等價公式兩個體最后生存狀況的生命函數(shù)密度函數(shù) 等價公式兩個體最后生存狀況的生命函數(shù)死亡效力函數(shù)兩個體最后生存狀況的生命函數(shù)最后生存狀況整值剩余壽命為k的概率等價公式兩個體最后生存狀態(tài)的生命函數(shù)剩余壽命期望例1：假定（60）和（65）服從Moivre 生存模型，計算例1答案例1答案例2假定：不抽煙的人的死亡力是同年齡抽煙的人的死亡力的一半。不抽煙的人數(shù)滿足如下方程有一對夫妻丈夫（65）不抽煙，妻子（55

4、）抽煙，求他們還能共同生活的期望時間。例2答案聯(lián)合生命狀況剩余壽命協(xié)方差分析第三節(jié)聯(lián)合生命模型簡介聯(lián)合生命模型分為兩類：Common Skhoc 模型：它假定個體之間的剩余壽命隨機變量相互獨立的模型。這種模型假定有時與現(xiàn)實情況不符，但易于分析。Copulas模型：它假定個體之間的剩余壽命隨機變量不獨立的模型。這種模型假定更符合實際情況，但不易于分析。Common Shock 模型 如果有 滿足且有一個Common Shock 隨機變量Z，它獨立于 ,且服從指數(shù)生存函數(shù)令則聯(lián)合生命狀況分析 記邊際生存函數(shù)為 連生狀況剩余壽命生存函數(shù)為 最后生存狀況剩余壽命生存函數(shù)為 第四節(jié)人壽保險與生存年金 壽

5、險躉繳純保費的確定原理聯(lián)合生命狀況下壽險躉繳保費的確定連生狀況最后生存狀況聯(lián)合生命狀況下生存年金的確定原理連生狀況最后生存狀況連生狀況和最后死亡狀況的關(guān)系例3例1續(xù)，假定計算例3答案（1）例3答案（2）單重次順位函數(shù) 在n年之內(nèi)，(x) 先于(y)死亡單重次順位函數(shù) 在n年之內(nèi)， (y) 后于(x)死亡 順位保險例4例1續(xù)求例5假定有一(20)歲女性，一(50)歲男性已知求兩者中第一個死亡者的期望壽命例5答案例4答案（1）例4答案（2）繼承年金(reversionary annuities)繼承年金的定義：在聯(lián)合生命狀態(tài)中，只有在其中一個生命（v）死亡之后，另一個生命（u）才能開始獲得年金。這

6、種年金叫做繼承年金，簡記為 。終身繼承年金定期繼承年金第五節(jié)特殊死亡律假定下求值Gomperz假定下 目的：尋找能替代連生狀態(tài)的單個生命狀態(tài)w，即已知在Gomperz假定下有 ，則在兩生命獨立假定下有由這個等式可求出w，于是Makeham假定下 由于Makeham假定的死亡效力函數(shù)含有常數(shù)項，所以無法用單個生命狀態(tài)替換連生狀態(tài)，但是可以考慮用兩個同年齡的連生狀態(tài)（w，w）作替換，即已知在Makeham假定下有 ，則在兩生命獨立假定下有由這個等式可求出，于是 例6假定生命表服從Makeham分布且多元生命狀態(tài)20:30可以被W:W代替。假定多元生命狀態(tài)10:W可以被Z:Z代替求Z.例6答案均勻分布假定在均勻分布假定下，躉繳純保費和生存年金具有單生命狀態(tài)下近似的性質(zhì)補充案例1假定有一20歲的女性和一50歲的男性。已知求第一個死亡的期望年齡。補充案例2求（10）和（20）都能活到他們目前年齡的兩倍且至少