信號與系統(tǒng)SandS-2-12課件

1、ThemeGallery PowerTemplate2-12 微分方程系統(tǒng)的特性國家“十二五”規(guī)劃教材信號與系統(tǒng) 重點難點零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng) 沖擊響應(yīng) 2-12 微分方程系統(tǒng)的特性 如果需要獲得關(guān)于LTI系統(tǒng)的更多信息，可以進一步將描述系統(tǒng)的微分方程的響應(yīng)分解成兩個響應(yīng)分量的疊加：其中一個響應(yīng)分量只由系統(tǒng)的初始狀態(tài)（或條件）決定，稱為系統(tǒng)的自然響應(yīng)（記為 ），由于此時系統(tǒng)的輸入被置為零，故又稱為零輸入響應(yīng)（記為 ）；另一個響應(yīng)分量則由系統(tǒng)的外部輸入信號產(chǎn)生，稱為系統(tǒng)的受迫響應(yīng)（記為 ），由于此時系統(tǒng)的初始狀態(tài)被置為零，故又稱為零狀態(tài)響應(yīng)（記為 ）。因此，對于連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，其微分方程的

2、完全響應(yīng)（解）就可以有以下3種描述形式2-12 微分方程系統(tǒng)的特性齊次解-特解描述形式： （2-12-1） 自然響應(yīng)-受迫響應(yīng)描述形式： （2-12-2）零輸入響應(yīng)-零狀態(tài)響應(yīng)描述形式： （2-12-3）2-12-1 自然響應(yīng) 前面已經(jīng)強調(diào)，微分方程系統(tǒng)的初始狀態(tài)決定方程的齊次解 ，而齊次解在完全解中的成份又被稱為系統(tǒng)的自然響應(yīng) 。注意到自然響應(yīng)假定了零輸入條件（如果輸入不為零則強迫置零），描述的是由非零初始狀態(tài)所體現(xiàn)的系統(tǒng)儲能的方式，故又稱為零輸入響應(yīng) 顯然這3個術(shù)語彼此是等價的。 由于自然響應(yīng)有零輸入條件約束，故其響應(yīng)形式應(yīng)如齊次解形式，并且與特解無關(guān)。而齊次解中的待定系數(shù) ，可根據(jù)系統(tǒng)的

3、初始狀態(tài)確定。除此之外，因為齊次解滿足整個時間區(qū)間，不需要進行初始條件的變換就可求出系統(tǒng)的自然響應(yīng)。2-12-2 受迫響應(yīng) 受迫響應(yīng) 是系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，僅由系統(tǒng)外部輸入信號產(chǎn)生的響應(yīng)。這里，初始狀態(tài)為零稱為系統(tǒng)處于零狀態(tài)，而零狀態(tài)意味著系統(tǒng)中沒有儲能，因此 描述了當系統(tǒng)處于零狀態(tài)時系統(tǒng)受輸入信號驅(qū)動的結(jié)果。顯然，受迫響應(yīng)在形式上與系統(tǒng)的完全解是相同的。 受迫響應(yīng) 依賴于系統(tǒng)的特解，僅僅在時成立。2-12-3 沖激響應(yīng) 如果在零初始狀態(tài)條件下考慮構(gòu)建連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，則獲得系統(tǒng)的另一種描述形式，即卷積積分（或疊加積分）模型。在卷積積分模型中，系統(tǒng)的特性是用單位沖激響應(yīng)描述的，故需

4、首先定義連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。定義連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是以單位沖激函數(shù) 作為系統(tǒng)的輸入信號，并且假設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時的系統(tǒng)輸出，記為 。需要強調(diào)的是，單位沖激函數(shù) 僅僅在系統(tǒng)的初始時刻 時驅(qū)動系統(tǒng)。2-12-3 沖激響應(yīng) 如前所述，連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的動態(tài)特性可用階常系數(shù)微分方程來建模，其一般形式由式（2-11-1）描述。如果令系統(tǒng)的輸入信號 ，則系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)根據(jù)定義應(yīng)為（2-12-1） 式中 是系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，且根據(jù)定義有： 2-12-3 沖激響應(yīng) 對于 ，因為有 故式（2-12-1）在形式上就等同于齊次方程，即（2-12-2） 但系統(tǒng)在 時的初始條件

5、，必須另行確定。一般情況下，系統(tǒng)在 時的初始條件 可以通過奇異函數(shù)匹配法（直接法）或者系統(tǒng)的線性及時不變性得到。但在時域中奇異函數(shù)匹配法較為繁瑣，所以下面的內(nèi)容將局限在基于線性及時不變性的方法上。2-12-3 沖激響應(yīng) 對于式（2-12-2），可將系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) 分解為兩部分，再用線性性質(zhì)和疊加原理求解，步驟如下： 第一步：定義一個基本單位沖激響應(yīng) 為（2-12-3） 對于 ，因為有 ，故式（2-12-3）在形式上就等同于齊次方程，即（2-12-4） 該系統(tǒng)的初始條件是 ，為方便計，不妨令式中系數(shù) 。2-12-3 沖激響應(yīng) 通過推理可知，在 時刻式（2-12-3）等式右端是一個單位沖激函數(shù)

6、 ，因此式（2-12-3）在等式左端必存在一個 函數(shù)以 便匹配方程兩端。顯然,方程左端只有 項能夠包含 函數(shù)項，相應(yīng)地， 的積分項 中只能包含單位階躍函數(shù)項 （若包含 ， 則 將包含 ，而不是 ），因此初始條件必有 。這就說明 在 處存在一個跳躍間斷點，且這個跳躍必須等于1，而其它各項 在 處均不存在跳躍間斷點，這也就意味著 2-12-3 沖激響應(yīng) 綜上所述，可以得到結(jié)論：在 時刻，基本單位沖激響應(yīng) 的初始條件為（2-12-5） 第二步：根據(jù)LTI系統(tǒng)的線性性質(zhì)和微分特性，可得到由式（2-12-1）定義的LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為（2-12-6） 2-12-3 沖激響應(yīng)例2-12-1 系統(tǒng)微分

7、方程如下試求其單位沖激響應(yīng)。解：系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)將滿足2-12-3 沖激響應(yīng)由式（2-12-6）可知上述微分方程的單位沖激響應(yīng)為其中，基本單位沖激響應(yīng) 求解如下針對上式可解出2-12-3 沖激響應(yīng)為求導(dǎo)方便，上式改寫成由單位階躍函數(shù) 的單邊約束形式它的一階導(dǎo)數(shù)為代入 時刻由 函數(shù)引入的初始條件，可得到 。因此，基本單位沖激響應(yīng) 為因此，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為2-12-3 沖激響應(yīng)例2-12-2 描述系統(tǒng)的微分方程設(shè)為試求其單位沖激響應(yīng)。解：系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)將滿足由式（2-12-6）可知上述微分方程的單位沖激響應(yīng)為2-12-3 沖激響應(yīng)其中，基本單位沖激響應(yīng)求解如下針對上式可解出代入 時刻由

8、函數(shù)引入的初始條件，可得到 因此，基本單位沖激響應(yīng) 為2-12-3 沖激響應(yīng) 為求導(dǎo)方便，上式改寫成由單位階躍函數(shù) 的單邊約束形式因此，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為它的一階和二階導(dǎo)數(shù)分別為 2-12-4 零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)和階躍響應(yīng) 1、零狀態(tài)響應(yīng) 在章第8講中我們曾經(jīng)指出，松弛系統(tǒng)的響應(yīng) 是任意輸入信號 與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng) 的卷積積分。這個結(jié)論給出了一個重要的概念，即根據(jù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)、輸入信號和卷積積分模型，可以完全確定連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) ，即（2-12-7）因此，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)模型描述了LTI系統(tǒng)在零初始條件下的特性。2-12-4 零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)和階躍響應(yīng) 卷積積

9、分還可以說明系統(tǒng)在 時， 是線性時不變系統(tǒng)因果性的充分條件。因為若給出系統(tǒng)在 時的零狀態(tài)響應(yīng)（2-12-8）則當 時 就意味著在 時， 不依賴于系統(tǒng)輸入 ，即系統(tǒng)是因果的。用變量代換 ，如果 時， ，可見系統(tǒng)是因果的。事實上這個條件是系統(tǒng)因果性的充分必要條件，即一個連續(xù)時間LTI系統(tǒng)是因果的，當且僅當在 時， 。對于因果系統(tǒng)而言，式（2-12-7）等價于（2-12-9）2-12-4 零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)和階躍響應(yīng) 2、零輸入響應(yīng) 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 因為與系統(tǒng)微分方程的齊次方程完全相同，故求解與齊次解方法沒有差別。 3、階躍響應(yīng) 連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)有密切的關(guān)系，應(yīng)

10、用中經(jīng)常用階躍輸入信號分析LTI系統(tǒng)對突變信號的響應(yīng)特性。 定義連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是以單位階躍函數(shù) 作為系統(tǒng)的輸入信號，并且假設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時的系統(tǒng)輸出，記為 。需要指出的是，單位階躍函數(shù) 是在 時對系統(tǒng)的跳躍（由0跳躍到1）驅(qū)動。2-12-4 零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)和階躍響應(yīng)上式說明，連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是其單位沖激響應(yīng)的積分。對上式等式兩邊求導(dǎo)數(shù)，有 根據(jù)卷積積分的概念，當系統(tǒng)的輸入信號 時，連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 就等于系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 。因此， 就是 與 的卷積，即（2-12-10） （2-12-11） 可見連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是其

11、單位階躍響應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)。2-12-5 線性和時不變性 1、強迫響應(yīng)對輸入呈線性 由微分方程描述的連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的強迫響應(yīng)對系統(tǒng)的輸入信號呈現(xiàn)線性性質(zhì)。也就是說，假如 是系統(tǒng)針對輸入序列 產(chǎn)生的強迫響應(yīng)， 是系統(tǒng)針對輸入序列 產(chǎn)生的強迫響應(yīng)，則線性加權(quán)組合輸入序列 作用于系統(tǒng)時將產(chǎn)生線性加權(quán)組合的強迫響應(yīng) 。2-12-5 線性和時不變性 2、自然響應(yīng)對初始條件呈線性 由微分方程描述的連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的自然響應(yīng)對系統(tǒng)的初始條件呈現(xiàn)線性性質(zhì)。也就是說，假如 是系統(tǒng)針對初始條件 產(chǎn)生的自然響應(yīng)， 是系統(tǒng)針對輸入序列 產(chǎn)生的自然響應(yīng)，則線性加權(quán)組合初始條件 作用于系統(tǒng) 時將產(chǎn)生線性加權(quán)組合的自然響

12、應(yīng) 。2-12-5 線性和時不變性 3、強迫響應(yīng)的時不變性和因果性 系統(tǒng)的強迫響應(yīng)具有時不變特性。這是因為強迫響應(yīng)要求系統(tǒng)是零狀態(tài)（初始條件）的，當系統(tǒng)輸入信號延遲一個時間，則強迫響應(yīng)相應(yīng)地也將延遲同樣的時間。可以證明，強迫響應(yīng)還滿足因果性，因為系統(tǒng)處于零狀態(tài)時，系統(tǒng)的輸出不可能超前于系統(tǒng)的輸入序列。 另一方面，由微分方程描述的連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的完全響應(yīng)卻不是時不變的，因為系統(tǒng)的初始條件將產(chǎn)生一個不隨輸入延遲而延遲的輸出項。2-12-6 特征值 連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的受迫響應(yīng)即取決于系統(tǒng)的輸入，也取決于系統(tǒng)特征方程的特征值，因為它既包含微分方程的特解，亦包含方程的齊次解。 而系統(tǒng)的自然響應(yīng)則完

13、全取決于系統(tǒng)特征方程的特征值。 除此之外，系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)也取決于系統(tǒng)特征方程的特征值，因為它也包含有與自然響應(yīng)的函數(shù)形式相同的項。 因此，系統(tǒng)特征方程的特征值能夠提供許多關(guān)于LTI系統(tǒng)特性的信息。2-12-6 特征值 連續(xù)時間LTI系統(tǒng)特征方程的特征值對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有重要影響。因為系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性定義要求一個穩(wěn)定系統(tǒng)對零輸入的響應(yīng)必須在任意初始條件下都是有界的，這就意味著系統(tǒng)的自然響應(yīng)也必須有界。而要求自然響應(yīng)有界，對于由微分方程描述的連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，其系統(tǒng)特征方程的特征值 必須滿足下述條件：（2-12-12） 或（2-12-13） 綜上所述，對于連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，只有任意一個特征值的實部大于零，則系統(tǒng)就不穩(wěn)定。2-12-6 特征值 連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)時間也取決