工程振動(dòng)測試技術(shù)01-第1章-振動(dòng)的基本理論課件

1、劉習(xí)軍工程振動(dòng)測試技術(shù)工程振動(dòng)測試技術(shù)劉習(xí)軍 教授天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院力學(xué)系振動(dòng)是指物體在其穩(wěn)定的平衡位置附近所作的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。第1章 振動(dòng)的基本理論為了研究振動(dòng)現(xiàn)象的基本特征，首先建立理想化的力學(xué)模型，即振動(dòng)系統(tǒng)。具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性的系統(tǒng)，稱為連續(xù)彈性體系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程是偏微分方程。對連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行簡化，形成有限個(gè)彈簧質(zhì)量的離散系統(tǒng)。稱為離散系統(tǒng)或多自由度系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)方程是常微分方程。最簡單的情況是單自由度系統(tǒng)。1.1 振動(dòng)系統(tǒng)的組成一般來說，振動(dòng)系統(tǒng)主要由彈簧、質(zhì)量、阻尼器和激振力系統(tǒng)組成。1恢復(fù)力 彈簧是產(chǎn)生恢復(fù)力的彈性部件(具有勢能)。它可以是線性的也可以是非線性的。2慣性力 質(zhì)量產(chǎn)生

2、慣性力(轉(zhuǎn)動(dòng)慣量) 具有動(dòng)能。 應(yīng)用能量觀點(diǎn)來說，產(chǎn)生的振動(dòng)過程就是兩種能量的反復(fù)交換。3阻尼力 阻尼是對振動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生的阻尼力的總稱，阻尼是客觀存在的，阻尼只能消耗能量。4激振力激振力是振動(dòng)系統(tǒng)之外的物體對振動(dòng)系統(tǒng)的作用，是對振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行能量補(bǔ)充的系統(tǒng)。a、周期函數(shù)形式的力f ( t ) = f ( t + m T ), m = 0, 1, 2, b、正弦函數(shù)形式的力c、周期性矩形波形式的力d、 沖激函數(shù)形式的力關(guān)于單自由度系統(tǒng)振動(dòng)的概念彈簧質(zhì)量系統(tǒng) 1. .1 自由振動(dòng)方程1 .2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 當(dāng)物塊在任意位置x時(shí)，物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為 其中以物塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸鉛直向

3、下為正。當(dāng)物塊在靜平衡位置時(shí)，由平衡條件無阻尼自由振動(dòng)微分方程 固有圓頻率整理得其通解為：其中C1和C2為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動(dòng)的起始條件確定。設(shè)t=0時(shí)， 可解 兩種形式描述的物塊振動(dòng)，稱為無阻尼自由振動(dòng)，簡稱自由振動(dòng)。 另一種形式 無阻尼的自由振動(dòng)是以其靜平衡位置為振動(dòng)中心的簡諧振動(dòng) 初相位角 振 幅振動(dòng)的周期系統(tǒng)的固有頻率系統(tǒng)的固有圓頻率為固有頻率只與振動(dòng)系統(tǒng)的彈簧常量k和物塊的質(zhì)量 m 有關(guān)，而與運(yùn)動(dòng)的初始條件無關(guān)。 單自由度線性系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)微分方程等效的概念這一方程，可以等效為廣義坐標(biāo)的形式meq-等效剛度。keq -等效質(zhì)量。等效系統(tǒng)內(nèi)燃機(jī)的曲軸、輪船的傳動(dòng)軸等，在運(yùn)轉(zhuǎn)中常常產(chǎn)

4、生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，簡稱扭振。 根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程建立該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程固有圓頻率扭振的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 阻尼系統(tǒng)中存在的各種阻力：干摩擦力，潤滑表面阻力，液體或氣體等介質(zhì)的阻力、材料內(nèi)部的阻力。物體運(yùn)動(dòng)沿潤滑表面的阻力與速度的關(guān)系c粘性阻尼系數(shù)或粘阻系數(shù)。它與物體的形狀、尺寸及介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，單位是牛頓米/秒(Ns/m)。 1.2.2 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 圖示為一有阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)的簡化模型。以靜平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，選x軸鉛直向下為正，有阻尼的自由振動(dòng)微分方程 整理得引入阻尼比2.臨界阻尼(n = pn即1)情形的解 這兩種情形下，沒有振動(dòng)的性質(zhì)。11Otx臨界阻尼系數(shù)1.強(qiáng)阻尼（npn即1）情

5、形的解3.弱阻尼(npn即1)情形的解其中C1和C2為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動(dòng)的起始條件確定。設(shè)t = 0時(shí)， 可得C1=x0 另一種形式初相位角 振 幅 這種情形下，自由振動(dòng)不是等幅簡諧振動(dòng)，是按負(fù)指數(shù)衰減的衰減運(yùn)動(dòng)。 衰減振動(dòng):物塊在平衡位置附近作具有振動(dòng)性質(zhì)的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，但它的振幅不是常數(shù)，隨時(shí)間的推延而衰減。設(shè)衰減振動(dòng)經(jīng)過一周期Td，在同方向的相鄰兩個(gè)振幅分別為Ai和Ai+1，即兩振幅之比為稱為振幅減縮率或減幅系數(shù)。由此可見 ，在弱阻尼情況下，周期的變化雖然微小，但振幅的衰減卻非常顯著 ，它是按幾何級(jí)數(shù)衰減的。 強(qiáng)迫振動(dòng)激勵(lì)形式振動(dòng)系統(tǒng)在外界激勵(lì)下產(chǎn)生的振動(dòng)。 外界激勵(lì)一般為時(shí)間的函數(shù)，可以

6、是周期函數(shù)，也可以是非周期函數(shù)。 簡諧激勵(lì)是最簡單的激勵(lì)。一般的周期性激勵(lì)可以通過傅里葉級(jí)數(shù)展開成簡諧激勵(lì)的疊加。 1.2.3 簡諧激勵(lì)作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)簡諧激振力F0為激振力的幅值，w為激振力的圓頻率。物塊運(yùn)動(dòng)微分方程為 具有粘性阻尼的單自由度受迫振動(dòng)微分方程，是二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程。 整理得其中 微分方程的解齊次解: x1(t)特解: x2(t)運(yùn)動(dòng)微分方程的全解運(yùn)動(dòng)微分方程的全解 有阻尼系統(tǒng)簡諧激勵(lì)響應(yīng)中的特解是指不隨時(shí)間衰減的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：這表明：穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)是與激勵(lì)頻率相同的諧振動(dòng)。其中則有稱為放大系數(shù) 在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng) 1時(shí)，1，Bb，即電機(jī)的角速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻

7、率時(shí)，該系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振幅趨近于 。 幅頻特性曲線和相頻特性曲線例 在圖示的系統(tǒng)中，物塊受粘性欠阻尼作用，其阻尼系數(shù)為c，物塊的質(zhì)量為m，彈簧的彈性常量為k。設(shè)物塊和支撐只沿鉛直方向運(yùn)動(dòng)，且支撐的運(yùn)動(dòng)為 ,試求物塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 建立物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程 整理得即設(shè)解為 令則得 由于 則 其中 幅頻特性曲線和相頻特性曲線當(dāng)頻率比0和 時(shí)，無論阻尼比 為多少，振幅B恒等于支承運(yùn)動(dòng)振幅b； 在實(shí)際問題中，遇到的大多是周期激勵(lì)。設(shè)粘性阻尼系統(tǒng)受到周期激振力諧波分析方法，得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為周期基頻 1.2.4 周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)由疊加原理，并考慮弱阻尼情況，得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Theory of

8、 Vibration with Applications設(shè)t=時(shí)，大小為I的沖量作用在單自由度系統(tǒng)中，根據(jù)碰撞理論，可得物塊受沖量作用獲得的速度 1.2.5 沖量激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng)系統(tǒng)的初始條件為則物塊的響應(yīng)為同理，對于在單位脈沖力作用下的受迫振動(dòng)響應(yīng)為有一任意激振力F(t)作用于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為將激振力看作是一系列元沖量的疊加，t=時(shí)元沖量為得到系統(tǒng)的響應(yīng)1.2.6 系統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)由線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)對任意激振力響應(yīng)的統(tǒng)一表達(dá)式這個(gè)結(jié)論稱為杜哈梅(Duhamel)積分。 1.3 兩自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)應(yīng)用單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)理論，可以解決機(jī)械振動(dòng)中的一些問題

9、。但是，工程中有很多實(shí)際問題必須簡化成兩個(gè)或兩個(gè)以上自由度，即多自由度的系統(tǒng)，才能描述其機(jī)械振動(dòng)的主要特征。下面以兩個(gè)自由度系統(tǒng)為例，論述一些基本概念、方法和結(jié)論。然后推廣到多自由度系統(tǒng)。這就是兩自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程 圖示兩自由度的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。略去摩擦力及其它阻尼。取兩物體為研究對象，以各自的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，由牛頓第二定律得 1.3.1 兩自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程整理得質(zhì)量矩陣剛度矩陣質(zhì)量影響系數(shù)剛度影響系數(shù)加速度列陣 坐標(biāo)列陣寫成矩陣形式根據(jù)微分方程的理論，設(shè)方程的解為代入微分方程 1.3.2 頻率方程化簡可得代數(shù)齊次方程組 系數(shù)行列式等于零 這就是兩自由度系統(tǒng)的頻率方程，也

10、稱特征方程 它的展式為 則特征方程可改寫為 引入記號(hào) 這就是特征方程的兩組特征根。 p1、p2就是系統(tǒng)的自由振動(dòng)頻率，即固有圓頻率。較低的頻率p1稱為第一階固有圓頻率；較高的頻率p2稱為第二階固有圓頻率。得振幅比 第二主振型第一主振型將固有圓頻率分別代入方程的解 1.3.3 主振型在第一主振動(dòng)中，質(zhì)量m1與m2沿同一方向運(yùn)動(dòng)；在第二主振動(dòng)中， m1、m2的運(yùn)動(dòng)方向則是相反的。 這表明，在振動(dòng)過程中，振幅比決定了整個(gè)系統(tǒng)的相對位置。 根據(jù)微分方程理論，兩自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程的通解，是它的兩個(gè)主振動(dòng)的線性組合，即由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。例 如圖所示為一帶有附于相同質(zhì)量m并桿長相等為l的雙擺，

11、采用質(zhì)量的微小水平平移 x1和x2 為坐標(biāo)，試求系統(tǒng)的固有頻率和振型。解：分別以各質(zhì)點(diǎn)m為研究對象，受力圖如圖所示由于運(yùn)動(dòng)微分方程為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為由頻率方程即由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列分別代入頻率值，得解得兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)相互影響的現(xiàn)象叫做耦聯(lián)，具有耦聯(lián)性質(zhì)的系統(tǒng)叫耦聯(lián)系統(tǒng)。振動(dòng)位移項(xiàng)的耦聯(lián)，稱為靜力耦聯(lián)或彈性耦聯(lián)。振動(dòng)加速度項(xiàng)耦聯(lián)，稱為動(dòng)力耦聯(lián)或質(zhì)量耦聯(lián)。如果坐標(biāo)選擇得當(dāng)，方程式?jīng)]有耦聯(lián)項(xiàng)。這正是我們所希望的，經(jīng)特別選擇的沒有耦聯(lián)的坐標(biāo)稱為主坐標(biāo)。 1.3.5 坐標(biāo)的耦聯(lián)與主坐標(biāo)例：圖示為兩個(gè)擺長、質(zhì)量相同的單擺，中間以彈簧相連，形成兩自由度系統(tǒng)?？梢宰C明，當(dāng)彈簧剛度k很小，在一定的初

12、始條件下，系統(tǒng)將作拍振。 取 、 表示擺的角位移，逆鐘向轉(zhuǎn)動(dòng)為正，每個(gè)擺的受力如圖。擺的微分方程為 得到系統(tǒng)的第一階和第二階固有頻率為得到系統(tǒng)的第一階和第二階主振型為第一主振動(dòng)第二主振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)的一般解初始條件：t = 0時(shí) 因此得到雙擺作自由振動(dòng)的規(guī)律代入得到 這時(shí)p1 、p2相差很少，擺將出現(xiàn)拍振。將上式寫成 如果彈簧的剛度k很小，因而拍頻率令拍振周期若改變初始條件為：t = 0時(shí) 雙擺的原微分方程將以上兩式相加、相減便得到令上式變?yōu)?可見 是系統(tǒng)的主坐標(biāo)，可直接得到其固有頻率為設(shè)主坐標(biāo)方程的解為雙擺系統(tǒng)的物理坐標(biāo)的解為其結(jié)果與直接求解微分方程的結(jié)果一樣的，在多自由度系統(tǒng)振動(dòng)中，就是主要介

13、紹尋找系統(tǒng)主坐標(biāo)和求解的方法。 一般情況下，n個(gè)自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程具有以下形式 1.4 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)實(shí)際工程結(jié)構(gòu)，其質(zhì)量和彈性是連續(xù)分布的，系統(tǒng)具有無限多個(gè)自由度。可利用質(zhì)量聚縮法等，使系統(tǒng)簡化為多自由振動(dòng)系統(tǒng)，或稱為多自由度振動(dòng)系統(tǒng)。它的運(yùn)動(dòng)需要n 個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)來描述。 1.4.1 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程質(zhì)量矩陣剛度矩陣坐標(biāo)矢量和加速度矢量若用矩陣表示，則可寫成設(shè)n個(gè)自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的解為矩陣形式為1.4.2 頻率方程其中將解代入運(yùn)動(dòng)微分方程得或特征矩陣A不全為零的條件是系數(shù)行列式等于零令 此式是關(guān)于p2的n次多項(xiàng)式，由它可以求出n個(gè)固有頻率(或稱特征值

14、)。頻率方程可以證明 頻率方程中所有的固有頻率值都是實(shí)數(shù)，并且是正數(shù)或?yàn)榱恪Ｒ话愕那闆r， 各個(gè)固有頻率按照由小到大的順序排列為 其中最低階固有頻率p1稱為第一階固有頻率或稱基頻，然后依次稱為二階、三階固有頻率等。 將pi代入 可以求得A(i) A(i)為對應(yīng)于pi的特征矢量。它稱為第i階主振型，也稱固有振型或主模態(tài)。 對于任何一個(gè)n自由度振動(dòng)系統(tǒng)，總可以找到n個(gè)固有頻率和與之對應(yīng)的n階主振型1.4.3 主振型 滿足 在主振型矢量中，規(guī)定某個(gè)元素的值為1，并進(jìn)而確定其它元素的過程稱為歸一化。 由于振型是相對值，將每一項(xiàng)均除以An(i)得 ，于是可得第i階主振型矢量為例 圖是三自由度振動(dòng)系統(tǒng)，設(shè)k

15、1= k2= k3= k， m1= m2= m， m3= 2m，試求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。將M和K代入頻率方程解：選擇x1、 x2、 x3坐標(biāo)。則系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為解方程得到求出系統(tǒng)的三個(gè)固有頻率為再求特征矩陣的伴隨矩陣 設(shè)取其第三列，將p1值代入，得到第一階主振型為得到第二、三階主振型為三個(gè)主振型由圖所示1.4.4 主振型矩陣和正則振型矩陣以各階主振型矢量為列，按順序排列成一個(gè)n n階方陣，稱為主振型矩陣或模態(tài)矩陣與質(zhì)量矩陣和剛度矩陣加權(quán)正交 根據(jù)主振型的正交性，可以導(dǎo)出式中分別是主質(zhì)量矩陣和主剛度矩陣。由于主振型的正交性，各階主振動(dòng)是互相獨(dú)立的， 各階主振動(dòng)之間不會(huì)發(fā)生能量的

16、傳遞。為了統(tǒng)一歸一化方法，規(guī)定了質(zhì)量歸一化稱為正則振型。由正則振型的正交關(guān)系得則1. 主坐標(biāo)首先用主振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，即主坐標(biāo) 1.4.5 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo) 代入振動(dòng)微分方程第i階主質(zhì)量或模態(tài)質(zhì)量第i階主剛度或模態(tài)剛度n個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)微分方程2. 正則坐標(biāo)用正則振型矩陣AN進(jìn)行坐標(biāo)變換，設(shè) 正則坐標(biāo)由正則振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì)代入運(yùn)動(dòng)方程第i階固有頻率 例 試求上例中系統(tǒng)的主振型矩陣和正則振型矩陣。由質(zhì)量矩陣 ，可求出主質(zhì)量矩陣 解：將在例中求得的各階主振型依次排列成方陣，得到主振型矩陣于是，可得各階正則振型以各階正則振型為列，寫出正則振型矩陣由剛度矩陣可求出譜矩陣可寫出以正則坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程

17、展開式為n自由度自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程為初始條件為求系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)。 1.4.6 無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)設(shè)微分方程變換為初始條件變換為 由單自由度系統(tǒng)振動(dòng)的理論，得到關(guān)于對初始條件的響應(yīng)為 系統(tǒng)的響應(yīng)是由各階振型疊加得到的，本方法又稱振型疊加法系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)為設(shè)n自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)受到激振力的作用則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 1.4.7 有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對激勵(lì)的響應(yīng)1.多自由度系統(tǒng)的阻尼阻尼矩陣為阻尼矩陣中的元素cij稱阻尼影響系數(shù)。 為了求系統(tǒng)對此激振力的響應(yīng)，可采用正則振型分析法方程解偶。 首先假設(shè)阻尼矩陣是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合a、b是正的常數(shù)若用正則振型矩陣變換Cni稱為

18、振型比例阻尼系數(shù)或模態(tài)比例阻尼系數(shù)，i稱為振型阻尼比或模態(tài)阻尼比 當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)的計(jì)算模型已經(jīng)確定，寫出計(jì)算模型阻尼矩陣C，然后經(jīng)過正則坐標(biāo)變換，求出 若CN不是對角陣，則可這樣處理，即考慮到工程上大多數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)中的阻尼都比較小，可將CN中的非對角元素改為零。由實(shí)驗(yàn)測定各階振型阻尼比 對于實(shí)際系統(tǒng)，阻尼矩陣中各個(gè)元素往往有待于實(shí)驗(yàn)確定。有時(shí)更方便的辦法是，通過實(shí)驗(yàn)確定各個(gè)振型阻尼比。這樣，在寫系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式時(shí)，先不考慮阻尼，等經(jīng)過正則坐標(biāo)變換后，再在以正則表示運(yùn)動(dòng)微分方程式中引入阻尼比，直接寫出有阻尼存在時(shí)的正則坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)微分方程式。實(shí)踐證明，這一方法具有很大的實(shí)用價(jià)值。它一般試用于小阻

19、尼系統(tǒng)，即i 0.2的情形 當(dāng)多自由度振動(dòng)系統(tǒng)中的阻尼矩陣是比例阻尼時(shí)，利用正則坐標(biāo)變換解偶。得 2 存在比例阻尼時(shí)的強(qiáng)迫振動(dòng)則每一個(gè)方程可表示為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為由正則坐標(biāo)變換關(guān)系式得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)這種方法稱有阻尼系統(tǒng)響應(yīng)的振型疊加法例 圖所示有阻尼的彈簧質(zhì)量振動(dòng)系統(tǒng)，如k1= k2= k3= k ; m1= m2= m3= m，各質(zhì)量上作用有激振力F1(t)= F2(t)= F3(t)= Fsinwt，其中w=1.25(k/m) 1/2 ，各階振型阻尼比為 1= 2= 3= 0.01,試求系統(tǒng)的響應(yīng)。解：寫出無阻尼受迫振動(dòng)方程 求固有頻率和正則振型，由頻率方程由特征矩陣B=Kp2M的伴隨矩陣的第一列得求出主振型和正振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換引入振型阻尼比i振動(dòng)方程為關(guān)于對正則坐標(biāo)的響應(yīng)求出系統(tǒng)的響應(yīng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)問題的求解思路利用力學(xué)方法列出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程1.首先求出固有頻率和正則振型2.利用正則振型進(jìn)行正則坐標(biāo)變換3.形成n個(gè)獨(dú)立的單自由度運(yùn)動(dòng)微分方程；4.利用單自由度系統(tǒng)求解理論和方法，求得用主坐標(biāo)或正則坐標(biāo)表示的響應(yīng)；5.反變換至原物理坐標(biāo)求出n自由度系統(tǒng)對激勵(lì)的響應(yīng)。實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)，都具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，因此，稱之為彈性體系統(tǒng)。其運(yùn)動(dòng)方程是偏微分方程，由于偏微分