第27屆全國中學生物理競賽復賽試題掃描版

1、第27屆全國中學生物理競賽復賽試卷題號四五六七八九總分得分.閱卷復核本卷共九題，滿分160分.計算題的解答應寫出必要的文字說明、方程式和重要的演算步 驟.只寫出最后結果的不能得分.有數字計算的題，答案中必須明確寫出數值和單位.填得分閱卷復核一.（15分）蛇形 擺是一個用于演 示單擺周期與擺 長關系的實驗儀空題把答案填在題中的橫線上，只要給出結果，不需寫出求解的過程.器（見圖）.若干個擺球位于同一高度并 等間距地排成一條直線，它們的懸掛點在 不同的高度上，擺長依次減小.設重力加 速度 g=9. 80m/s2.試設計一個包含十個單擺的蛇形接（即求出每個擺的擺長），要求滿足：（a）每個擺的擺長不小于

2、0.450m,不大于LOOOm； （b）初始時將所有擺球由平衡點沿“軸正 方向移動相同的一個小位移40 （項）vo.45m）,然后同時釋放，經過40s后，所有的擺能 夠同時回到初始狀態(tài).在上述情形中，從所有的擺球開始擺動起，到它們的速率首次全部為零所經過的 時間為.物理競賽復賽卷 第1頁（共8頁）.得分閱卷復核二、（20分）距離我們?yōu)長處有一恒星，其質量為M,觀測發(fā)現其位置 呈周期性擺動，周期為兀擺動范圍的最大張角為仇假設該星體的周 期性擺動是由于有一顆圍繞它作圓周運動的行星引起仙,試給出這顆 行星的質量m所滿足的方程.若L = 10光年,7 = 10年,Zk。=3毫角秒,M =%（Ms為太陽

3、質量），則此行星的質量和它運動的軌道半徑r各為多少？分別用太陽質量和國際單位AU（平均日地距離）作為單位, 只保留一位有效數字.已知1亳角秒=康角秒,1角秒=嬴度，1AU = 1.5 xio/m, 光速 c =3.0 x 105km/s.得分閱卷復核三、（22分）如圖，一質信均勻分布的剛性螺 旋環(huán)質量為m,半徑為K螺距=宜凡可繞 豎直的對稱軸兇無摩擦地轉動，連接螺旋環(huán) 與轉軸的兩支撐桿的質量可忽略不計.一質量 也為m的小球穿在螺旋環(huán)上并可沿螺旋環(huán)無摩擦地滑動.首先扶住小 球使其靜止于螺旋環(huán)上的某一點4這時螺旋環(huán)也處于好止狀態(tài).然 后放開小球，讓小球沿螺旋環(huán)下滑，螺旋環(huán)便繞轉軸。轉動.求當 小球

4、下滑到離其初始位置沿豎直方向的距離為A時，螺旋環(huán)轉動的角速度和小球對螺旋環(huán)作用力的大小.物理競賽復賽卷第2頁（共8頁）得分閱卷復核四、(12分)如圖所示，一質量為叫電荷 量為q(q 0)的粒子作角速度為3 半徑為K的勻速圓周運動.一長直細導線 位于圓周所在的平面內，離圓心的距離為d(dR ),在導線上通有隨時間變化的電流iu=0時刻,粒子速 度的方向與導線平行，離導線的距離為d + R.若粒子做圓周運動 的向心力等于電流i的磁場對粒子的作用力，試求出電流i隨時間 的變化規(guī)律.不考慮變化的磁場產生的感生電場及重力的影響.長 直導線電流產生的磁感應強度表示式中的比例系數k已知.物理競賽復賽卷 第3

5、頁(共8頁)得分閱卷復核五、(20分)如圖所示，兩個固定的均勻帶電球 面，所帶電荷量分別為Q和-Q(Q0),半徑 分別為R和小球面與大球面內切于C 點，兩球面球心0和0的連線MN沿豎直方 向.在MN與兩球面的交點B、O和C處各開有足夠小的孔，因小孔損 失的電荷,忽略不計.有一質量為m,帶電荷量為g(g 0)的質點自 MN線上離B點距離為R的A點豎直上拋.設靜電力常量為重力加 速度為軟1.要使質點從4點上拋后能夠到達B點,所需的最小初動能為多少? 2.要使質點從4點上拋后能夠到達。點，在不同條件下所需的最 小初動能各為多少？M物理競賽復賽卷第4頁(共8頁)得分閱卷復核六、（20分）由單位長度電阻

6、為r的導線組成如圖所示的正方形網 絡系列. =1時，正方形網絡邊長為L n =2時，小正方形網絡 的邊長為S； n=3時，最小正方形網絡的邊長為5當/! =1、 2、3時，各網絡上4、8兩點間的電阻分別為多少？*2=3物理競賽復賽卷第5頁（共8頁）得分閱卷復核七、（15分）地球上的能量從源頭上說來自太陽福射.到達地面的 太陽朝射（假定不計大氣對太陽報射的吸收）-部分被地球表面反 射到太空，其余部分被地球吸收.被吸收的部分最終轉換成為地球 熱描射（紅外波段的電磁波）.熱輻射在向外傳播過程中，其中一 部分會被溫室氣體反射回地面，地球以此方式保持了總能量平衡.作為一個簡單的理想模 型，假定地球表面的

7、溫度處處相同，且太陽和地球的輜射都遵從斯忒蕃-玻爾茲曼定律: 單位面積的輻射功率J與表面的熱力學溫度7的四次方成正比，即1 =。/,其中。是一 個常量 已知太陽表面溫度Ts=5.78xK）3k,太陽半徑仆=6.96 x104m,地球到太陽的 平均距離d = 1.50 xl0，m.假設溫室氣體在大氣層中集中形成一個均勻的薄層，并設它 對熱輻射能量的反射率為B =0.38.如果地球表面對太陽輻射的平均反射率a =。.30,試問考慮了溫室氣體對熱輒射 的反射作用后，地球表面的溫度是多少？.如果地球表面一部分被冰雪覆垂，覆蓋部分對太陽輻射的反射率為5=0.85,其 余部分的反射率 =0.25.問冰雪覆

8、蓋面占總面積多少時地球表面溫度為2731c物理競賽第賽卷 第6頁（共8頁）南 八、（20分）正午時太陽的人射光 得分閱卷復核與水平面的夾角。=45。.有一座房 子朝南的墻上有一個直徑 W = 10cm的圓窗，窗口中心距地面 的高度為H.試設計一套采光裝置，使得正午時刻太陽光 能進入窗口,并要求進入的光為充滿窗口、垂直墻面、且光 強是進入采光裝置前2倍的平行光可供選用的光學器件 如下:一個平面鏡，兩個凸透鏡，兩個凹透鏡;平面鏡的反射率為80%，透鏡的透射率為70%，忽略透鏡表面對光的反射.要求從這些器件中選用最少 的器件組成采光裝置試畫出你所設計的采光裝置中所選器件的位置及該裝置的光路圖，并 求

9、出所選器件的最小尺寸和透鏡焦距應滿足的條件.、物理競賽復賽卷 第7頁（共8頁）切.強空的 九、（16分）已知粒子I和粒子2的靜止質量都是 小 粒子1尊 i 止，粒子2以速度%與粒子【發(fā)生彈性碰撞.L若碰撞是斜碰，考慮相時論效應.試論證，碰后兩粒子速度方向的夾角是銳角、 直角還是鈍角.若不考慮相對論效應結果又如何？2，若碰撞是正碰，考慮相對論效應，試求碰后兩粒子的速度.物瞰賽復賽卷 第8頁（共8頁）解答以li表示第i個單擺的擺長，由條件（b）可知每個擺的周期必須是40s的整數分之L =竺 （Ni為正整數）g N(1).由（1）可得，各單擺的擺li400g- 2nNi(2)依題意,0.450m l

10、i 1.000m ,由此可得（1）式以及下面的有關各式都是在采用題給單位條件下的數值關系 長2020：g ： Ni : 式汽045(3)即 20 MN qA ；圖2(11)由（10）、（11）兩式可得質點能到達 D點的最小初動能為(12)5 9kqQ Ek0 =2mgR-2 , kgmqQ只要質點能過D點也必然能到達 O點，所以，質點能到達O點的最小初動能也就是（12）式（嚴格講應比（12）式給出的Ek0略大一點.）評分標準：本題20分.第1小問5分.求得（2）式給5分.第2小問15分.算出第i種情況下的初動能給 2分；算出第ii種情況下的初動能給 5 分；算出第iii種情況下的初動能給 8分

11、，其中（10）式占3分.六、參考解答:n =1 時,A、B間等效電路如圖1所示，A、B間的電阻rLrLBArLrL1R =2(2rL)=rLn = 2 時，a、間等效電路如圖2所示，A、B間的電阻2-rL31 Ri32-rL3二 1 B2rL31Ri3圖22rL3c 1 4 ,R2rL2 33R1(2)由（1）、R2=5L兩式得圖31 133R32-33-22 |I9443R2由（3）、 （4）式得7一R3 = . rL9評分標準：本題20分.（1）式4分，（3）式6分，（5）式10分.七、參考解答:(4)(5)1 .根據題意，太陽輻射的總功率FS =4其。T；.太陽輻射各向同性地向外傳播.設

12、地球半徑為rE,可以認為地球所在處的太陽輻射是均勻的，故地球接收太陽輻射的總功率 TOC o 1-5 h z P =仃飛4 i Y（i）d地球表面反射太陽輻射的總功率為aR,設地球表面的溫度為 Te ,則地球的熱輻射總功率為_2 _ 4,、PE = 4 EtTe（2）P + B PE.當達到(3)考慮到溫室氣體向地球表面釋放的熱輻射，則輸入地球表面的總功率為熱平衡時，輸入的能量與輸出的能量相等，有R 1 Pe = R Pe由以上各式得2/IJR- d/Il4 / 1a p - - /11u -222Ts-te(4)代入數值，有(5)Te -287K2.當地球表面一部分被冰雪覆蓋后，以支表示地球

13、表面對太陽輻射的平均反射率， 根據題意這時地球表面的平均溫度為Te =273K .利用（4）式，可求得 TOC o 1-5 h z ot = 0.43（6）設冰雪覆蓋的地表面積與總面積之比為x,則a=c（ix +2（1 -x）（7）由（6）、（7）兩式并代入數據得x =30%（8）評分標準：本題15分.第1小問11分.（1）式3分，（2）式1分，（3）式4分，（4）式2分，（5）式1 分.第2小問4分.（6）式2分，（8）式2分.八、參考解答：方案一：采光裝置由平面鏡 M和兩個凸透鏡L1、L2組成.透鏡組置于平面鏡 M后面,裝置中各元件的相對方位及光路圖如圖1所示.Li、L2的直徑分別用 Di

14、、D2表示，其焦距的大小分別為 fi、f2.兩透鏡的距離d = f1f2直徑與焦距應滿足關系(2)fDi 一 D2設射入透鏡Li的光強為I10,透過透鏡Li的光強為I；,考慮到透鏡Li對光的吸收有 TOC o 1-5 h z I； =0.701；(3)從透鏡Li透出的光通量等于進入L2的光通量，對應的光強與透鏡的直徑平方成反比，進入L2的光強用I20表示，即 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 22I 20 _ Di _ f_i； - D22 故有20 = 1 i . / |(4),f2透過L2的光強I；=0.70I20,考慮到(3)式，得rf)2

15、.1_ _ 111 HYPERLINK l bookmark98 o Current Document I2 =0.49Ii0 (5)f2 )由于進入透鏡 Li的光強I1是平面鏡M的反射光的光強，反射光是入射光的80%,設射入裝置的太陽光光強為I。，則Ii0 =0.801。代入（5）式有I2 =0.39I0fi、2(6)按題設要求I2 =21。代入（6）式得2I0=0.39I0 從而可求得兩透鏡的焦距比為f = 2.26L2的直徑應等于圓形窗戶的直徑 W,即d2 =10cm,由（2）式得f1D1 = D222.6cmf2由圖可知，平面鏡 M參與有效反光的部分為一橢圓，其半短軸長度為b = D1

16、/2 = 11.3cm半長軸長度為a = D11. (2sin 22.5：；) = 29.5cm根據裝置圖的結構，可知透鏡組的光軸離地應與平面鏡 評分標準：本題20分.作圖8分（含元件及其相對方位，光路），求得（ （10）式共2分.M的中心等高，高度為 H .7）、（8）兩式共 10 分，（9）、方案二：采光裝置由平面鏡 M和兩個凸透鏡L1、裝置中各元件的相對方位及光路圖如圖2所示.L2組成，透鏡組置于平面鏡 M前面,圖2對透鏡的參數要求與方案一相同.但反射鏡M的半短軸、半長軸的長度分別為b = D2 /2=5.0cm 和 a = D2/（2sin 22.50） =13.1cm評分標準：參照方

17、案一.方案三、采光裝置由平面鏡M和一個凸透鏡 Li、一個凹透鏡 L2組成，透鏡組置于平面鏡M后面（也可在 M前面），裝置中各元件的相對方位及光路圖如圖3所示.圖3有關參數與方案一相同，但兩透鏡的距離d = f1 - f2如果平面鏡放在透鏡組之前， 平面鏡的尺寸和方案一相同； 如果平面鏡放在透鏡組之后, 平面鏡的尺寸和方案二相同.評分標準：參照方案一.九、參考解答：.假設碰撞后球1和球2的速度方向之間的夾角為 （見圖），則由能量守恒和動量守恒可得2222m0cm0c0 = moc1 m0c 2 HYPERLINK l bookmark110 o Current Document 222mV0 0

18、= m0V1 1 i rm0V2 22 mV 1 m0V2 2 cos:，一1其中v0二.T.022 . 211 V0 / c11-vf/c2由（1）、 （2）式得；1= 12: 2(v1V2/c2) 1 2 cos：由（3）、 （4）式得cos： = 2 Y22)2V1V2 1 2(1 -1)( 2 -1)V1V2 1 2花a 2即為銳角.在非相對論情況下，根據能量守恒和動量守恒可得12一m0V02= 1m0V2+1m0V222(8)m0V0 ：i ： im0V1m0 V22 m。 m0V2 cos 二對斜碰，V1的方向與V2的方向不同，要同時滿足（1）和（2）式，則兩者方向的夾角花(9)a =2即為直角.根據能量守恒和動量守恒可得2mc2mc1 -V2 c222-V1 c(10)(11)2 / 22 /c TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark140 o Current Document ,111令不。:，力二，力=