數(shù)學(xué)第二冊(cè)第十章-二-次-曲-線課件

1、 第十章二 次 曲 線 在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中,除了應(yīng)用已經(jīng)學(xué)過(guò)的直線知識(shí)外,還常常用到圓、橢圓、雙曲線和拋物線等曲線。例如,油罐車(chē)上油罐的封頭和人造地球衛(wèi)星的軌道等都是橢圓形的;發(fā)電廠里冷卻塔的剖面是雙曲線形的;物體平拋時(shí)的運(yùn)行軌跡是拋物線等。第一節(jié)曲線與方程一、曲線與方程的關(guān)系在第九章里研究過(guò)直線的各種方程,討論了直線和二元一次方程的關(guān)系,下面進(jìn)一步研究一般曲線和方程的關(guān)系。 平面直角坐標(biāo)系中第一、三象限角平分線的方程是x-y=0,即如果點(diǎn)M(x0,y0)是這條直線上任意一點(diǎn),它到兩坐標(biāo)軸的距離一定相等,即x0=y0,那么它的坐標(biāo)(x0,y0)是方程x-y=0的解;反過(guò)來(lái),如果(x0,y0

2、)是方程x-y=0的解,即x0=y0,那么以這個(gè)解為坐標(biāo)的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等,它一定在這條平分線上,如圖10-1所示。 又如,函數(shù)y=ax2(a0)的圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線,如圖10-2所示,這條拋物線是所有以方程y=ax2(a0)的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的,即如果M(x0,y0)是拋物線上的點(diǎn),那么(x0,y0)一定是這個(gè)方程的解;反過(guò)來(lái),如果(x0,y0)是方程y=ax2(a0)的解,那么以它為坐標(biāo)的點(diǎn)一定在這條拋物線上。這樣,就說(shuō)y=ax2(a0)是這條拋物線的方程。一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系:1)

3、 曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;2) 以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。那么,這個(gè)方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線。由曲線的方程的定義可知,如果曲線C的方程是,那么點(diǎn)P0(x0,y0)在曲線C上的充要條件是。由于曲線與方程之間具有這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系,因此可以用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題。例1判定點(diǎn)A(-3,4)和B(3,5)是否在曲線x2+y2=25上。解把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入所給方程,得(-3)2+42=25,這就是說(shuō),點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足所給方程,所以點(diǎn)A(-3,4)在曲線x2+y2=25上。把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入所給方程,得32+5225,這就是說(shuō),點(diǎn)B的坐標(biāo)不滿足所給方程,所以點(diǎn)B(3,5)

4、不在曲線x2+y2=25上。 二、求曲線的方程下面討論根據(jù)條件求曲線的方程。例2設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是A(-1,-1),B(3,7),求線段AB的垂直平分線的方程。解設(shè)M(x,y)是線段AB的垂直平分線上任意一點(diǎn)(如圖10-3),按題意得MA=MB。根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,得 圖10-3化簡(jiǎn),得x+2y-7=0證明方程x+2y-7=0是線段AB的垂直平分線的方程:首先,由求方程的過(guò)程可知,垂直平分線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程x+2y-7=0的解;其次,設(shè)點(diǎn)M1的坐標(biāo)(x1,y1)是方程x+2y-7=0的解,即 點(diǎn)M1到A、B的距離分別是 所以M1A=M1B 即點(diǎn)M1在線段AB的垂直平分線上。由以上證明

5、可知,方程x+2y-7=0是線段AB的垂直平分線的方程。 圖10-4例3兩個(gè)定點(diǎn)A、B之間距離為2r,動(dòng)點(diǎn)M與A、B兩點(diǎn)的連線互相垂直,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。解取A、B所在直線為x軸,線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系(如圖10-4),則A點(diǎn)坐標(biāo)為(-r,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(r,0)。設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),由題意知MAMB,即AMB是直角三角形。由勾股定理,得MA2+MB2=AB2 由兩點(diǎn)間的距離公式,得 化簡(jiǎn)得x2+y2=r2(xr)這就是動(dòng)點(diǎn)M 的軌跡方程。練一練:上例中,取A、B所在直線為x軸,A為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程,并與已求得的方程比較,會(huì)得到什么結(jié)論?第二節(jié)

6、圓一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程我們知道,平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓,定點(diǎn)就是圓心,定長(zhǎng)就是半徑。圖10-5 根據(jù)圓的定義,求圓心是C(a,b),半徑是r的圓的方程,如圖10-5所示,設(shè)M(x,y) 是圓上任意一點(diǎn),由已知條件,得 由兩點(diǎn)間的距離公式,得 兩邊平方,得 式(10-1)就是圓心在點(diǎn)C(a,b),半徑為r的圓的方程,把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。特別地,當(dāng)a=b=0時(shí),式(10-1)成為 這就是以原點(diǎn)為圓心,r為半徑的圓的方程。把式(10-1)展開(kāi),得 設(shè)-2a=D,-2b=E, a2+b2-r2=F,代入上式,得 這個(gè)方程叫做圓的一般方程。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于它明確指出了圓心和半

7、徑,而一般方程突出了方程形式上的特點(diǎn):(1)x2與y2的系數(shù)相等,且不等于0(2)不含xy項(xiàng)(即xy項(xiàng)的系數(shù)等于0)將式(10-3)配方,得 1) 當(dāng)D2+E2-4F 0時(shí),式(10-3)表示以為圓心,以為半徑的圓;2) 當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí),式(10-3)表示一個(gè)點(diǎn),有時(shí)也稱(chēng)它為點(diǎn)圓;3) 當(dāng)D2+E2-4F0,所以方根取正值),于是 所求支柱A2P2長(zhǎng)度為3.86m。第三節(jié)橢圓一、橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程下面先介紹一種畫(huà)橢圓的方法。取一根適當(dāng)長(zhǎng)的細(xì)繩,在平板上將繩的兩端分別固定在F1、F2兩個(gè)點(diǎn)上(F1F2小于繩的長(zhǎng)度)。如圖10-8所示,用筆尖繃緊細(xì)繩,在平板上慢慢移動(dòng)一周,就可以畫(huà)出一

8、個(gè)橢圓。圖10-8從上面的畫(huà)圖過(guò)程可以看出,橢圓是與點(diǎn)F1、F2的距離的和等于定長(zhǎng)(即這條繩長(zhǎng))的點(diǎn)的集合。把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。根據(jù)橢圓的定義,我們來(lái)求橢圓的方程。如圖10-9所示,取過(guò)點(diǎn)F1、F2的直線為x軸,線段F1F2的垂直平分線為y軸,建立直角坐標(biāo)系Oxy。圖10-9設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn),橢圓的焦距為2c(c0)。那么,焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c,0),(c,0),又設(shè)點(diǎn)M與F1和F2距離的和為常數(shù)2a,根據(jù)橢圓的定義,得 由兩點(diǎn)間距離公式,得

9、移項(xiàng),兩邊平方,得 整理,得a=a2-cx兩邊平方,得 整理,得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)由于2a2c,得a2-c20,令b2=a2-c2代入上式,得 兩邊同除以a2b2,得 圖10-10這個(gè)方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,焦點(diǎn)是F1(-c,0)和F2(c,0),這里c2=a2-b2。如果使點(diǎn)F1、F2在y軸上,點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為F1(0,-c)、F2(0,c),如圖10-10所示,a、b的意義同上,所得方程變?yōu)?這個(gè)方程也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,其中c2=a2-b2。例1求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1) 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-4,0)和(4

10、,0),橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和等于10;(2) 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,-2)和(0,2),并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)。解(1) 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 因?yàn)?a=10,2c=8,所以a=5,c=4,因此 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (2)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 由橢圓的定義知 所以b2=a2-c2=10-4=6因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 二、橢圓的性質(zhì)和圖像在解析幾何里,是利用曲線的方程來(lái)研究曲線的幾何性質(zhì)的,也就是說(shuō),通過(guò)對(duì)曲線方程的討論,得到曲線的形狀、大小和位置,下面我們利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)研究橢圓的幾何性質(zhì)。 1.對(duì)稱(chēng)性在曲線的方程里,如果以-y代

11、y方程不變,那么當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在曲線上時(shí),它關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P(x,-y)也在曲線上,所以曲線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)。同理,如果以-x代x方程不變,那么曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);如果同時(shí)以-x代x,以-y代y方程不變,那么曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。2.范圍討論方程中x、y的取值范圍,可以得到曲線在坐標(biāo)系中的范圍。由方程+=1可知,橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都適合不等式 即xa , yb這說(shuō)明橢圓位于直線 x=a 和y=b 所圍成的矩形里(如圖10-11)。 圖10-113.頂點(diǎn)研究曲線上某些特殊點(diǎn)的位置,可以確定曲線的位置。要確定曲線在坐標(biāo)系中的位置,常常需要求出曲線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。 在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程里,令x=

12、0,得y=b,這說(shuō)明B1(0,-b)、B2(0,b)是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令y=0,得x=a,即A1(-a,0)、A2(a,0)是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。因?yàn)閤軸、y軸是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸,所以橢圓和它的對(duì)稱(chēng)軸有四個(gè)交點(diǎn),這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸,它們的長(zhǎng)分別等于2a、2b,a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。觀察圖10-11,由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知,橢圓短軸的端點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離相等,且等于長(zhǎng)半軸長(zhǎng),即 在RtOB2F2中,OF22=B2F22-OB22, 即c2=a2-b2。這就是我們令b2=a2-c2的幾何意義。4.離心率橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的長(zhǎng)

13、的比,叫做橢圓的離心率,通常用e表示,即e=。因?yàn)閍c0,所以0e0),那么焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c,0),(c,0)。圖10-15設(shè)M(x,y)為雙曲線上任意一點(diǎn),它到兩焦點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a(a0),那么根據(jù)雙曲線的定義,得 根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,得 移項(xiàng),得 兩邊平方,得 化簡(jiǎn),得 兩邊平方,得 整理,得 由雙曲線定義可知,2c2a,即ca,所以c2-a20,令c2-a2=b2,其中b0,代入上式得 兩邊同除以a2b2,得 這個(gè)方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,焦點(diǎn)坐標(biāo)為 若雙曲線的焦點(diǎn)在 y軸上,即焦點(diǎn)坐標(biāo)為,用類(lèi)似的方法可得到它的方程為 6),a、b、c仍滿足

14、c2=a2+b2。圖10-16這個(gè)方程是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(如圖10-1例1已知雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-5,0)、F2(5,0),雙曲線上一點(diǎn)P到F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于6,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 因?yàn)?a=6,2c=10所以a=3,c=5所以b2=52-32=16因此所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 例2設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)是F(0,7),a=2,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 由已知a=2,c=7,則 故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 例3一炮彈在某處爆炸,在A處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間比在B處晚2s,(1) 爆炸點(diǎn)應(yīng)在

15、什么樣的曲線上?(2) 已知A、B兩地相距800m,并且此時(shí)聲速為340m/s,求曲線的方程。解(1)由聲速及A、B兩處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間差,可知A、B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差,因此爆炸點(diǎn)應(yīng)位于以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上。因?yàn)楸c(diǎn)離A處比離B處更遠(yuǎn),所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近B處的一支上。(2)如圖10-17所示,建立直角坐標(biāo)系Oxy,使A、B兩點(diǎn)在x軸上,并且原點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)。設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則 即2a=680, a=340又AB=800所以2c=800, c=400 圖10-17因?yàn)镻A-PB=6800所以x0 所求雙曲線方程為 上例說(shuō)明,利用兩個(gè)不同的觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得炮彈爆炸的時(shí)間差,可

16、以確定爆炸點(diǎn)所在的曲線的方程,但不能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置,如果再增設(shè)一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C,利用B、C(或A、C)兩處測(cè)得的爆炸聲的時(shí)間差,可以求出另一個(gè)雙曲線的方程,解這兩個(gè)方程組成的方程組,就能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置,這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用。想一想:如果A、B兩處同時(shí)聽(tīng)到爆炸聲,那么爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么曲線上。二、雙曲線的性質(zhì)和圖像我們只對(duì)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線來(lái)研究它的幾何性質(zhì), 對(duì)于焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線 我們可以用類(lèi)似的方法來(lái)討論。1.對(duì)稱(chēng)性雙曲線關(guān)于每一個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱(chēng)的,這時(shí),坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱(chēng)軸,原點(diǎn)是雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心,雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心叫做雙曲線的中心。 2.范圍由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)

17、方程可知,雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都適合不等式1,即x2a2,得x-a或xa?？梢?jiàn),雙曲線的一支在直線x=-a的左邊,另一支在直線x=a的右邊,而在直線x=-a和x=a之間,沒(méi)有雙曲線的點(diǎn)。3.頂點(diǎn)在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程里,令y=0,得x=a。因此,雙曲線和 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)A1(-a,0)和A2 (a,0)。因?yàn)?x 軸是雙曲線的對(duì)稱(chēng)軸,所以雙曲線和它的對(duì)稱(chēng)軸有兩個(gè)交點(diǎn)。A1、A2即為雙曲線的頂點(diǎn),線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸,它的長(zhǎng)等于2a,a叫做雙曲線的實(shí)半軸的長(zhǎng)。令x=0,得y2=-b2,這個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根,說(shuō)明雙曲線和y軸沒(méi)有交點(diǎn),在y軸上取點(diǎn)B1(0,-b)和B2(0,b),線段B1

18、B2叫做雙曲線的虛軸,它的長(zhǎng) 圖10-18等于2b,b叫做雙曲線的虛半軸的長(zhǎng)。觀察圖10-18,在RtA2OB2中,即A2B22=a2+b2 于是A2B2=c,這就是我們令c2-a2=b2的幾何意義。 4.漸近線經(jīng)過(guò)A1、A2作y軸的平行線x=a,經(jīng)過(guò)B1、B2作x軸的平行線y=b,四條直線圍成一個(gè)矩形,矩形的兩條對(duì)角線所在的直線的方程是y=x(圖 10-19),由圖可以看出,雙曲線-=1的各支向外延伸時(shí),與這兩條直線逐漸接近。 圖10-19我們把兩條直線y=x叫做雙曲線-=1(a0,b0)的漸近線。 5.離心率雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比e=,叫做雙曲線的離心率,因?yàn)閏a0,所以雙曲線的離心率e

19、1,由等式c2-a2=b2,可得 因此,e越大,也越大,即漸近線y=x的斜率的絕對(duì)值也越大,這時(shí)雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開(kāi)闊。由此可知,雙曲線的離心率越大,它的開(kāi)口就越闊。例4求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸的長(zhǎng)和虛半軸的長(zhǎng),焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。解把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程 由此可知,實(shí)半軸長(zhǎng)a=4,虛半軸長(zhǎng)b=3,故 焦點(diǎn)在y軸上,焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F1(0,-5),F2(0,5)。離心率e= 漸近線方程為x=y,即y=x。例5作出雙曲線x2-4y2=16的圖像。解先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程 得a=4,b=2,所以雙曲線的頂點(diǎn)為A1(-4,0),A2(4,0)。作出直線x=4和y=2所圍成

20、的矩形,畫(huà)出它的對(duì)角線并延長(zhǎng),即得漸近線。由關(guān)系式y(tǒng)=,列表(先在第象限里取點(diǎn))如下:用描點(diǎn)法作出第象限內(nèi)的圖像,再根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線的位置,作出雙曲線的圖像(如圖10-20)。 圖10-20由上例我們可總結(jié)出作雙曲線圖像的方法步驟如下:1) 將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程-=1;2) 作出由直線x=a與y=b所圍成的矩形,并畫(huà)出它的對(duì)角線所在直線,即雙曲線的漸近線;3) 根據(jù)關(guān)系式y(tǒng)=,給出滿足xa的幾個(gè)x值,求出相應(yīng)的y值,列表;4) 用描點(diǎn)法作出雙曲線在第象限內(nèi)的圖形;5) 利用雙曲線的對(duì)稱(chēng)性及其漸近線的位置關(guān)系畫(huà)出雙曲線例6已知雙曲線的焦點(diǎn)為(,0),漸近線方程為y=x,求雙曲線

21、的標(biāo)準(zhǔn)方程。解設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1。由已知條件,得 解此方程組,得 于是所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 三、等軸雙曲線在雙曲線-=1中,如果a=b,那么雙曲線的方程為x2-y2=a2,它的實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)都等于2a,我們把實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)相等的雙曲線,叫做等軸雙曲線。這時(shí),因?yàn)閍=b,雙曲線的漸近線方程為 由于漸近線y=x是直線x=a和y=a所圍成正方形的對(duì)角線所在直線,所以等軸雙曲線的兩條漸近線是互相垂直的(如圖10-21)。圖10-21類(lèi)似地,由雙曲線-=1,當(dāng)a=b時(shí),得 它也是等軸雙曲線,只是它的實(shí)軸在y軸上,虛軸在x軸上。第五節(jié)拋物線一、 拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 把一根直尺固定在圖板上

22、直線l的位置(如圖10-22),把一塊三角尺的一條直角邊緊靠著直尺的邊緣,再把一條細(xì)繩的一端固定在三角尺的另一條直角邊的一點(diǎn)A,取繩長(zhǎng)等于點(diǎn)A到直角頂點(diǎn)C的長(zhǎng)(即點(diǎn)A到直線l的距離),并且把繩子的另一端固定在圖板上的一點(diǎn)F,用鉛筆尖扣著繩子,使點(diǎn)A到筆尖的一段繩子緊靠著三角尺,然后將三角尺沿著直尺上下滑動(dòng),筆尖就在圖板上畫(huà)出一條曲線。從圖10-22可以看出,這條曲線上任意一點(diǎn)P到F的距離與它到直線l的距離相等,這條曲線就是我們常見(jiàn)的拋物線。平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線,定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。下面我們根據(jù)拋物線的定義,來(lái)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)

23、方程。如圖10-23所示,取過(guò)點(diǎn)F且垂直于l的直線為x軸,垂足為K,線段KF的中點(diǎn)為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系xOy。設(shè)|KF|=p(p0),那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為,準(zhǔn)線l的方程為x=-。設(shè)點(diǎn)M(x , y)是拋物線上任意一點(diǎn),作 MNl,垂足為N,則N點(diǎn)的坐標(biāo)為,由拋物線的定義知|MF|=|MN|根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,得 兩邊平方,得x2-px+y2=x2+px+ 化簡(jiǎn)得y2=2px(p0)這個(gè)方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上,坐標(biāo)是,它的準(zhǔn)線方程是x=-。類(lèi)似地,若把拋物線的焦點(diǎn)選擇在x軸的負(fù)半軸、y軸的正半軸或y軸的負(fù)半軸上,還可得出如下三種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程: 這四種拋

24、物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程以及圖形見(jiàn)表10-1。表10-1表10-1例1(1)求拋物線y2=6x的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;(2)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0,-2),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。解(1)因?yàn)?p=6,則p=3,且焦點(diǎn)在x軸上,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是,準(zhǔn)線方程是x=-;(2)因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上,并且-=-2,則p=4,所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=-8y。二、拋物線的性質(zhì)和圖像我們根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p0)(10-6)來(lái)研究它的幾何性質(zhì)。1. 對(duì)稱(chēng)性以-y代y,式(10-6)不變,所以這條拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),我們把拋物線的對(duì)稱(chēng)軸叫做拋物線的軸。2. 范圍因?yàn)閜0,由式(10

25、-6)可知,這條拋物線上的點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)滿足不等式x0。所以這條拋物線在y軸的右側(cè),當(dāng)x的值增大時(shí),|y|也增大,這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸,開(kāi)口向右。3. 頂點(diǎn)拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。在式(10-6)中,當(dāng)y=0 時(shí),x=0,因此,式(10-6)的拋物線頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)。4. 離心率拋物線上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)錢(qián)的距離的比,叫做拋物線的離心率,用e表示,由拋物線的定義可知,e=1。類(lèi)似地,可以知道:拋物線y2=-2px(p0)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),頂點(diǎn)在原點(diǎn),圖像在y軸左側(cè),開(kāi)口向左;拋物線x2=2py(p0)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),頂點(diǎn)在原點(diǎn),圖像在x軸的上方,開(kāi)口向上;

26、拋物線x2=-2py (p0)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),頂點(diǎn)在原點(diǎn),圖像在x軸下方,開(kāi)口向下。例2求以原點(diǎn)為頂點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸重合于坐標(biāo)軸,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-2,5)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解因?yàn)閽佄锞€頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸可能是x軸,也可能是y軸,而點(diǎn)M(-2,5)在第象限,所以拋物線是開(kāi)口向上或開(kāi)口向左兩種情況,設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為 (1)設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py (p 0),因?yàn)辄c(diǎn)M(-2,5)在拋物線上,所以有(-2)2=2p5,得p=。所以所求拋物線方程為x2=y(2)設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-2px (p0),因?yàn)辄c(diǎn)M(-2,5)在拋物線上,所以有 即p= 所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-x。例3求拋物線2x

27、-y2=0的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,并畫(huà)出圖像。解將方程2x-y2=0化為y2=2x。由2p=2,得p=1所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為x=-。由性質(zhì)知,拋物線y2=2x的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸為x軸,開(kāi)口向右,根據(jù)關(guān)系式y(tǒng)= (x0)(先在第象限內(nèi)取點(diǎn))列表:描出第象限內(nèi)的點(diǎn),再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,即可畫(huà)出拋物線y2=2x的圖像(如圖10-24) 圖10-24由上例可以看出拋物線的畫(huà)法步驟如下:(1)將所給拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程,判斷拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸;(3)取某個(gè)象限內(nèi)拋物線上x(chóng)、y的對(duì)應(yīng)值列表;(4)描出該象限內(nèi)的點(diǎn),并根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,畫(huà)出拋物線的圖像。第六節(jié)坐標(biāo)軸的平移一、 坐標(biāo)軸平

28、移公式我們知道,點(diǎn)的坐標(biāo)、曲線的方程都和坐標(biāo)系的選擇有關(guān),在不同的坐標(biāo)系中,同一個(gè)點(diǎn)有不同的坐標(biāo),同一條曲線有不同的方程, 圖10-26例如,圖10-26中,圓O的圓心O點(diǎn),在平面直角坐標(biāo)系Oxy 中的坐標(biāo)是(3,2),圓O的方程是(x-3)2+(y-2)2=52,如果取坐標(biāo)系Oxy(OxOx ,OyOy),那么在這個(gè)坐標(biāo)系中,圓心和圓方程就分別變成(0,0)和x2+y2=52。圖10-27下面研究在平移情況下,同一個(gè)點(diǎn)在兩個(gè)不同的坐標(biāo)系中坐標(biāo)之間的關(guān)系。設(shè)點(diǎn)O在原坐標(biāo)系Oxy中的坐標(biāo)為(h,k)。以O(shè)為原點(diǎn)平移坐標(biāo)軸,建立新坐標(biāo)系Oxy,設(shè)平面內(nèi)任一點(diǎn)M在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x,y),在新坐

29、標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)M到x軸、y軸的垂線的垂足分別為M1、M2,從圖10-27中可以看出x=OO1+O1M1=h+xy=OO2+O2M2 =k+y因此,點(diǎn)M的原坐標(biāo)、新坐標(biāo)之間有下面的關(guān)系x=x+h,y=y+k(10-7)或者寫(xiě)成x=x-h, y=y-k(10-8)式(10-7)、式(10-8)叫做坐標(biāo)軸的平移公式。它們給出了同一點(diǎn)的新圖10-28例1平移坐標(biāo)軸,把原點(diǎn)移到O(3,-4)(如圖10-28),求下列各點(diǎn)的新坐標(biāo):O(0,0),A(3,- 4),B(5,2),C(3,-2)。解把已知各點(diǎn)的原坐標(biāo)分別代入式(10-8)得x=x-3, y=y+4便得到它們的新坐標(biāo):O(-3,4

30、),A(0,0),B(2,6),C(0,2)。例2平移坐標(biāo)軸,把原點(diǎn)移到O(2,-1),求曲線+=1在新坐標(biāo)系下的方程。解設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的原坐標(biāo)為(x,y),新坐標(biāo)為(x,y)根據(jù)題意,有x=x+2,y=y-1將它們代入所給曲線的方程,就得到新方程(如圖10-29)+=1圖10-29二、坐標(biāo)軸平移公式的應(yīng)用從前面的例子可以看出,適當(dāng)?shù)仄揭谱鴺?biāo)軸可以化簡(jiǎn)曲線的方程。現(xiàn)在,我們研究如何選擇適當(dāng)?shù)男伦鴺?biāo)系,利用坐標(biāo)軸平移公式來(lái)化簡(jiǎn)方程。先看下面的例子:例3利用坐標(biāo)軸的平移,化簡(jiǎn)方程x2-y2+8x-14y-133=0,使新方程不含一次項(xiàng),并作圖。解把x=x+h,y=y+k代入方程,得 即x2-y2

31、+(2h+8)x-(2k+14)y+h2-k2+8h-14k-133=0圖10-30令2h+8=0, 2k+14=0解得h=-4,k=-7代入方程,得x2-y2=100這是等軸雙曲線(如圖10-30)。例4利用坐標(biāo)軸的平移,化簡(jiǎn)方程2y2+5x+12y+13=0,使新方程不含y的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),并作圖。解把 x=x+h,y=y+k代入方程,得 即2y2+5x+4(k+3)y+(2k2+5h+12k+13)=0 (2)根據(jù)題意,令 解此方程組,得k=-3,h=1代入式(2),得新坐標(biāo)系下的方程為2y2+5x=0即y2=-x這就是說(shuō),當(dāng)原點(diǎn)平移到O(1,-3)時(shí),所給方程化為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,它的

32、對(duì)稱(chēng)軸是y=-3,開(kāi)口向左(如圖10-31)。圖10-31從上面的例子可以看到,通過(guò)坐標(biāo)平移可以化簡(jiǎn)二次方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(沒(méi)有xy項(xiàng)),如果A、C都不為零,則消去x和y的一次項(xiàng);如果A(或C)為零,這時(shí)C(或A)不為零,則消去y(或x)的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),從而求得平移公式中的h、k的值,再將它們代入原方程,即得新方程。在實(shí)用上,我們利用配方法來(lái)化簡(jiǎn)方程,是比較方便的,就是把所給方程分別按x、y進(jìn)行配方,從而得出新原點(diǎn)的坐標(biāo)O(h,k),現(xiàn)舉例說(shuō)明。例5利用坐標(biāo)軸的平移,化簡(jiǎn)二次方程x2+4y2-2x-16y+1=0使新方程不含一次項(xiàng)。解將方程x2+4y2-2x-16y+1=

33、0分別按x、y進(jìn)行配方,得 即+=1令x-1=x,y-2=y,代入上式,便得在新坐標(biāo)系下的方程+=1在這里,x=x-1,y=y-2,與式(10-8)比較得h=1,k=2。因此,方程是中心在新原點(diǎn)O(1,2)的一個(gè)橢圓。從上面的例子可以推出:(1) 方程+=1或+=1的圖像是橢圓,它的中心是點(diǎn)O(h,k),對(duì)稱(chēng)軸為 x=h,y=k。當(dāng)a=b=r 時(shí),方程表示圓心在O(h,k),半徑為 r 的圓,即 (2) 方程-=1或-=1的圖像是雙曲線,它的中心為點(diǎn)O(h,k),對(duì)稱(chēng)軸為直線x=h和y=k。(3) 方程(y-k)2=2p(x-h)的圖像是拋物線,它的頂點(diǎn)為O(h,k),對(duì)稱(chēng)軸為直線y=k。(4) 方程(x-h)2