2022新高考總復習《數(shù)學》(人教)第七章　空間向量與立體幾何7.5　直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

1、高考總復習優(yōu)化設計GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI7.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)第七章2022內(nèi)容索引010203必備知識 預案自診關鍵能力 學案突破素養(yǎng)提升微專題7平面圖形折疊問題的解題技巧必備知識 預案自診圖形條件結(jié)論判定ab,b(b為內(nèi)的一條直線)aam,an,m,n,aab,b【知識梳理】 1.直線與平面垂直 任意mn=Oa圖形條件結(jié)論性質(zhì)a,aba,bb ab 2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交,如果它們所成的二面角是,就說這兩個平面互相垂直.直二面角(2)判定定理與性質(zhì)定理 垂線交線b 3.直線與平面所成的角(1)定義:平面

2、的一條斜線和它在平面上的射影所成的角,叫做這條直線和這個平面所成的角.(2)線面角的范圍:0,90.4.二面角的有關概念(1)二面角:從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫做二面角.(2)在二面角-l-的棱l上任取一點O,以點O為垂足,在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的AOB叫做二面角的平面角.兩個半平面常用結(jié)論直線與平面垂直的五個結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個平面,則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面.(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則這條直線與另一個平

3、面也垂直.(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面,它們的交線也垂直于第三個平面.【考點自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)已知直線a,b,c,若ab,bc,則ac.()(2)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,則l.()(3)設m,n是兩條不同的直線,是一個平面,若mn,m,則n.()(4)若兩平面垂直,則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.()(5)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則.()2.(2020黑龍江大慶高三三模)設l,m,n均為直線,其中m,n在平面內(nèi),“l(fā)”是“l(fā)m,且ln”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要

4、條件D.既不充分也不必要條件答案 A解析 設l,m,n均為直線,其中m,n在平面內(nèi),若l,則lm,且ln,反之若lm,且ln,當mn時,推不出l,故“l(fā)”是“l(fā)m,且ln”的充分不必要條件,故選A.3.(多選)如圖,PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面,點C是圓周上異于A,B任意一點,則下列結(jié)論中正確的是()A.PBACB.PCBCC.AC平面PBCD.平面PAC平面PBC答案 BD解析因為PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面,所以PABC,PAAC.又點C是圓周上異于A,B的任意一點,所以ACBC.對于選項A,若PBAC,則可得AC平面PBC,則ACPC,與PAAC矛盾,故選項A錯誤;對于選

5、項B、D,可知BC平面PAC,所以PCBC,由BC平面PBC,可得平面PAC平面PBC,故選項B,D正確;對于選項C,由AC與PC不垂直,可得AC平面PBC不成立,故選項C錯誤.故選BD.4.(2020新高考全國1,4)日晷是中國古代用來測定時間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O),地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點A處的緯度為北緯40,則晷針與點A處的水平面所成的角為()A.20B.40C.50D.90答案B解析由題意知,如圖,圓O

6、為赤道所在的大圓.圓O1是在點A處與赤道所在平面平行的晷面.O1C為晷針所在的直線.直線OA在圓O所在平面的射影為直線OB,點B在圓O上,則AOB=40,COA=50.又CAO=90,OCA=40.晷針與點A處的水平面所成角為40,故選B.5.在三棱錐P-ABC中,點P在平面ABC中的射影為點O.(1)若PA=PB=PC,則點O是ABC的心;(2)若PAPB,PBPC,PCPA,則點O是ABC的心.答案(1)外(2)垂解析 (1)如圖,連接OA,OB,OC,OP,在RtPOA,RtPOB和RtPOC中,PA=PB=PC,所以OA=OB=OC,即點O為ABC的外心.(2)如圖,延長AO,BO,C

7、O分別交BC,AC,AB于H,D,G.因為PCPA,PBPC,PAPB=P,所以PC平面PAB,又AB平面PAB,所以PCAB,因為ABPO,POPC=P,所以AB平面PGC,又CG平面PGC,所以ABCG,即CG為ABC邊AB上的高.同理可證BD,AH分別為ABC邊AC,BC上的高,即點O為ABC的垂心.關鍵能力 學案突破考點1線面垂直的判定與性質(zhì)(多考向探究)考向1證明線面垂直【例1】 如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,AB平面PAD,ABDC,PD=AD,E是PB的中點,F是DC上的點,且DF= AB,PH為PAD中AD邊上的高.求證:(1)PH平面ABCD;(2)EF平面PAB.證明

8、(1)AB平面PAD,AB平面ABCD,平面PAD平面ABCD.平面PAD平面ABCD=AD,PHAD,PH平面ABCD.(2)取PA的中點M,連接MD,ME.E是PB的中點,ME AB.又DF AB,ME DF,四邊形MEFD是平行四邊形,EFMD.PD=AD,MDPA.AB平面PAD,MDAB.PAAB=A,MD平面PAB,EF平面PAB.考向2證明線線垂直【例2】 (2020全國3,文19)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.證明:(1)當AB=BC時,EFAC;(2)點C1在平面AEF內(nèi).證明 (1)如圖,連接

9、BD,B1D1.因為AB=BC,所以四邊形ABCD為正方形,故ACBD.又因為BB1平面ABCD,于是ACBB1.所以AC平面BB1D1D.由于EF平面BB1D1D,所以EFAC.(2)如圖,在棱AA1上取點G,使得AG=2GA1,連接GD1,FC1,FG.因為D1E= DD1,AG= AA1,DD1AA1,所以ED1 AG,于是四邊形ED1GA為平行四邊形,故AEGD1.因為B1F= BB1,A1G= AA1,BB1 AA1,所以FG A1B1,FG C1D1,四邊形FGD1C1為平行四邊形,故GD1FC1.則AEFC1.所以A,E,F,C1四點共面,即點C1在平面AEF內(nèi). 解題心得證明直

10、線與平面垂直與利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直的通法是線面垂直的判定定理的應用,其思維流程為:對點訓練1如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,ACB=90,D是A1B1的中點,F在BB1上.(1)求證:C1D平面AA1B1B;(2)在下列給出的三個條件中選取哪兩個條件可以使AB1平面C1DF?請選擇并證明你的結(jié)論.F為BB1的中點;AB1= ;AA1= .(1)證明 ABC-A1B1C1是直三棱柱,AA1平面A1B1C1.A1C1=B1C1=1,且A1C1B1=90.又D是A1B1的中點,C1DA1B1.AA1平面A1B1C1,C1D平面A1B1C1,AA1C1D,又A1B1AA

11、1=A1,C1D平面AA1B1B.(2)解 選能證明AB1平面C1DF.連接A1B,DFA1B,在ABC中,AC=BC=1,ACB=90,則AB= ,又AA1= ,則A1BAB1,DFAB1.C1D平面AA1B1B,AB1平面AA1B1B,C1DAB1.DFC1D=D,AB1平面C1DF.考點2面面垂直的判定與性質(zhì)【例3】 (一題多解)如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD,E,F,G,M,N分別為PB,AB,BC,PD,PC的中點.求證:(1)CE平面PAD;(2)平面EFG平面EMN.證明 (1)(方法1)取PA的中點H,連接EH,DH.因為E為PB的中點

12、,所以EH AB.又CD AB,所以EH CD.所以四邊形DCEH是平行四邊形,所以CEDH.又DH平面PAD,CE平面PAD,所以CE平面PAD.(方法2)連接CF.因為F為AB的中點,所以AF= AB.又CD= AB,所以AF=CD.又AFCD,所以四邊形AFCD為平行四邊形.因此CFAD,又CF平面PAD,AD平面PAD,所以CF平面PAD.因為E,F分別為PB,AB的中點,所以EFPA.又EF平面PAD,PA平面PAD,所以EF平面PAD.因為CFEF=F,故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF,所以CE平面PAD.(2)因為E,F分別為PB,AB的中點,所以EFPA.又因為ABPA

13、,所以EFAB,同理可證ABFG.又因為EFFG=F,EF,FG平面EFG,所以AB平面EFG.又因為M,N分別為PD,PC的中點,所以MNCD.又ABCD,所以MNAB,所以MN平面EFG.又因為MN平面EMN,所以平面EFG平面EMN.變式發(fā)散1(變設問)在本例條件下,證明:平面EMN平面PAC.證明 因為ABPA,ABAC,且PAAC=A,PA,AC平面PAC,所以AB平面PAC.又MNCD,CDAB,所以MNAB,所以MN平面PAC.又MN平面EMN,所以平面EMN平面PAC.變式發(fā)散2(變設問)在本例條件下,證明:平面EFG平面PAC. 證明 因為E,F,G分別為PB,AB,BC的中

14、點,所以EFPA,FGAC,又EF平面PAC,PA平面PAC,所以EF平面PAC.同理FG平面PAC.又EFFG=F,所以平面EFG平面PAC.解題心得1.面面垂直判定的2種方法與1個轉(zhuǎn)化(1)2種方法:面面垂直的定義;面面垂直的判定定理.(2)1個轉(zhuǎn)化:在已知兩個平面垂直時,一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化.在一個平面內(nèi)作交線的垂線,轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.2.面面垂直性質(zhì)的應用(1)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù),運用時要注意“平面內(nèi)的直線”.(2)兩個相交平面同時垂直于第三個平面,它們的交線也垂直于第三個平面.考點3垂直關系中的探索性問題【例4】 如圖,在

15、三棱臺ABC-DEF中,CF平面DEF,ABBC.(1)設平面ACE平面DEF=a,求證:DFa;(2)若EF=CF=2BC,試問在線段BE上是否存在點G,使得平面DFG平面CDE?若存在,請確定G點的位置;若不存在,請說明理由.(1)證明 在三棱臺ABC-DEF中,ACDF,AC平面ACE,DF平面ACE,DF平面ACE.又DF平面DEF,平面ACE平面DEF=a,DFa.(2)解 線段BE上存在點G,且BG= BE時,使得平面DFG平面CDE.取CE的中點O,連接FO并延長交BE于點G,交CB的延長線于點H,連接GD,CF=EF,GFCE.在三棱臺ABC-DEF中,ABBC,可得DEEF.

16、由CF平面DEF,可得CFDE.又CFEF=F,DE平面CBEF,GF平面CBEF,DEGF.CEDE=E,CE平面CDE,DE平面CDE,GF平面CDE.又GF平面DFG,平面DFG平面CDE.O為CE的中點,EF=CF=2BC,解題心得(1)對于線面關系中的存在性問題,首先假設存在,然后在該假設條件下,利用線面關系的相關定理、性質(zhì)進行推理論證,尋找假設滿足的條件,若滿足則肯定假設,若得出矛盾的結(jié)論則否定假設.(2)對于探索性問題用向量法比較容易入手,一般先假設存在,設出空間點的坐標,轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題,若有解且滿足題意則存在,若有解但不滿足題意或無解則不存在.對點訓練2如圖,在四

17、棱錐S-ABCD中,側(cè)棱SA=SB=SC=SD,底面ABCD是菱形,AC與BD交于O點.(1)求證:AC平面SBD;(2)若E為BC的中點,點P在側(cè)面SCD內(nèi)及其邊界上運動,并保持PEAC,試指出動點P的軌跡,并證明.(1)證明 連接SO,底面ABCD是菱形,ACBD.又SA=SC,ACSO.而SOBD=O,AC平面SBD.(2)解 取棱SC中點M,CD中點N,連接MN,則動點P的軌跡即是線段MN.連接EM,EN,E是BC的中點,M是SC的中點,EMSB.同理,ENBD,平面EMN平面SBD,AC平面SBD,AC平面EMN.因此,當點P在線段MN上運動時,總有ACPE.考點4空間位置關系與幾何

18、體的度量計算【例5】 如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD平面PCD,ADBC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值;(2)求證:PD平面PBC;(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.(1)解 如圖,由已知ADBC,故DAP或其補角即為異面直線AP與BC所成的角.因為AD平面PCD,PD平面PCD,所以ADPD.(2)證明 由(1)知ADPD,又因為BCAD,所以PDBC.又PDPB,BCPB=B,所以PD平面PBC.(3)解 過點D作DFAB,交BC于點F,連接PF,則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.因PD平面P

19、BC,故PF為DF在平面PBC上的射影,所以DFP為直線DF和平面PBC所成的角.由于ADBC,DFAB,故BF=AD=1.由已知,得CF=BC-BF=2.解題心得1.本題證明的關鍵是垂直與平行的轉(zhuǎn)化,如由ADBC,ADPD,得PDBC,進而利用線面垂直的判定定理證明PD平面PBC.2.利用綜合法求空間線線角、線面角、二面角一定注意“作角、證明、計算”是完整統(tǒng)一過程,缺一不可.(1)線面角的求法:找出斜線在平面上的射影,關鍵是作垂線,找垂足,要把線面角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角來度量.平面角的作法常見的有:定義法;垂面法.注意利用等腰、等邊三角形的性質(zhì).對點訓練3如

20、圖,三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.點E是CD邊的中點,點F,G分別在線段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)證明:PEFG.(2)求二面角P-AD-C的平面角的正切值.(3)求直線PA與直線FG所成的角的余弦值.(1)證明 PD=PC,且E為CD的中點,PECD.又平面PDC平面ABCD,且平面PDC平面ABCD=CD,PE平面PDC,PE平面ABCD,又FG平面ABCD,PEFG.(3)解 如圖,連接AC,AF=2FB,CG=2GB,ACFG.直線PA與FG所成的角即直線PA與AC所成的角.在RtPDA中,PA2=AD

21、2+PD2=25,PA=5.素養(yǎng)提升微專題7平面圖形折疊問題的解題技巧類型一將平面圖形折疊成立體圖形【例1】 (2020山東德州一中高考模擬)如圖是正四棱錐P-ABCD的平面展開圖,其中點P1,P2,P3,P4是頂點P展開后的四個點,E,F,G,H分別為P3A,P2D,P4C,P4B的中點,在此四棱錐中,給出下面五個結(jié)論:平面EFGH平面ABCD;PA平面BDG;EF平面PBC;FH平面BDG;EF平面BDG.其中正確結(jié)論的序號是.答案解析先把平面展開圖還原為一個四棱錐,如圖所示.E,F,G,H分別為PA,PD,PC,PB的中點EFAD,GHBC.ADBC,EFGH,EF,GH確定平面EFGH

22、.EF平面EFGH,AD平面EFGH,AD平面EFGH,同理AB平面EFGH,ABAD=A,AB,AD平面ABCD,平面EFGH平面ABCD,故正確;連接AC,BD交于點O,則O為AC中點,連接OG,G為PC中點,OGPA,OG平面BDG,PA平面BDG,PA平面BDG,故正確;E,F分別為PA,PD的中點,EFAD.四邊形ABCD為正方形,ADBC,EFBC.又BC平面PBC,EF平面PBC,EF平面PBC.故正確;連接FH,F,H為PD,PB的中點,FHBD.BD平面BDG,FH平面BDG,FH平面BDG.故正確;由題知,EFGH,GH與平面BDG相交,EF與平面BDG相交,故錯誤.故答案為.解題心得畫折疊圖形一般以某個面為基礎,依次將其余各面翻折,當然,畫圖之前要對翻折后形成的立體圖形有所認識,這是解答此類問題的關鍵.對點訓練1如圖是一個正方體表面的一種平面展開圖,圖中的四條線段AB,CD,EF和GH在原正方體中相互異面的有對.答案 3解析 平面圖形的折疊應注意折前折后各元素相對位置的變化.畫出圖形即可判斷,相互異面的線段有AB與CD,EF與GH,AB與GH,共3對.類型二折疊中的“變”與“不變” (1)證明:AO平面BCDE;(2)求二面角A-CD-B的平面角的余弦值.(2)解過點O作OHCD交CD的延長線于點H,連接AH,因為AO平面BCDE,所