初等模型擬合比例類比

1、 第二章 初等模型2.2 擬合、比例方法及類比法 汽車剎車距離美國的某些司機培訓課程中的駕駛規(guī)則：背景與問題 正常駕駛條件下, 車速每增10英里/小時， 后面與前車的距離應增一個車身的長度。 實現(xiàn)這個規(guī)則的簡便辦法是 “2秒準則” ： 后車司機從前車經(jīng)過某一標志開始默數(shù) 2秒鐘后到達同一標志，而不管車速如何判斷 “2秒準則” 與 “車身”規(guī)則是否一樣；建立數(shù)學模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。問題分析常識：剎車距離與車速有關10英里/小時(16公里/小時)車速下2秒鐘行駛29英尺( 9米)車身的平均長度15英尺(=4.6米)“2秒準則”與“10英里/小時加一車身”規(guī)則不同剎車距離反應時間司機狀況制動系

2、統(tǒng)靈活性制動器作用力、車重、車速、道路、氣候 最大制動力與車質量成正比，使汽車作勻減速運動。車速常數(shù)反應距離制動距離常數(shù)假 設 與 建 模 1. 剎車距離 d 等于反應距離 d1 與制動距離 d2 之和2. 反應距離 d1與車速 v成正比3. 剎車時使用最大制動力F，F(xiàn)作功等于汽車動能的改變;F d2= m v2/2F mt1為反應時間且F與車的質量m成正比 反應時間 t1的經(jīng)驗估計值為0.75秒?yún)?shù)估計 利用交通部門提供的一組實際數(shù)據(jù)擬合 k模 型最小二乘法 k=0.06計算剎車距離、剎車時間車速(英里/小時) (英尺/秒)實際剎車距離（英尺）計算剎車距離（英尺）剎車時間（秒）2029.34

3、2（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒準則”應修正為 “t 秒準則”模 型車速(英里/小時)剎車時間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里/小時）010104040606080t（秒）1234動物的身長和體重問題的提出： 四足動物的軀干的長度(不含頭尾)與它的體重有什么關系？ 這個問題有一定的

4、實際意義。比如，在生豬收購站或屠宰場工作的人們，往往希望能從生豬的身長估計出它的體重。 動物的生理構造因種類不同而異，如果陷入對生物學復雜生理結構的研究，將很難得到滿足上述目的有使用價值的模型這里我們僅在十分粗賂的假設基礎上，利用類比方法，借助力學的某些結果，建立動物身長和體重間的比例關系。1、問題的分析與假設 把四足動物的軀干看作圓柱體，長度l、直徑d、斷面面積s如下圖所示。 將這種圓柱體的軀干類比作根支撐在四肢上的彈性梁，以便利用彈性力學的一些研究結果。2、模型的建立：原理： 動物在自身體重f作用下軀干的最大下垂度b，即梁的最大彎曲，根據(jù)對彈性粱的研究，有：進一步分析b/l的意義3、生物學

5、角度分析b/lb/l生理學意義： b/l是動物軀干的相對下垂度。b/l太大，四肢將無法支撐；b/l太小，四肢的材料和尺寸超過了支撐軀干的需要，無疑是一種浪費。生物學進化角度： 經(jīng)過長期進化，對每一種動物而言b/l已經(jīng)達到其最合適的數(shù)值，即b/l應視為與這種動物的尺寸無關的常數(shù)。4、結論（1）關系式： （前面分析）（2）另一些比例關系：（3）最終結論： 即體重與軀干長度的4次方戊正比。這樣，對于某一種四足動物比如生豬，在根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定出上述比例系數(shù)以后，就能從軀干長度估計出動物的體重了。作業(yè)問題：人在雨中從一處向另一處行走，當雨的速度已知時，問人行走的速度多大時才能使淋雨量最小？分析（建模）：

6、人身體的表面非常復雜，為了簡化問題，將人看作是一長方體，其前、側、頂?shù)拿娣e之比為1:b:c,選擇適當?shù)闹苯亲鴺讼?，使人的行走速度?u,0,0),設雨的速度為(vx,vy.vz),人的行走距離為L，則行走時間為L/u。在上述分析下，由高數(shù)曲面積分中通量的概念，顯然單位時間內的淋雨量正比于補充：設某向量場由A (x,y,z)=P (x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k給出，其中P，Q，R具有一階連續(xù)偏導數(shù)，是場內的一片有向曲面，n是在點(x,y,z)處的單位法向量，則 叫做向量場A通過曲面向著指定側的 通量。從而總淋雨量正比于顯然a0,則于是原問題抽象成如下數(shù)學問題：在L，vx，a，已知的情況下，求R(u)的最小值。在L，vx，a，已知的情況下，求R(u)的最小值，其中求解模型:由于這個模型的特殊性，用圖解法求解方便些，分以下幾種情況討論：當v xa時，可以大體做出R