高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一不等式

1、- -第 4 講 不等式不等式的解法 核心提煉 1一元二次不等式的解法先化為一般形式 ax2 bxc0(a 0)，再求相應(yīng)一元二次方程 ax2bx c 0(a0)的根， 最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與 x 軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集2簡(jiǎn)單分式不等式的解法gf(xx)0(0(0 的解集是 (1，3)，則不等式 f(1，32，22x)0 的解集是 ()31A.，22，3，1B.2，213C.，22，D.(2)不等式 (a2)x22(a2)x40，得 ax2(ab1)xb0，又其解集是 (1，3)，所以 a 0，且1aba2， 3，1解得 a 1或3(舍去 )，所以 a 1，b 3，所以 f

2、(x) x22x 3， 所以 f( 2x) 4x2 4x 3，由 4x24x3 0，解得 x12或 x 32，故選 A.(2)當(dāng) a2 時(shí)，不等式化為 40，恒成立； 當(dāng) a2 時(shí)，由條件知a204（a2）216（a2）0解得 2a1 的解集為 （）1A. 2， 1B（， 1）11C. ， 2 （1， ）D. 2， 2解析：選 A. 原不等式等價(jià)于x2x110，即 x（2x1）0，2x1x 1整理得 2xx110，1不等式等價(jià)于 （2x 1）（x1）0，解得21x1（a0，a1）的解集為 （a， x2 2mxma11的定義域?yàn)?R ，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為 解析： 當(dāng) a1 時(shí)，由題意可得

3、x2ax2a20 的解集為 （ a，2a），這顯然是不可能的當(dāng) 1 x2 2mxm 1 00a1 時(shí)，由題意可得 x2ax 2a20，則 |axb|c? c axbc，|ax b|c? axbc，或 axb c，然后根 據(jù) a，b 的取值求解即可；若 c0，則 |axb|c 的解集為 ?， |ax b| c 的解集為 R.|x a| |x b | c， |x a| |x b| c 型不等式的解法令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)里的一次式為0，求出相應(yīng)的根；把這些根由小到大排序，它們把數(shù)軸分為若干個(gè)區(qū)間；在所分區(qū)間上，根據(jù)絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，討論所得的不等式在這個(gè)區(qū)間上 的解集；這些解集的并集就是原不等

4、式的解集2絕對(duì)值不等式的性質(zhì) (三角不等式 )對(duì)絕對(duì)值三角不等式定理 |a|b|ab|a| |b|中等號(hào)成立的條件要深刻理解， 特別是 用此定理求函數(shù)的最值時(shí)該定理可強(qiáng)化為 |a| |b| |ab| |a|b|，它經(jīng)常用于證明含絕對(duì)值的不等式 典型例題 (1)(2019 紹興市諸暨市高考二模 )已知 f(x)x23x，若 |xa| 1，則下列不等式一定成立的是 ( )A|f(x)f(a)|3|a|3B|f(x)f(a)|2|a|4C|f(x)f(a)|a|5D|f(x)f(a)|2(|a|1)(2)(2019新高考研究聯(lián)盟第一次聯(lián)考 )已知函數(shù) f(x)|x2a|xb|(a，bR)，當(dāng) x 2

5、，2時(shí)，記 f(x)的最大值為 M(a， b)，則 M(a，b)的最小值為 【解析 】 (1)因?yàn)?|x a| 1，所以 a1x a1， 因?yàn)?f(x)是二次函數(shù)，所以 f(x)在區(qū)間 a1， a 1上單調(diào)時(shí)， |f(x)f(a)|取得最大值為 |f(a1) f(a)|或|f(a 1) f(a)|，而 |f(a1)f(a)|(a1)23(a1)a23a|2a4|2|a|4，|f(a1)f(a)| |(a1)23(a1)a23a| 2a2| |2a 2|2|a| 2. 所以 |f(x)f(a)|2|a|4，故選 B.(2)法一：根據(jù)對(duì)稱性， 不妨設(shè) b 0，x 0，2，所以 f(x)|x2 a|

6、 x b，所以 M(a，b)|x2 a|xb |x2a|x.令 g(x) |x2a|x，x0，2當(dāng) a0 時(shí)， g(x)x2xa，g(x)max6a 6；x2x a，x0， a，當(dāng) 0a4 時(shí)， g(x)x2x a，x a，21 23 所以當(dāng) 0 a 4 ；1 當(dāng)14 a 4 時(shí)，1g(x)max max 4 a，6a14a，238 a 4，6 a，1a23.48所以 g(x)max 25.81 17當(dāng) a4 時(shí)， g(x) x2xa，g(x)max 4a 4 ；綜合 得 M(a，b) 25，min 8 ，當(dāng)且僅當(dāng)23a 8 ，b0 時(shí)取到法二： f(x)max|x2xab|，|x2 xab|

7、，令 f1(x)|x2xab|，f2(x) |x2xa b| ，g1(x) x2 x ab，根據(jù)圖象可知： f1(x) maxmax |6 ab|，14abf2(x)max max |6a b|，14ab41所以 2f 1(x)max |6 ab| 4ab (6ab)14ab同理： 2f2(x)max |6ab|41ab ( 6ab)4 1 ab425，4，25，4，當(dāng)且僅當(dāng)6 a b)6 ab)1 ab234a ，即8 時(shí)取等號(hào)，1 a bb 04所以 M(a，b)min25答案】將原(1)B (2)285(1)研究含有絕對(duì)值的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)絕對(duì)值的定義，分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)函數(shù)轉(zhuǎn)化為分

8、段函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合解決是常用的思維方法(2)對(duì)于求 y |xa|x b|或 y|x a|xb|型的最值問(wèn)題利用絕對(duì)值三角不等式更方 便 形如 y |x a| |x b|的函數(shù)只有最小值， 形如 y|x a| |x b|的函數(shù)既有最大值又有最 小值 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 1(2019 寧波市六校聯(lián)盟模擬 )已知函數(shù) f(x)|xa|x2|.當(dāng) a 4 時(shí)，則不等式 f(x)6 的解集為 ；若 f(x)|x3|的解集包含 0，1，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 解析： 當(dāng) a4 時(shí)，f(x)6，即|x4|x2|6，x 22x4即或4 x 2x6 4 x x26x4 或，x4 x26解得 x 0 或 x6.所以

9、原不等式的解集為 ( ，06，) 由題可得 f(x)|x 3|在 0， 1上恒成立 即|x a| 2x3x 在0 ， 1上恒成立， 即1xa1x 在0 ， 1上恒成立 即 1a0.答案： (， 06， ) 1，02(2019 杭州學(xué)軍中學(xué)高三模擬 )已知 a 和 b是任意非零實(shí)數(shù)|2a b | |2a b|(1)求的最小值；|a|(2)若不等式 |2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，求實(shí)數(shù) x 的取值范圍解：(1)因?yàn)閨2ab|2ab|2ab2ab|4a|4，所以 |2ab|2ab|的最小值為 |a| |a| |a| |a|4.|2a b| |2a b|(2)不等式 |2a b| |

10、2a b| |a|(|2x | |2 x|)恒成立， 即|2 x| |2 x|a| 恒成立，故|2x|2x|2ab|2ab|a|min由(1)可知， |2ab|2ab|的最小值為 4，|a|所以 x的取值范圍即為不等式 |2x|2x|4 的解集解不等式得 2 x 2，故實(shí)數(shù) x 的取值范圍為 2，2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 核心提煉 1平面區(qū)域的確定方法平面區(qū)域的確定方法是“直線定界、特殊點(diǎn)定域”，二元一次不等式組所表示的平面區(qū) 域是各個(gè)不等式所表示的區(qū)域的交集2線性目標(biāo)函數(shù) z axby 最值的確定方法線性目標(biāo)函數(shù) z axby 中的 z 不是直線 ax by z 在 y 軸上的截距，把目標(biāo)函數(shù)化

11、為y axz可知 z是直線 axbyz在 y 軸上的截距， 要根據(jù) b 的符號(hào)確定目標(biāo)函數(shù)在什么情況b b b 下取得最大值、什么情況下取得最小值 典型例題 x3y 4 0，（1）（2019 高考浙江卷 ）若實(shí)數(shù) x，y 滿足約束條件 3xy 40，則 z3x2y 的最 xy0，大值是 （ ） TOC o 1-5 h z A 1B1C10D 12xy0，（2）（2018 高考浙江卷 ）若 x， y 滿足約束條件2xy6，則 zx 3y 的最小值是xy2， ，最大值是 （3）（2019 寧波高考模擬 ）已知 A（1， 1），B（ 2，1）， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線 l：axby2 與 ABO 所

12、圍成區(qū)域 （包含邊界 ） 沒(méi)有公共點(diǎn)，則 ab 的取值范圍為 【解析 】 （1）作出可行域如圖中陰影部分所示， 數(shù)形結(jié)合可知， 當(dāng)直線 z 3x 2y過(guò)點(diǎn) （2， 2）時(shí)， z取得最大值， zmax6410.故選 C.（2）由題可得，該約束條件表示的平面區(qū)域是以（2，2），（1，1），（4， 2）為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部區(qū)域 （圖略）由線性規(guī)劃的知識(shí)可知，目標(biāo)函數(shù)z x 3y 在點(diǎn)（2，2）處取得最大值，在點(diǎn)（4，2）處取得最小值，則最小值 zmin46 2，最大值 zmax268.（3）A（1，1），B（2，1），O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線 l： ax by 2 與ABO 所圍成區(qū)域 （包含邊界

13、)沒(méi)有公共點(diǎn)，得不等式組ab22ab0 時(shí)，直線經(jīng)過(guò) A時(shí) z取得最大值即 axy10，將 A（3， 4）代入得：3a 4 10，解得 a2，當(dāng) a 0 時(shí)，直線經(jīng)過(guò) A 時(shí) z 取得最大值，即 axy10，將 A（3，4）代入得： 3a410，解得： a2，與 a0 矛盾， 綜上 a 2.2在平面上，過(guò)點(diǎn) P 作直線 l 的垂線所得的垂足稱為點(diǎn) P 在直線 l 上的投影由區(qū)域x20，xy0， 中的點(diǎn)在直線 xy20 上的投影構(gòu)成的線段記為 AB，則 |AB|（）x3y40B4C 3 2D解析：選 C.作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分 所示，過(guò)點(diǎn) C，D 分別作直線 xy20 的垂線

14、，垂足分別為 B，則四邊形 ABDC 為矩形，又 C（2， 2），D（1，1），所以 |AB|CD| （21）2（ 21）2y x103（2019 溫州市高考模擬 ）若實(shí)數(shù) x，y 滿足 x y 2 0，則 y 的最大值為 x， y0，y1，x2的取值范圍是 yx10解析： 作出不等式組 xy2 0，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖： x，y0可知 A 的縱坐標(biāo)取得最大值： 2.因?yàn)?zy1，則 z 的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn) D（2，x2 1）的斜率，由圖象知 BD 的斜率最小， AD 的斜率最大，則 z的最大為210232，最小為 10121，3，即13z23，則 zyx 12的取值范圍是 31，32

15、答案： 2 31，32基本不等式及其應(yīng)用 核心提煉 利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法則是：（1）如果 x0，y0，xyp（定值 ），當(dāng)xy時(shí)， xy有最小值 2 p（簡(jiǎn)記為：積定，和有最小值 ）；（2）如果 x0，y0，xys（定值）， 當(dāng) xy 時(shí)， xy有最大值 41s2（簡(jiǎn)記為：和定，積有最大值 ） 典型例題 a44b41 TOC o 1-5 h z （1）若 a，bR，ab0，則 a 的最小值為 （2）（2019 金麗衢十二校高考二模 ）設(shè) A（ x，y）|x2a（2xy）4a20，B（ x，y）|y|b|x|， 對(duì)任意的非空實(shí)數(shù) a，均有 A? B 成立，則實(shí)數(shù) b 的最大值

16、為 a44b41 2 4a4b4 1 4a2b211 1【解析 】 （1）因?yàn)?ab 0，所以 4ab 2 4abab ab ab ab ab4，a44b41的最小值是 4.aba22b2，當(dāng)且僅當(dāng) 1 時(shí)取等號(hào)，ab 21(2)由 x2a(2xy)4a20 得 y x22x 4a， a則|yx|xa4xa2|，當(dāng) ax0 時(shí)，ax4xa2 44，所以 |x4a 2| |4 2| 2，即 |y|2，a x |x|當(dāng) ax0， B0) ， g(x)恒正或恒負(fù)的形式，g(x)然后運(yùn)用基本不等式來(lái)求最值“1”的代換：先把已知條件中的等式變形為“1”的表達(dá)式，再把 “1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘

17、求積，通過(guò)變形構(gòu)造和或積為定值的代數(shù)式求其最值 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 xy1(2019 溫州市瑞安市高考模擬 )若 x0，y0，則xx2yxy的最小值為解析：設(shè)xyt0，則xx2yxy112tt112t12（2t1）212 112t 122t12 212，當(dāng)且僅當(dāng)212yx時(shí)取等號(hào)故答案為： 212.答案： 2 122(2018 高考江蘇卷 )在 ABC 中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，ABC120，ABC 的平分線交 AC 于點(diǎn) D，且 BD1，則 4ac 的最小值為 解析：因?yàn)锳BC120， ABC 的平分線交 AC于點(diǎn) D，所以 ABDCBD60，1 1 1由三角形的面積公式可得 2

18、acsin 120 2asin 60 2csin 60，化簡(jiǎn)得 ac ac，又 a0， c0，所以 1 11，則 4ac(4ac) 11 5c4a52 c4a9，當(dāng)且僅當(dāng) c2a a c a c a c a c時(shí)取等號(hào)，故 4ac 的最小值為 9.答案： 9專題強(qiáng)化訓(xùn)練1（2019 金華十校聯(lián)考 ）不等式 （m 2）（m3） 0 的一個(gè)充分不必要條件是 （ ）A 3m0B 3m 2C 3m4D 1 m3解析： 選 A.由（m2）（m3）0得 3m 2，即不等式成立的等價(jià)條件是 3m2， 則不等式 （m2）（m3）0 的一個(gè)充分不必要條件是 （3，2）的一個(gè)真子集， 則滿足條件是 3 m 0.故

19、選 A.12已知關(guān)于 x 的不等式 （ax 1）（ x1）0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，則 x 3y的最小值是 （ ） x 3yA2C4B 2 2D 2 3解析： 選 C.因?yàn)?lg 2xlg 8ylg 2，所以 x3y 1，所以1x31y x131y （x3y）23xy3xy4，當(dāng)且僅當(dāng)3y x ，x 3y，取等號(hào)4若平面區(qū)域xy30，2xy30，夾在兩條斜率為x2y30的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是 （A.3 5A. 532C. 2D. 5xy30解析： 選 B.不等式組 2xy3 0表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中A（1，2）、x2y30B（2， 1）

20、，當(dāng)兩條平行直線間的距離最小時(shí)，兩平行直線分別過(guò)點(diǎn)A 與 B，又兩平行直線的斜率為 1，直線 AB的斜率為 1，所以線段 AB的長(zhǎng)度就是過(guò) A、B 兩點(diǎn)的平行直線間的距離， 易得 |AB| 2，即兩條平行直線間的距離的最小值是2， 故選 B.5（2019 金麗衢十二校高三聯(lián)考）若函數(shù) f（x） 2xx1a（a2）在區(qū)間 （1， ）上的最小值為x 16，則實(shí)數(shù) a 的值為 （ ）A2C13解 析 ： 選 B.f（x）2x2ax12（ x1）2 4（x1） 2ax12(x 1) x21a x142 2（x1）2x1a42 42a4，當(dāng)且僅當(dāng) 2（x1）x21a? x1 22 a時(shí)，等號(hào) 成立，所以

21、 2 4 2a 46? a23，故選 B.x22x30，6若不等式組 2x24x的解集不是空集，（ 1 a ） 0則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 （)A（， 4B4， )C4，20D4，20)解析： 選 B.不等式 x22x30 的解集為 1，3，x2 2x3 0，假設(shè) 2 的解集為空集， 則不等式 x24x（a1）0 的解集為集合 x|x3 的子集，因?yàn)楹瘮?shù) f（x）x24x（a1）的圖象的對(duì)稱軸方程為 x 2，所以必有 x2 2x 3 0，f（ 1） 4 a0? aa0， ab1，則下列不等式中正確的是 （Alog3a0B3ab13Clog2a log2b0 可得 log3alog31，a1，又

22、ba0，ab 1，所以 a1，兩者矛盾，所以 A 不正確；所以對(duì)于B，由 3a b31可得 3ab3 1，所以a b 1，可得 a 1a0，a b 1 矛盾，所以 B 不正確；對(duì)于1C，由 log2alog2b2 可得 log 2（ab ） 2 log 24，所以1aba0，ab 12 ab，所以1aba0，ab 1，所以1 1 3B若 |xy2|x2 y|1，則（x21）2（y12）232113C若 |xy2|x2y|1，則（x2）2（y2）22113D若 |xy2|x2 y|1，則 （x 12）2 （y 12）2 321 1 3解析： 選 B.對(duì)于 A，|xy2|x2y|1，由 （x21）

23、2（y21）232化簡(jiǎn)得 x2xy2y 1， 二者沒(méi)有對(duì)應(yīng)關(guān)系；對(duì)于 B，由 （x2y）（y2 x） |x2y|y2x|xy2|x2y|1，所以 x2xy2 y1，即（x21）2 （y 12）232，命題成立；對(duì)于 C ， |x y2| |x2 y| 1， 1 1 3由（x12）2（y21）232化簡(jiǎn)得 x2xy2y 1，二者沒(méi)有對(duì)應(yīng)關(guān)系； 對(duì)于 D，|xy2|x2y|1， 化簡(jiǎn)（x12）2（y21）232得 x2xy2y1，二者沒(méi)有對(duì)應(yīng)關(guān)系故選 B.10若關(guān)于 x 的不等式 x33x2axa20 在 x （ ，1上恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值 范圍是 （ ）A（，3B3， ）C（，3D3， ）

24、解析： 選 A.關(guān)于 x的不等式 x33x2axa20 在 x （ ， 1上恒成立， 等價(jià)于 a（x1） x3 3x22（x1）（x22x2），當(dāng) x 1 時(shí)， 1 3 aa 2 00 成立，當(dāng) x 1 時(shí)， x1 0，即 ax22x 2，因?yàn)?yx22x2（x1）23 3恒成立，所以 a 3，故選 A.11（2019 溫州市高三高考模擬 ）若關(guān)于 x的不等式 |x|xa|b的解集為 （2，1），則實(shí) 數(shù)對(duì) （a， b） 解析： 因?yàn)椴坏仁?|x|x a|y0，且 log2x log 2y 1，則 x2 y1的最小值是 ，xx2yy2的最大值為 解析： 實(shí)數(shù) x，y 滿足 xy 0，且 log

25、2x log 2y 1，則 xy2，則212 2 1 2，當(dāng)且僅當(dāng) 21，即 x2，y1 時(shí)取等號(hào)，x y x y x y21故 2x 2a 1的最小值是 2，xyxyx2y2x yx yxy）22xy（x y）241xy）4 xy1114，當(dāng)且僅4當(dāng) xy 4 ，即 xy2 時(shí)取等號(hào)， xy故xx2yy2的最大值為 14，故答案為 2，14.1答案： 2 14x01y13（2019 蘭州市高考實(shí)戰(zhàn)模擬）若變量 x，y 滿足約束條件y0，則 z 2x 12 的3x4y12最大值為 x0解析： 作出不等式組 y0 表示的平面區(qū)域如圖中陰影部3x 4y 12x 1 y x y分所示又 z2x 12

26、 2xy，令 u x y，則直線 uxy 在點(diǎn)（4，0）處 u 取得最大值，此時(shí) z 取得最大值且 zmax24016. 答案： 162 x 1， x 014已知函數(shù) f（x）2 ，則關(guān)于 x 的不等式 f（f（x）3 的解集為 x2x， x0解析：令 f（t）3，若 t0，則 2t13，2t4，解得 2t0；若 t0，則 t2t3，2 x 1 2 x2 x 2 t2 t30，解得 t0，所以 t2，即原不等式等價(jià)于或 ，解得x 0 x0 x2.答案： （， 21 1 3 15（2019 寧波市九校聯(lián)考 ）已知 f（x）|xxa|xxa|2x 2a（x0）的最小值為 2， TOC o 1-5 h z 則實(shí)數(shù) a 1111解析： f（x）|xxa|xxa|2x 2a|（x x a） （x x a）|2x 2axxxx2|x|2x 2a 2 22x 2a42a.當(dāng)且僅當(dāng) 22x，即 x1 時(shí)，上式等號(hào)成立由 42a 32，解得 a45.答案： 5416（2019 紹興市柯橋區(qū)高三模擬 ）若|x2|x a|3a|2 對(duì) x 1，1恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 解析： |x2 |x a| 3a|2 化為 2x2 |xa|3a 2 x2，畫出圖象，可知，其幾何意 義為頂點(diǎn)為 （a，3a）的 V 字型在 x