高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)精講精析絕對值不等式的解法

1、4.2.1 絕對值不等式的解法要點(diǎn)精講1含有絕對值的不等式的性質(zhì)|a|- |b| |a+b| |a|+|b| 證明： -|a| a |a|, -|b|b |b|, -(|a|+|b|) a+b(|a|+|b|),|a+b| |a|+|b| 又 a=a+b-b, |-b|=|b| 由得 |a|=|a+b- b| |a+b|+|-b| ，即 |a|- |b| |a+b| 由得 |a|- |b| |a+b| |a|+|b| 由以上定理很容易推得以下的結(jié)論：|a|- |b| |a-b| |a|+|b|a 1+a2+a3| |a 1|+|a 2|+|a 3|2 幾個基本不等式的解集|x|-aa xa 或

2、 x0)|x-m|0) -aX-M m-aXa(a0) x-ma 或 x-mm+a 或 xM-A3絕對值的定義：|a|=由定義可知： |ab|=|a|b|,4絕對值不等式的解法解含有絕對值不等式的基本思路，絕對值符號的存在是解不等式的一大障礙。因此 如何去掉絕對值符號使其轉(zhuǎn)化為等價(jià)的不含絕對值符號的不等式是解決這類問題的關(guān)鍵， 常 采取劃分區(qū)間逐段討論， 從而去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為一般不等式， 或利用絕對值表達(dá)的幾何 意義轉(zhuǎn)化為圖像或曲線為解決。幾種主要的類型22|f(x)|g(x)| f 2(x)g 2(x)|f(x)|g(x) f(x)g(x) 或 f(x)-g(x)|f(x)| -g(x)

3、|b|(2) |a+b|a|+|b|取等號a,b同號(3) |a|-|b| |a-b|取等號a,b同號且 |a|b|(4) |a-b| |a|+|b|取等號a,b異號典型例題注意絕對值的定義，用公式法即若 a 0，|x| a，則 a x a；若 a 0，|x| a，則 x a或 xa。1 解不等式 |2x 3| 3x 1解析】由題意知 3x 1 0 ，原不等式轉(zhuǎn)化為(3x 1) 2x 3 3x 12x,5x 4,2x 3 3x 1,2x 3 3x 1,3x 1 0. 注意絕對值的非負(fù)性，用平方法題目中兩邊都是非負(fù)值才能用平方法， 否則不能用平方法， 在操作過程中用到 |x|2 x2 。2. 解

4、不等式 |x 1| |2x 3|兩邊都含絕對值符號，所以都是非負(fù)，故可用平方法?！窘馕觥吭坏仁?|x 1|2 |2x 3|2 (x 1) 2 (2x 3) 2 (2x 3) 2 (x 1)2 04解得 x 2或 x3故原不等式的解集為 x|x 2或x43. 注意分類討論，用零點(diǎn)分段法不等式的一側(cè)是兩個或兩個以上的絕對值符號，常用零點(diǎn)法去絕對值并求解。3. 解不等式 |x 2| |x 1| 3解析】利用絕對值的定義，分段討論去絕對值符號，令x 1 0 和 x 2 0 得分界點(diǎn) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark31 o Current Document x 1

5、、 x22 x 1,于是，可分區(qū)間 ( ， 2), 2，1，1, ) 討論原不等式(x 2) (x 1) 3 x 2 (x 1) 3 x 2 (x 1) 3 HYPERLINK l bookmark37 o Current Document 解得 x 1或x2 HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 綜上不等式的解為 x ( ， 2) (1，). 平方法 +定義法有些題目平方之后仍有一個絕對值號， 需要用定義去絕對值符號求解， 這種方法叫 “平 方法 +定義法”。4. 解關(guān)于 x 的不等式 |loga ax2| |loga x| 2【解析】11化 為

6、 |1 2l o agx| |l o agx| 2 后 ， 通 常 分 l o agx2 ， 2 l o agx 0 ，loga x 0 三種情況去絕對值符號，再分 a 1或0 a 1進(jìn)行討論，這樣做過程冗長，極 易出錯。改變一下操作程序，思路將十分清晰，過程也簡潔得多，即原不等式兩邊平方得 4(log a x)2 4loga x 1 (loga x)2 4|loga x| 4。再由定義去絕對值號，有：loga x 0,(1)a 2 0 loga x 1 ；(loga x)2 1log a x 0,（2）2 3 log a x 0。3log a2 x 8loga x 3 0綜上知 3 loga

7、 x 1故當(dāng) a 1時，解為 a 3 x a ；當(dāng) 0 a 1時，解為 a x a 3 5不等式 |8 3x| 0 的解集是 ABR88Cx|x 3D 3分析 |8 3x| 0，8 3x 0，即 x 83答 選 C6絕對值大于 2 且不大于 5 的最小整數(shù)是 A3B2C 2D 5分析 列出不等式解 根據(jù)題意得 2|x| 5從而 5x 2 或 2 x 5，其中最小整數(shù)為 5，答 選 D7 不等式 4 |1 3x| 7的解集為 分析 利用所學(xué)知識對不等式實(shí)施同解變形【解析】原不等式可化為 4|3x1|7，即 4 3x 17 或7583x14解之得 53x 83或2x1，即所求不等式解集為335x|

8、 2x1或 3x8已知集合 A x|2 |62x| 5，xN，求 A 分析 轉(zhuǎn)化為解絕對值不等式【解析】2|62x|5 可化為2 |2x 6| 552x 62或2x62，即 1 2x 8或2x 4，11 1 解之得 4x 或 x 222因?yàn)?x N，所以 A 0，1， 5說明：注意元素的限制條件9解不等式 |x 5| |2x 3|1分析 設(shè)法去掉絕對值是主要解題策略，可以根據(jù)絕對值的意義分【解析】3區(qū)間討論，事實(shí)上，由于 x5時，|x5|0，x 2 時|2x3|03所以我們可以通過，5將 x軸分成三段分別討論23解 當(dāng)x 2 時， x 5 0， 2x 3 0所以不等式轉(zhuǎn)化為 （x5）（2x3）

9、1，得 x 7，所以 x 7；3當(dāng) x 5時，同理不等式化為2（x5）（2x3） 3 ，所以 3 5 時，原不等式可化為x 5 （2x 3） 9，所以 x51綜上所述得原不等式的解集為x|x 3或x |2x 3|分析 本題也可采取前一題的方法：采取用零點(diǎn)分區(qū)間討論去掉絕對值，但這樣比較復(fù)雜如果采取兩邊平方，即根據(jù) |a|b| a2b2 解之，則更顯得流暢，簡捷【解析】原不等式同解于（2x 1）2（2x3）2，即 4x24x 14x2 12x9，即 8x 8，得 x 1所以原不等式的解集為 x|x 1說明：本題中，如果把 2x當(dāng)作數(shù)軸上的動坐標(biāo)，則 |2x 1| |2x 3|表示 2x 到 1 的距離大于 2x 到 3 的距離，則 2x 應(yīng)當(dāng)在 2 的右邊，從而 2x 2 即 x1說明：本題實(shí)際上是利用端點(diǎn)的位置關(guān)系構(gòu)造新不等式組11解關(guān)于 x 的不等式 |2x 1| 2m 1（m R）分析 分類討論1解 若 2m 1 0即m ，則 |2x1| 0即m ，則 （2m 1） 2x 1 2m 1，所以 1m2x 21 時，原不