投資分析Black-Scholes期權(quán)定價模型(PPT-59頁)課件

1、投資學(xué) 第13章投資分析（4）：Black-Scholes 期權(quán)定價模型概 述Black、Scholes和Merton發(fā)現(xiàn)了看漲期權(quán)定價公式，Scholes和Merton也因此獲得1997年的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎模型基本假設(shè)8個無風(fēng)險利率已知，且為一個常數(shù)，不隨時間變化。標(biāo)的股票不支付紅利期權(quán)為歐式期權(quán)2022/7/212無交易費用：股票市場、期權(quán)市場、資金借貸市場投資者可以自由借貸資金，且二者利率相等，均為無風(fēng)險利率股票交易無限細(xì)分，投資者可以購買任意數(shù)量的標(biāo)的股票對賣空沒有任何限制標(biāo)的資產(chǎn)為股票，其價格S的變化為幾何布朗運動2022/7/213B-S模型證明思路ITO引理ITO過程B-S微分方程

2、B-S買權(quán)定價公式2022/7/21413.1 維納過程根據(jù)有效市場理論，股價、利率和匯率具有隨機游走性，這種特性可以采用Wiener process，它是Markov stochastic process的一種。對于隨機變量w是Wiener process，必須具有兩個條件：在某一小段時間t內(nèi)，它的變動w與時段滿足t2022/7/215（13.1）2. 在兩個不重疊的時段t和s, wt和ws是獨立的，這個條件也是Markov過程的條件，即增量獨立?。?3.2）有效市場2022/7/216滿足上述兩個條件的隨機過程，稱為維納過程，其性質(zhì)有當(dāng)時段的長度放大到T時（從現(xiàn)在的0時刻到未來的T時刻）隨

3、機變量wt的滿足2022/7/217證明：2022/7/218在連續(xù)時間下，由（13.1）和（13.2）得到（13.3）（13.4）所以， 概率分布的性質(zhì)以上得到的隨機過程，稱為維納過程。2022/7/21913.2 ITO定理一般維納過程(Generalized Wiener process)可表示為（13.5）顯然，一般維納過程的性質(zhì)為2022/7/2110一般維納過程仍不足以代表隨機變量復(fù)雜的變動特征。漂移率和方差率為常數(shù)不恰當(dāng)若把變量xt的漂移率a和方差率b當(dāng)作變量x和時間t的函數(shù)，擴展后得到的即為ITO過程2022/7/2111B-S 期權(quán)定價模型是根據(jù)ITO過程的特例幾何布朗運動來

4、代表股價的波動省略下標(biāo)t，變換后得到幾何布朗運動方程（13.6）證券的預(yù)期回報與其價格無關(guān)。2022/7/2112ITO定理：假設(shè)某隨機變量x的變動過程可由ITO過程表示為（省略下標(biāo)t）令f(x,t)為隨機變量x以及時間t的函數(shù)，即f(x,t)可以代表以標(biāo)的資產(chǎn)x的衍生證券的價格，則f(x,t)的價格變動過程可以表示為（13.7）2022/7/2113證明：將（13.7）離散化由（13.1）知利用泰勒展開，忽略高階段項，f(x,t)可以展開為（13.8）2022/7/2114在連續(xù)時間下，即因此，（13.8）可以改寫為（13.9）從而2022/7/2115即x2不呈現(xiàn)隨機波動?。?3.10）2

5、022/7/2116由（13.10）可得（13.11）由（13.11）得到（13.12）2022/7/2117 由于x2不呈現(xiàn)隨機波動，所以，其期望值就收斂為真實值，即當(dāng)t0時，由（13.9）可得2022/7/211813.3 B-S微分方程假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格變動過程滿足這里S為標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前的價格，令f(s,t)代表衍生證券的價格，則f(x,t)的價格變動過程可由ITO引理近似為2022/7/2119假設(shè)某投資者以份的標(biāo)的資產(chǎn)多頭和1個單位的衍生證券空頭來構(gòu)造一個組合，且滿足則該組合的收益為2022/7/2120下面將證明該組合為無風(fēng)險組合，在t時間區(qū)間內(nèi)收益為2022/7/2121注意到此時不

6、含有隨機項w，這意味著該組合是無風(fēng)險的，設(shè)無風(fēng)險收益率為r，且由于t較?。ú徊捎眠B續(xù)復(fù)利），則整理得到2022/7/2122B-S微分方程的意義衍生證券的價格f，只與當(dāng)前的市價S，時間t，證券價格波動率和無風(fēng)險利率r有關(guān)，它們?nèi)际强陀^變量。因此，無論投資者的風(fēng)險偏好如何，都不會對f的值產(chǎn)生影響。在對衍生證券定價時，可以采用風(fēng)險中性定價，即所有證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險利率r。只要標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運動，都可以采用B-S微分方程求出價格f。2022/7/2123若股票價格服從幾何布朗運動設(shè)當(dāng)前時刻為t，則T時刻股票價格滿足對數(shù)正態(tài)分布，即13.4 幾何布朗運動與對數(shù)正態(tài)分布2022/7/2

7、124令則這樣由伊藤引理得到即2022/7/2125由（13.1）2022/7/2126則稱ST服從對數(shù)正態(tài)分布，其期望值為所以2022/7/212713.5 B-S買權(quán)定價公式 對于歐式不支付紅利的股票期權(quán)，其看漲期權(quán)（買權(quán)）的在定價日t的定價公式為2022/7/2128（1）設(shè)當(dāng)前時刻為t，到期時刻T，若股票價格服從幾何布朗運動，若已經(jīng)當(dāng)前時刻t的股票價格為St,則T時刻的股票價格的期望值為B-S買權(quán)定價公式推導(dǎo)（13.13）2022/7/2129（13.14）由（13.13）和（13.14）得到（13.15）根據(jù)B-S微分方程可知，定價是在風(fēng)險中性條件下，則資產(chǎn)的期望回報為無風(fēng)險回報，則

8、這表明：在風(fēng)險中性的世界中，任何可交易的金融資產(chǎn)的回報率均為無風(fēng)險利率。2022/7/2130（2）在風(fēng)險中性的條件下，任何資產(chǎn)的貼現(xiàn)率為無風(fēng)險利率r，故買權(quán)期望值的現(xiàn)值為（13.16）2022/7/2131由于ST服從對數(shù)正態(tài)分布，其pdf為（13.17）第1項第2項將由(13.16)得到2022/7/2132（3）化簡（13.17）中的第1、2項，先化簡第1項（13.18）當(dāng)前時刻價格，不是變量2022/7/2133（13.19）2022/7/2134 將（13.19）與（13.18）內(nèi)的第2個指數(shù)項合并，即（13.20）2022/7/2135將（13.20）代入（13.18）下面，將利用

9、變量代換來簡化（13.21），不妨令（13.21）2022/7/21362022/7/2137y的積分下限為y的積分上限為2022/7/2138將dy與y代入（13.21），即有這樣就完成了第1項的證明。（13.22）2022/7/2139下面證明B-S公式中的第2項，首先進行變量代換，令2022/7/2140則z的積分下限z的積分上限2022/7/2141將z和dz代入（13.23）2022/7/2142則由（13.22）和（13.23）得到其中2022/7/2143pr0dN(d)例如:當(dāng)d1.96時,N(d)913.5%2022/7/2144B-S買權(quán)公式的意義N(d2)是在風(fēng)險中性世界

10、中ST大于X的概率，或者說式歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率。 e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。 2022/7/2145其次， 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價值。假設(shè)兩個N(d)均為1，看漲期權(quán)價值為St-Xe-rT，則沒有不確定性。如果確實執(zhí)行了，我們就獲得了以St為現(xiàn)價的股票的所有權(quán)，而承擔(dān)了現(xiàn)值Xe-rT的債務(wù)。期權(quán)的價值關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)的價格及其方差，以及到期時間等5個變量的非線性函數(shù)Ct=f(St,X,r)的函

11、數(shù)，具有如下性質(zhì)2022/7/2146FactorEffect on valueStock price increasesExercise price decreasesVolatility of stock price increasesTime to expirationincreasesInterest rate increasesDividend RatedecreasesFactors Influencing Option Values: CallsSo = 100X = 95r = 0.10T = 0.25 (quarter)= 0.50d1 = ln(100/95) + (0.1

12、0+(05 2/2) / (050.251/2) = 0.43 d2 = 0.43 + (050.251/2) =0.18N (0.43) = 0.6664， N (0.18) =0 .5714Call Option Example2022/7/2148Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)Co = 100 X .6664 - 95 e- .10 X .25 X .5714 Co = 13.70P = Xe-rT 1-N(d2) - S0 1-N(d1)Call Option Value2022/7/214913.6 看跌期權(quán)的定價利用金融工程的原理來看待期權(quán)平價關(guān)系考慮如下兩個組

13、合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為 的現(xiàn)金組合B：一份有效期和協(xié)議價格與看漲期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)2022/7/2150組合A到期時刻T的收益組合B到期時刻T的收益兩個組合具有相同的價格，且由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行，則在t時刻兩個組合價值相等，否則就有套利，即此為看漲看跌期權(quán)平價公式。2022/7/2151從幾何圖性上看，二者對影響期權(quán)的關(guān)鍵指標(biāo)都進行了負(fù)向變換，是關(guān)于縱向?qū)ΨQ的。2022/7/2152標(biāo)的資產(chǎn)價格期權(quán)價值2022/7/215313.7 有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（StI）代替B-S公式中的St當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連

14、續(xù)復(fù)利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將2022/7/2154對于歐式期貨期權(quán)，其定價公式為其中：F為到期日期貨的價格，即付出X，得到一個價值為F的期貨2022/7/2155根據(jù)泰勒公式對期權(quán)價格進行二階展開，忽略高階項DeltaThetaVegaRhoGamma13.8 B-S公式的邊際分析2022/7/2156命題：歐式看漲期權(quán)的Delta=N(d1)2022/7/21572022/7/2158利用Delta進行套期保值某人出售10份看漲期權(quán)并且持有6股股票，根據(jù)0.6的套期比率，股票價格每升高1美元，股票的收益增加6美元，同時看漲期權(quán)則損失100 . 6美元，即6美元?？梢姽善?/p>

15、價格的變動沒有引起總財富的變動，這就使頭寸得到了套期保值。Delta 對沖=對沖比。2022/7/2159（第14講）考場作文開拓文路能力分解層次(網(wǎng)友來稿)江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué) 陳乃香說明：本系列稿共24講，20XX年1月6日開始在資源上連載【要義解說】文章主旨確立以后，就應(yīng)該恰當(dāng)?shù)胤纸鈱哟?，使幾個層次構(gòu)成一個有機的整體，形成一篇完整的文章。如何分解層次主要取決于表現(xiàn)主旨的需要?！静呗越庾x】一般說來，記人敘事的文章常按時間順序分解層次，寫景狀物的文章常按時間順序、空間順序分解層次；說明文根據(jù)說明對象的特點，可按時間順序、空間順序或邏輯順序分解層次；議論文主要根據(jù)“提出問題分析問題解決問題”順序來分

16、解層次。當(dāng)然，分解層次不是一層不變的固定模式，而應(yīng)該富于變化。文章的層次，也常常有些外在的形式：1小標(biāo)題式。即圍繞話題把一篇文章劃分為幾個相對獨立的部分，再給它們加上一個簡潔、恰當(dāng)?shù)男?biāo)題。如世界改變了模樣四個小標(biāo)題：壽命變“長”了、世界變“小”了、勞動變“輕”了、文明變“綠”了。 2序號式。序號式作文與小標(biāo)題作文有相同的特點。序號可以是“一、二、三”，可以是“A、B、C”，也可以是“甲、乙、丙”從全文看，序號式干凈、明快；但從題目上看，卻看不出文章內(nèi)容，只是標(biāo)明了層次與部分。有時序號式作文，也適用于敘述性文章，為故事情節(jié)的展開，提供了明晰的層次。 3總分式。如高考佳作人生也是一張答卷。開頭：

17、“人生就是一張答卷。它上面有選擇題、填空題、判斷題和問答題，但它又不同于一般的答卷。一般的答卷用手來書寫，人生的答卷卻要用行動來書寫。”主體部分每段首句分別為：選擇題是對人生進行正確的取舍，填空題是充實自己的人生，判斷題是表明自己的人生態(tài)度，問答題是考驗自己解決問題的能力。這份“試卷”設(shè)計得合理而且實在，每個人的人生都是不同的，這就意味著這份人生試卷的“答案是豐富多彩的”。分解層次，應(yīng)追求作文美學(xué)的三個價值取向：一要勻稱美。什么材料在前，什么材料在后，要合理安排；什么材料詳寫，什么材料略寫，要通盤考慮。自然段是構(gòu)成文章的基本單位，恰當(dāng)劃分自然段，自然就成為分解層次的基本要求。該分段處就分段，不

18、要老是開頭、正文、結(jié)尾“三段式”，這種老套的層次顯得呆板。二要波瀾美。文章內(nèi)容應(yīng)該有張有弛，有起有伏，如波如瀾。只有這樣才能使文章起伏錯落，一波三折，吸引讀者。三要圓合美。文章的開頭與結(jié)尾要遙相照應(yīng)，把開頭描寫的事物或提出的問題，在結(jié)尾處用各種方式加以深化或回答，給人首尾圓合的感覺。【例文解剖】 話題：忙忙，不亦樂乎 忙，是人生中一個個步驟，每個人所忙的事務(wù)不同，但是不能是碌碌無為地白忙，要忙就忙得精彩，忙得不亦樂乎。 忙是問號。忙看似簡單，但其中卻大有學(xué)問。忙是人生中不可缺少的一部分，但是怎么才能忙出精彩，忙得不亦樂乎，卻并不簡單。人生如同一張地圖，我們一直在自己的地圖上行走，時不時我們眼前

19、就出現(xiàn)一個十字路口，我們該向哪兒，面對那縱軸橫軸相交的十字路口，我們該怎樣選擇?不急，靜下心來分析一下，選擇適合自己的坐標(biāo)軸才是最重要的。忙就是如此，選擇自己該忙的才能忙得有意義。忙是問號，這個問號一直提醒我們要忙得有意義，忙得不亦樂乎。 忙是省略號。四季在有規(guī)律地進行著冷暖交替，大自然就一直按照這樣的規(guī)律不停地忙，人們亦如此。為自己找一個目標(biāo)，為目標(biāo)而不停地忙，讓這種忙一直忙下去。當(dāng)目標(biāo)已達成，那么再找一個目標(biāo)，繼續(xù)這樣忙，就像省略號一樣，毫無休止地忙下去，翻開歷史的長卷，我們看到牛頓在忙著他的實驗；愛迪生在忙著思考；徐霞客在忙著記載游玩；李時珍在忙著編寫本草綱目。再看那位以筆為刀槍的充滿著

20、朝氣與力量的文學(xué)泰斗魯迅，他正忙著用他獨有的刀和槍在不停地奮斗。忙是省略號，確定了一個目標(biāo)那么就一直忙下去吧!這樣的忙一定會忙出生命靈動的色彩。 忙是驚嘆號。世界上的人都在忙著自己的事，大自然亦如此，小蜜蜂在忙，以蜂蜜為回報。那么人呢?居里夫人的忙，以放射性元素的發(fā)現(xiàn)而得到了圓滿的休止符；愛因斯坦在忙，以相對論的問世而畫上了驚嘆號；李白的忙，以那豪放的詩歌而有了很大的成功；張衡的忙，因為那地動儀的問世而讓世人仰慕。每個人都應(yīng)該有效率的忙，而不是整天碌碌無為地白忙。人生是有限的、短暫的，因此，每個人都應(yīng)該在有限的生命里忙出屬于他的驚嘆號；都應(yīng)在有限的生命里忙出他的人生精彩篇章。 忙是萬物、世界、人生中都不可缺少的一部分。作為這世上最高級動物的我們，我們在忙什么呢?我們要忙得有意義，有價值，我們要忙出屬于我們的精彩。我們的忙不能永遠(yuǎn)是問號，而應(yīng)是省略號和感嘆號。忙就要忙得精彩，忙得不亦樂乎。 解剖：本文將生活中的一句口頭禪“忙得不亦樂乎”機智翻新，擬作標(biāo)題，亮出一道美麗的風(fēng)景。并據(jù)此展開述說，讓人神清氣爽。文章開篇扣題，亮出觀點：忙，是人生中一個個步驟，不能碌碌無為地白忙，要忙就忙得精彩，忙得不亦樂乎。然后，