《ch空間曲面》PPT課件(PPT 31頁)

1、一、曲面方程的概念二、三種特殊曲面三、二次曲面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 10.4 空間曲面 第十章 第1頁，共31頁。一、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離化簡得即引例:解:設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為的點(diǎn)的軌跡方程. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁，共31頁。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明: 動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段 AB 的垂直平分面.顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程, 不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.第3頁，共31頁。定義1. 如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:(1) 曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此

2、方程;則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形.(2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁，共31頁。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩個(gè)基本問題 :(1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),求曲面方程.(2) 已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何形狀( 必要時(shí)需作圖 ). 第5頁，共31頁。故所求方程為例1. 求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的軌跡方程. 特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解: 設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為 R表示上(下)球面 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁

3、，共31頁。例2. 研究方程解: 配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面. 表示怎樣半徑為的球面.球心為 一個(gè)球面, 或點(diǎn), 或虛軌跡.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁，共31頁。定義2. 一條平面曲線二、三種特殊曲面 繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為中心軸 .例如 :機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 A. 旋轉(zhuǎn)曲面這條平面曲線在旋轉(zhuǎn)過程中任一時(shí)刻的位置都稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線。第8頁，共31頁。建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若

4、點(diǎn)給定 yoz 面上曲線 C: 則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁，共31頁。思考：當(dāng)曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由此可知，以 z (或 y 或 x) 軸為中心軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程可表示為(或 或 第10頁，共31頁。例3. 求坐標(biāo)面 xoz 上的雙曲線分別繞 x軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解:繞 x 軸旋轉(zhuǎn)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁，共31頁。B.柱面引例. 分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標(biāo)也滿足方程解:在 xoy 面上，表

5、示圓C, 過此點(diǎn)作對(duì)任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,在圓C上任取一點(diǎn) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁，共31頁。沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的故在空間曲面稱為圓柱面.表示圓柱面其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁，共31頁。定義3.平行定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 l 形成的軌跡叫做柱面. 表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面.z 軸的平面.表示母線平行于 (且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做準(zhǔn)線, l 叫做母線.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁，共31頁。一

6、般地,在三維空間柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線 l1.母線準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線 l2. 母線機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁，共31頁。C. 錐面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁，共31頁。例4. 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為的圓錐面方程. 解: 在yoz面上直線L 的方程為繞z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁，共31頁。三、二次曲面三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅 就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型

7、的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面. (二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁，共31頁。1. 橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁，共31頁。與的交線為橢圓：(4) 當(dāng) ab 時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)abc 時(shí)為球面.(3) 截痕:為正數(shù))機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁，共31頁。2、雙曲面（1）. 單葉雙曲面橢圓.時(shí), 截痕為平面 上的截痕情況:雙曲線: oyzx時(shí), 截痕為相交直線: 第21頁

8、，共31頁。(2).雙葉雙曲面雙曲線橢圓雙曲線第22頁，共31頁。2. 雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時(shí), 截痕為(實(shí)軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）平面 上的截痕情況:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 雙曲線: 第23頁，共31頁。虛軸平行于x 軸）時(shí), 截痕為時(shí), 截痕為(實(shí)軸平行于z 軸;機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 相交直線: 雙曲線: 第24頁，共31頁。(2) 雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面P18 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第25頁，共31頁。3. 拋物面（1）. 橢圓拋物面( p , q 同號(hào))特別,當(dāng) p = q

9、時(shí)為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.oyzx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第26頁，共31頁。（2）雙曲拋物面（鞍形曲面）( p , q 異號(hào))用截痕法討論：設(shè)1) 用坐標(biāo)面均可得拋物線.與曲面相截xyzo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第27頁，共31頁。2) 用坐標(biāo)面與曲面相截均可得拋物線.3) 用與曲面相截可得雙曲線.與曲面相截可得兩條直線.用坐標(biāo)面xyzoxyzo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第28頁，共31頁。內(nèi)容小結(jié) 1.空間曲面三元方程 球面 旋轉(zhuǎn)曲面如, 曲線繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面: 柱面如,曲面表示母線平行 z 軸的柱面.又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第29頁，共31頁。2. 二次曲面三元二次方程 橢球面 拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面 雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面 橢圓錐面: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返