大學(xué)課件數(shù)學(xué)-極限

1、大學(xué)課件數(shù)學(xué)-極限 極限是以發(fā)展的眼光分析事物(變量)的變化規(guī)律,通過(guò)極限我們可以深入到函數(shù)的局部去了解函數(shù),并且體會(huì)如何在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中把握變化的事物,從而深化對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)。1.3.1 數(shù)列的極限(limit of sequence)數(shù)列的定義： 按照一定規(guī)律有次序排列的無(wú)窮多個(gè)數(shù)稱為數(shù)列。記作稱為通項(xiàng)(一般項(xiàng)) . 數(shù)列的極限 數(shù)列極限的定義，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下。 中國(guó)古代的極限思想：“一尺之椎，日取其半，萬(wàn)世不竭。”考察當(dāng)n+時(shí)，通項(xiàng)xn的變化趨勢(shì)。數(shù)列極限的實(shí)質(zhì)：例如,趨勢(shì)不定數(shù)列數(shù)列當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限變大時(shí)的極限定義：數(shù)列的各項(xiàng)數(shù)值向一個(gè)常數(shù)無(wú)限靠近，則稱常數(shù)為該數(shù)列的極限。記作或 如果一

2、個(gè)數(shù)列的極限存在,則稱該數(shù)列是收斂(converge)； 如果一個(gè)數(shù)列的極限不存在,則稱該數(shù)列是發(fā)散(diverge)。常數(shù) 0 稱為此數(shù)列的極限記作：例如,收 斂趨勢(shì)不定發(fā) 散記作：例1. 已知證明證:時(shí)，可以無(wú)限變小故函數(shù)隨著自變量的變化而變化,研究函數(shù)的極限,就是研究當(dāng)自變量按照某種方式變化時(shí)所對(duì)應(yīng)的1.3.2函數(shù)的極限(limit of function)函數(shù)值的變化趨勢(shì)。二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限自變量變化過(guò)程的六種形式:一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容 :1. 時(shí),函數(shù)f(x)的極限定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在 x大于某個(gè)正數(shù)a時(shí)有定義,A是某確定常數(shù),如果當(dāng)自變量x

3、趨于 時(shí)，f(x)與A的距離任意小,則稱函數(shù)f(x)在 時(shí)以A為極限，1. 時(shí),函數(shù)f(x)的極限記為指數(shù)函數(shù)如例如. 同理:正弦函數(shù)余弦函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)2. 時(shí),函數(shù)f(x)的極限定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某空心鄰域內(nèi)有定義，A是某確定常數(shù)，如果當(dāng)自變量x趨近于x0時(shí)，f(x)與A的距離任意小,則稱函數(shù)f(x)在x趨于x0時(shí)以A為極限，2. 時(shí),函數(shù)f(x)的極限記為正弦函數(shù)余弦函數(shù) 可以證明：以下的極限均成立3.單側(cè)極限- 左極限與右極限左極限 :如果當(dāng) 從的左側(cè)無(wú)限趨近時(shí),記著函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A, 則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)時(shí)的左極限。記作類似可定義右極限 :函數(shù)的左

4、極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。對(duì)數(shù)函數(shù)例如：定理1.1：當(dāng) 時(shí),函數(shù) 極限存在的充要條件是左、右極限存在且相等，即例6. 設(shè)函數(shù)討論 時(shí)的極限是否存在 . 解: 利用定理 因?yàn)轱@然所以不存在 .例7 問(wèn)a為何值時(shí),所給函數(shù)x=2處極限存在。解：左極限右極限欲函數(shù)在x=2處極限存在，必須左極限等于右極限，即a=8思考：1)研究函數(shù)極限時(shí),是否要考慮f(x)在x=x0時(shí)的性態(tài)？為什么？2)若f (x0+0)和f (x0-0)都存在,當(dāng)x趨于x0時(shí),f(x)的極限存在嗎？3)如何利用f (x0+0)和f (x0-0)來(lái)判斷當(dāng)x趨于x0 時(shí),f(x)的極限不存在？4)若極限是否一定有？常用的極限結(jié)果：極限不存在的有：練習(xí)：設(shè)求：作業(yè)NO.13:(3