第三章有限元法基礎通常將有限元法分為兩大類變分法和加權余量法

1、 第三章有限元法基礎通常將有限元法分為兩大類：變分法和加權余量法。兩種方法的出發(fā)點不同, 但最后都歸結為：離散化：用若干個子區(qū)域（即單元）代替整個連續(xù)區(qū)域， 算子解析方程，即偏微分方程轉化為代數(shù)方程組：區(qū)域的物理性質可以用節(jié)點上 有限個自由度來描述，再應用離散系統(tǒng)分析方法將其匯集在一起。 3-1算子方程及變分原理3.1.1算子的概念（1）靜電場中，泊松方程、；- - 可以寫為L =二，其中L -八稱為算子1（2） 穩(wěn)態(tài)磁場中，雙旋度方程丄i A = J = LA二J11其中算子是L八A（3） 時變場中，波動方程：、 - k2H二八 J = LH二八 J1 其中算子L _ 八 -k2 ,-二3.

2、1.2泛函1、泛函的概念泛函是函數(shù)空間H中，函數(shù)到數(shù)的映像，女口y x有一個I值與之對應,lx = Iy x 1 也可以說泛函是函數(shù)的函數(shù)，函數(shù)空間中的某一函數(shù) 變量I就是D空間的函數(shù)y x的泛函。 例如求y x所表示的曲線長度及所圍面積。曲線長度I+ dx為ya丿曲線所圍面積 Iy x I X2 y x dx*x1不同的y x ,有不同的I與之對應，不同的圖3-1求曲線長度及所圍面積i y x構成了函數(shù)空間耳2、泛函連續(xù)若對于y x的微小改變，有泛函I ly x 1的微小改變與之對應，就稱泛函是連 續(xù)的。3、線性泛函若泛函滿足 I by x 1二cly x丨c 為常數(shù)或I 虬 X 丫2 X

3、I - I M X 丨 I 儀2 x 1則稱其為線性泛函。4、函數(shù)的變分、號泛函Iy x 的宗量y x的變分；y是y x的微小增量y 二 y x - yi x5、泛函的變分I對于宗量y x的變分y，泛函的增量為I = Iy x、y-Iy x 1 =、I 、2I、31二 Lyx 廠 y 丨oyx ,、y 1式中，Lyx,y是對y的線性泛函，是I的主要部分，稱為一階（或一次）變 分I = Ly x ,、y Io Ly x , y】是誤差項。y與dy的區(qū)別：當自變量x的增量3 = X - Xi充分小時，可用dx來表示，dx稱為x的微分 相應地，函數(shù)y的增量=y = y x =x - y x 二 A

4、x Lx o上x當h充分小時，可用dy來表示，dy稱為y的微分，dy是x的變化引起的微分,是函數(shù)增量：y的線性主要部分A x :x，即可記為dy 二 A x dx 二 y x dx在泛函中，當宗量y x的增量足夠小，即有變分：.y時，泛函的增量二I = Iy x 、yI Ly x 丨-、I 、2| 丄心3| 二 Ly x 廠 y L：； oy x ,、y 1其中，L Iy x，:嗎1對;y而言為線性，稱為一階變分j.I。6泛函的極值設y二y* x時泛函取得極值，那么，泛函在極值函數(shù)y二y* x上的變分等于0, 即卩I =0當泛函是多元函數(shù)的泛函I ly X1,X2，Xn 1，泛函在y Xi,X

5、2，Xn上有極值 時，變分I =0。因此，泛函取得極值的必要條件是使變分I =0。3.1.3算子(微分、積分、矩陣方程)方程的變分原理各種類型電磁場的微分方程都可對應于 D空間中的算子方程Lu = f它可以轉化為與之等價的變分問題，即泛函求極值問題。定理：若L為正算子，而Lu = f在D上有解，則此解必然使泛函I(u )=2(Lu,u)(u,f)取極小值。反之，在 D上使泛函I取得極小值的函數(shù)，必是方程Lu = f的解。（證明略，參見顏威利電氣工程電磁場數(shù)值分析P24-25.也就是說，當L為正算子時，求解算子方程Lu = f的問題與求泛函的極小值 問題等價，即與泛函的變分問題等價。3.1.4算

6、子方程的泛函公式 1、靜態(tài)場11 u =2 Lu,u - u,f,；- - f對于靜電場和恒定磁場，泛函I有明確的物理意義，它代表場域中的總位能, 即當總位能最小時，場是穩(wěn)定的（湯姆遜定理），因此，對應于無界空間中的算 子方程的泛函形式應該為（1）泊松方程的變分公式泊松方程 為了得到正算子L，改寫上式對應的算子方程式中，L-八 入，若材料為均勻,；為常數(shù)。邊界條件:二 q1相應的泛函為IL. f有內(nèi)積的定義（在單元中可以認為 ；是常數(shù)）根據(jù)格林定理2 :尹門d一 .；d】泛函可以寫為11葉2 /但2I次丿 創(chuàng)）I也丿-9_q1 ：22-qd】21 砂血匚fPdO J訓一drG2 C n-腫 一

7、 f d一丄d：2 F n由于算子方程L f與變分；.I二0等價，最后一項是在泛函的H空間的邊界r上積分，因此，D空間（即u,x空間）邊界條件不能直接代入。應該將泛函的被積函數(shù)寫成D空間的積分形式，再代入邊界條件，即i .；：:因此泛函可以寫為丿丿i氐丿也可以寫成能量泛函22A jd泛函的一般表達式為,iI AA A d - A Jd 1 -根據(jù)矢量恒等式:二：A nd因此a b c =b c aA ： ： : A n - I A n A同上理由，邊界條件不能直接代入泛函，將被積函數(shù)寫成積分形式后再代入邊界條件，則有第三項1 1A 八 A n drA n A dr=卜g A5 %(f(XA q

8、2A dr1 1，A q A2=H-3泛函可以寫為I A = g 八 A A 一 .A Jd：； - ! f A2 一 qA d r也可寫成能量泛函形式11 A 二 Q- vBdQ、A JdQ ：爲入AqAdr2、簡諧時變場（現(xiàn)代計算電磁學基礎王長清）簡諧時變場分析中，場量可以用復數(shù)形式表示。泛函沒有明確的物理意義， 不是能量泛函。由于波動方程的算子都是自伴的，因此存在泛函。（1）標量波動方程設r為位函數(shù)或場分量，算子方程2L r 八 p 八：r 亠 k p r r 二 s r算子L.p r i k2p r，如果媒質是無耗的（p和k2為實數(shù)），且r滿足第一、第二類齊次邊界條件，那么 L是自伴的

9、，等價的變分問題的泛函為I=fs - s,=dv+（k2p闿 dv_ 3s*+*sdvI（申）=伙2屮_卩可旳2dv_2 0s* dv（上述推導利用了格林定理及第二類齊次邊界條件。）（2）矢量波動方程算子方程:刁：E -.k2E - - jJ若媒質是無耗的，在齊次邊界條件下，與算子方程等價的變分問題的泛函為I E = LE, E - E，-j J 一 - j J, E二 E *？ v E-k2 E dv-j E J * - E * J dvvv利用格林定理和矢量恒等式（細 xa Rxb_a 況dv=%可匯 b bV 乂 a nds利用齊次邊界條件I EE E *-、k2 E E * dv- p

10、 E J * - E * J dvVLV若媒質是有耗的（略）。如果邊界條件是非齊次的，所對應的算子是非自伴 的，可采用修正變分原理?？偨Y上述可以看到，只有算子是自伴算子（或是修正后的自伴算子），才有泛函的極值問題， 因此，不是所有微分方程都有其對應的泛函極值問題；泊松方程、拉普拉斯方程、波動方程一可用基于變分原理的FEM擴散方程、非簡諧波動方程一可用基于伽遼金法的FEM為什么要將微分方程定解問題轉化為變分問題微分方程定解問題要求解具有二階連續(xù)導數(shù)，而變分方程只要解的一階導數(shù) 平方積分即可，既引入變分是為了降低對解的光滑性要求， 使得一些原來不具備 連續(xù)二階導數(shù)的解的微分方程在變分意義上有可能存

11、在條件稍弱的解， 既擴大了 求解范圍。解微分方程定解問題時，第二、三類邊界條件是作為定解條件必須列出， 而在等價變分問題時，齊次的第二、三類邊界條件是自然滿足極值解的， 無需作 為定解條件列出，因此稱為自然邊界條件。第一類邊界條件必須作為定解條件列 出，因此稱為強加邊界條件。3.1.5基于變分原理（里茨（Rayleign-Ritz ）方法）的有限元離散方法以靜電場為例，暫不考慮邊界條件，泛函為(3-1)(3-2)I （半L右列可旳2 _ pd dv構造一個函數(shù)空間M， x,y,z為近似解，設為nx,y,z Ni x, y,z iT式中， i =1,2n是待定位函數(shù)值，即電位在節(jié)點上的值，Ni

12、i =1,2n是n個線性無關的已知坐標函數(shù)，因為它與節(jié)點的坐標有關，故稱為形狀函數(shù)， 或坐標函數(shù)，也稱為基函數(shù)。將式（3-2）代入（3-1）, 1（ ）成為卩/ 2嚴n）的多元函數(shù)也稱為里茨函數(shù)，多元函數(shù)取極值的條件是：I ；這樣，可以得到n個未知數(shù)的n階方程組，稱為Ritz方程組，解出 代入式（3-2），便可得到變分問題的近似解。以泊松方程的邊值問題為例-.0Lcn其等價變分問題為2dVD域內(nèi)DfMminn設近似解iNj，代入泛函后得到I二:“篤,n ,令對i的偏導數(shù)為i 4零，即求極值.:Ii = 1 , 2 , 3 ,n得到+ =V 2 i 2 dV-vfdV二八 、dV- f dVV廠

13、jV 廠jdV- f廣n遲毋jNj dV lj二丿I n=(瓦申畀叫 ENjdV-l fNidV lj m 丿可寫為即式中7 j、j蟲/ A Nj I NjdV- v fNidV =0：In1K廠 i j，j U-Fi =0na IK. jij二 Fj Tni 二 1,2,3,ni =1 , 2 ,3, n& = 刃NjdV ,Fi = . fNidV對換i,j的位置，Kj不變，表示剛度矩陣的對稱性KU =FLUjNjdV矩陣形式 解之，可得到離散解 3-2加權余量法3.2.1加權余量法設方程Lu = f的近似解為，那么方程的余量（即任一點的余量）為R u = L - f邊界余量Ru = B

14、u式中，第一類R-! =Uo 或八一q第三類點nu最佳的值應能使余量在D域內(nèi)所有的點上有最小值，如果D域內(nèi)有m個節(jié)點, 是這m個節(jié)點坐標的函數(shù)（若為子域：e是剖分單元節(jié)點坐標的函數(shù)），其中 有n個節(jié)點不受約束（即節(jié)點不在第一類邊界上），那么，要選擇n個不同的權 函數(shù)Wi，強使每一個權函數(shù)與余量的乘積在整個區(qū)域積分后為零仃二 d WiRdV 亠！-WjR d】=0i =1,2, nn個權函數(shù)線性無關，是完備函數(shù)系中線性獨立函數(shù)，這是某種平均意義下的誤 差為零。這樣，可以得到n個方程，從中解出。這就是加權余量法。n設近似解為 Ni x,y,z Uii =1式中，Ui為待求系數(shù)（函數(shù)值），Ni是一組

15、線性無關的直交基序列，那么（不考 慮邊界）DWiUj是節(jié)點上的值，與積分無關，提出積分號外n u j Dwi L Nj dV 二 d wi fdVi =1,2, n即或矩陣形式系數(shù)矩陣n Uj Wj 丄 Nj = Wi，f jn、UjKj 二 Fji = 1 ,2 nj4KU =F他丄小行(wL(N2F(wMNnjlW2,L(Ni(W2 ,L(N2) W2 丄(NnUliU2UnL(Wn 丄(NjWn 丄(N (Wn,L(Nn.注：（1）加權余量法可以用于微分方程，也可以用于積分方程，前者對整個定義 域剖分，后者只要對邊界及源區(qū)剖分。（2）選取不同的權函數(shù)，構成不同的計算方法，在微分方程中經(jīng)常

16、采用若權函數(shù)取為形狀函數(shù)，即 Wj =Nj，稱為伽遼金法；若權函數(shù)取為Dirac函數(shù)，即Wj，稱為點匹配法；若權函數(shù)取為1,即Wj =1，稱為子域配置法。（3）加權余量法不需要找到問題的泛函便可得到離散的代數(shù)方程組，因此 應用范圍更廣，使用更方便。（4）用加權余量法時，離散的代數(shù)方程組的系數(shù)陣不一定是對稱、稀疏。它取決于是用于微分方程，還是積分方程（如邊界積分方程）；權函數(shù)的選取。322伽遼金有限元法當權函數(shù)Wj二M時，可以得到對稱、稀疏系數(shù)矩陣，因此，廣泛用于有限元法中，稱為伽遼金有限元法。設近似解為 八 N ju jj由于基函數(shù)Ni是完備函數(shù)系，因此，方程的余量 Ru二L_f也是連續(xù)的，只

17、有當RU與完備函數(shù)系Wi中每一個元素正交時，內(nèi)積才為零DNiRdV =N，R=0i =1,2; ,n因此，伽遼金有限元法可以解釋為使方程余量正交于完備函數(shù)系的每一個函數(shù)?；瘮?shù)特性，”1i = jNi（Pj）c.i,j = 1,2；,n0 F J表明節(jié)點i處的余量R u =0 （因為在節(jié)點i處的Nj=1，若R u = 0，積分后也不i =1,2, ；n為零），其它地方余量很小。這樣保證了誤差限制在單元之內(nèi)。 重寫伽遼金公式:pNiRCT dV 二。比 L - f dV =0移項后d NiL dV 二。汕 f d Vi =1 ； 2 ； ；nNjuj代入上式，得到n uj N i L N i dVDJ呂二 N i fdVDi =1,2,n以泊松方程為例:=0：2n用伽遼金有限元法，設 = 7N j 1，則根據(jù)D NiL dV = qM fdV i = 1,2, ,nM (-可 B dV = J Nj f d V i = 1 , 2，,nt)bD由格林定理（降階連續(xù)性處理