微積分第九章課件

1、微 積 分（下冊(cè)）第九章 重積分二 重 積 分第一節(jié)二重積分的計(jì)算第二節(jié)三重積分第三節(jié)重積分的應(yīng)用第四節(jié)第九章 重積分重積分與定積分一樣，也是由實(shí)際問題的需要而產(chǎn)生的.定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分范圍是區(qū)間；而重積分的被積函數(shù)是二元函數(shù)或三元函數(shù)，積分范圍是平面或空間的一個(gè)區(qū)域.我們研究的是二重積分和三重積分，統(tǒng)稱為重積分.重積分和定積分雖然形式不同，但本質(zhì)是一樣的，都是一種和式的極限.我們?nèi)酝ㄟ^四步，即分割、近似、求和、取極限來建立二重積分和三重積分的概念，并研究它們的性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用.本章主要介紹重積分的概念、性質(zhì)及應(yīng)用，重點(diǎn)講解二重積分和三重積分的計(jì)算方法.二 重 積 分第 一節(jié)一、

2、二重積分的概念引例1設(shè)f(x,y)為定義在閉區(qū)域D上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).以曲面z=f(x,y)為頂，D為底的柱體稱為曲頂柱體(見圖9-1).下面討論如何計(jì)算曲頂柱體的體積.圖 9-1一、二重積分的概念分析若函數(shù)z=f(x,y)=常數(shù)，則上述曲頂柱體變?yōu)槠巾斨w，它的體積可用公式 體積=底面積高來計(jì)算.現(xiàn)在曲頂柱體的高是變化的，故不能用上述公式來求體積.回憶一下，求曲邊梯形面積的方法，這里可采用類似的方法來求曲頂柱體的體積，分為下列幾個(gè)步驟：(1)分割.將D分成n個(gè)小閉區(qū)域1,2,n(小區(qū)域的面積也用這些符號(hào)表示)，相應(yīng)地把曲頂柱體分割成n個(gè)以i為底的小曲頂柱體，每個(gè)小曲頂柱體的體積記為Vi(i=1

3、,2,n)，則曲頂柱體的體積一、二重積分的概念(2)近似.設(shè)i為小閉區(qū)域i的直徑(一個(gè)閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點(diǎn)距離的最大值)，當(dāng)i很小時(shí)，由于f(x,y)連續(xù)，f(x,y)在同一小閉區(qū)域內(nèi)變化很小，因此可將小曲頂柱體近似看作小平頂柱體，于是可用平頂柱體的體積公式來計(jì)算.在每個(gè)i中任取一點(diǎn)(i,i)，以f(i,i)為高而底為i的小曲頂柱體(見圖9-2)的體積為Vif(i,i)i(i=1,2,n).圖 9-2一、二重積分的概念(3)求和.這個(gè)曲頂柱體體積(4)取極限.設(shè)=max1,2,n，當(dāng)0時(shí)取上述和的極限，所得的極限便為曲頂柱體的體積V，即一、二重積分的概念引列2 設(shè)有一平面薄片占有xO

4、y面上的閉區(qū)域D,它的面密度為D上的連續(xù)函數(shù)(x,y),這里(x,y)0.計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.一、二重積分的概念分析若函數(shù)(x,y)=常數(shù)，則薄片的質(zhì)量可用公式 質(zhì)量=面密度面積來計(jì)算.現(xiàn)在面密度(x,y)是變化的，故不能用上述公式來求.這時(shí)仍可采用處理曲頂柱體體積的方法來求薄片的質(zhì)量.分為下列幾個(gè)步驟：(1)分割.將D分成n個(gè)小閉區(qū)域1,2,n(小區(qū)域的面積也用這些符號(hào)表示)，第i個(gè)小塊的質(zhì)量記為Mi(i=1,2,n)，則平面薄片的質(zhì)量一、二重積分的概念(2)近似.設(shè)i為小閉區(qū)域i的直徑，當(dāng)i很小時(shí)，由于(x,y)連續(xù)，(x,y)在同一小閉區(qū)域內(nèi)變化很小，因此這些小塊就可以近似地看作均勻分布

5、的.在每個(gè)i中任取一點(diǎn)(i,i)(見圖9-3),則Mi(i,i)i(i=1,2,n).圖 9-3一、二重積分的概念(3)求和.平面薄片的質(zhì)量(4)取極限.設(shè)=max1,2,n，當(dāng)0時(shí)取上述和的極限，所得的極限便為平面薄片的質(zhì)量M，即上面兩個(gè)實(shí)例的實(shí)際意義雖然不同，但解決問題的方法具有共性，最后都?xì)w結(jié)為同一形式的和的極限，把這種和式的極限抽象為二元函數(shù)在平面閉區(qū)域D上二重積分的定義.一、二重積分的概念定義1設(shè)z=f(x,y)是定義在有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，將D任意分成n個(gè)小區(qū)域 1,2,3,n.在每個(gè)小區(qū)域i內(nèi)任取一點(diǎn)(i,i)(i=1,2,n)，作和式 (9-1)一、二重積分的概念當(dāng)n無限增

6、大，各小區(qū)域中的最大直徑0時(shí)，不論區(qū)域D如何分割，也不論(i,i)如何選取，如果和式(9-1)的極限存在，則稱此極限為二元函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分，記作一、二重積分的概念一、二重積分的概念和式(9-1)的極限存在時(shí)，稱f(x,y)在區(qū)域D上是可積的.可以證明，如果函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)，則f(x,y)在區(qū)域D上一定是可積的.如果f(x,y)在區(qū)域D上是可積的，則和式(9-1)的極限存在，且與D的分法和點(diǎn)(i,i)的選取及積分變量用什么字母表示無關(guān)，其值只取決于被積函數(shù)和積分區(qū)域.注一、二重積分的概念因此，在直角坐標(biāo)系下，常用平行于x軸和y軸的兩組直線分割D，于是小區(qū)域的

7、面積為i=xjyk(i,j,k=1,2,n).在直角坐標(biāo)系中，面積微元記為d=dxdy.所以，在直角坐標(biāo)系中，二重積分可記為一、二重積分的概念當(dāng)被積函數(shù)z=f(x,y)0時(shí)，曲頂柱體在xOy面下方，因f(xi,yi)0，而當(dāng)被積函數(shù)z=f(x,y)0時(shí)，二重積分表示曲頂柱體的體積，即一、二重積分的概念取極限后依然小于或等于0，即故此時(shí)二重積分表示曲頂柱體體積的相反數(shù)，即一、二重積分的概念二、 二重積分的性質(zhì)二重積分與定積分具有相似的性質(zhì).下面假定f(x,y)在區(qū)域D上可積.這些性質(zhì)均可通過定義得到證明，請(qǐng)讀者自己練習(xí).二、 二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1常數(shù)因子可提到積分號(hào)外面二、 二重積分的性質(zhì)性質(zhì)2

8、函數(shù)和(差)的積分等于各積分的和(差)，即二、 二重積分的性質(zhì)性質(zhì)3(積分區(qū)域的可加性)如果積分區(qū)域D被一曲線分成D1,D2兩個(gè)區(qū)域，如圖9-4所示，則圖 9-4二、 二重積分的性質(zhì)性質(zhì)4(比較性質(zhì))如果在區(qū)域D上總有f(x,y)g(x,y)，則二、 二重積分的性質(zhì)性質(zhì)5如果在區(qū)域D上有f(x,y)1，A是D的面積，則二、 二重積分的性質(zhì)性質(zhì)6(估值性質(zhì))設(shè)M與m分別是z=f(x,y)在區(qū)域D上的最大值與最小值，A是D的面積，則二、 二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1(二重積分的中值定理)如果函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，A是D的面積，則在D內(nèi)至少存在一點(diǎn)(,)使得二、 二重積分的性質(zhì)證因?yàn)閒(x,y)

9、在閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(x,y)在閉區(qū)域D上一定存在最大值M和最小值m，有積分估值性可得二、 二重積分的性質(zhì) 二重積分的中值定理的幾何意義：在區(qū)域D上，以曲面f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積等于以區(qū)域D上某一點(diǎn)(,)的函數(shù)值f(,)為高的平頂柱體的體積.二、 二重積分的性質(zhì)【例1】二、 二重積分的性質(zhì)二、 二重積分的性質(zhì)【例2】二、 二重積分的性質(zhì)【例3】二、 二重積分的性質(zhì)二重積分的計(jì)算第 二 節(jié)第二節(jié) 二重積分的計(jì)算第一節(jié)討論了二重積分的概念，按照二重積分的定義來計(jì)算二重積分對(duì)少數(shù)特別簡(jiǎn)單的情況是可行的，但對(duì)一般的被積函數(shù)和積分區(qū)域來說，這不是一種切實(shí)有效的方法.為此，我們首先對(duì)曲頂柱體的

10、體積進(jìn)行分析，從而導(dǎo)出二重積分的計(jì)算方法，即把二重積分化為兩次定積分來計(jì)算，這種方法稱之為累次積分法.一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分利用二次積分計(jì)算二重積分1.先介紹X型區(qū)域和Y型區(qū)域.如果區(qū)域D是由直線x=a,x=b與曲線y=1(x),y=2(x)所圍成的(見圖9-5),即D=(x,y)|axb,1(x)y2(x)，其中函數(shù)1(x)，2(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，那么此區(qū)域稱為X區(qū)域.這種區(qū)域的特點(diǎn)是：穿過內(nèi)部且平行于y的直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩點(diǎn).圖 9-5一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分類似地，如果區(qū)域D=(x,y)|cyd,1(y)x2(y)，其中函數(shù)1(y)，2(y)在區(qū)間c,d

11、上連續(xù)，那么此區(qū)域稱為Y型區(qū)域(見圖9-6).這種區(qū)域的特點(diǎn)是：穿過內(nèi)部且平行于x的直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩點(diǎn).圖 9-6一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分假設(shè)積分區(qū)域?yàn)閄型區(qū)域，即D=(x,y)|axb,1(x)y2(x)，根據(jù)二重積分的幾何意義，當(dāng)f(x,y)0時(shí)，以曲面z=f(x,y)為頂?shù)那斨w(見圖9-7)的體積.下面利用第六章中計(jì)算“平行截面面積為已知的立體體積”的方法來求這個(gè)曲頂柱體的體積.圖 9-7一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分在區(qū)間a,b上任意取定一點(diǎn)x0，過x0作垂直于x軸的平面x=x0與曲頂柱體相交，截面是一個(gè)以區(qū)間1(x0),2(x0)為底，曲線z=f(x0,y)

12、為曲邊的曲邊梯形，因此，該截面的面積由于x0的任意性，過區(qū)間a,b上任意一點(diǎn)x，且垂直于x軸的平面與曲頂柱體相交得到的截面面積為一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分(9-2)由此可見，計(jì)算二重積分，可以化為計(jì)算兩次定積分，故又稱為二次積分.一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分類似地,若區(qū)域D為Y型區(qū)域,即D=x,y1(y)x2(y),cyd,則有(9-3)一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分如果積分區(qū)域既不是X型區(qū)域，又不是Y型區(qū)域，則可把D分成幾部分(見圖9-8)，使每個(gè)部分是X型區(qū)域或是Y型區(qū)域，每部分上的二重積分求得后，根據(jù)二重積分的性質(zhì)2，它們的和就是在D上的二重積分.圖 9-8一、 在直角坐標(biāo)系

13、下計(jì)算二重積分在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的步驟是：(1)畫出積分區(qū)域D的圖形，判斷是X型還是Y型區(qū)域.(2)確定二次積分的上、下限.若D為X型區(qū)域，則固定x后，過點(diǎn)x從下至上作y軸的平行線與區(qū)域D相交，該平行線與區(qū)域D的下方邊界的交點(diǎn)(即穿入點(diǎn))的縱坐標(biāo)值1(x)為積分下限；而該平行線與區(qū)域D的上方邊界的交點(diǎn)(即穿出點(diǎn))的縱坐標(biāo)值2(x)為積分上限.如果區(qū)域D的下方邊界(或上方邊界)不是由一個(gè)函數(shù)表達(dá)式表示，則需將區(qū)域D分成若干小區(qū)域，使每一小區(qū)域的下方邊界(或上方邊界)都由一個(gè)函數(shù)表達(dá)式表示.類似地，可以確定Y型區(qū)域的二次積分的上下限.(3)用式(9-2)或式(9-3)化二重積分為二次積分.

14、(4)計(jì)算二次積分的值.一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分【例4】圖 9-9一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分解法2如圖9-10所示，也可把D看成是Y型區(qū)域，即D可用不等式1y2,yx2來表示.圖 9-10一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分【例5】圖 9-11一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分【例7】圖 9-12一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分【例8】一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分圖 9-13一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分【例9】圖 9-14一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分若先對(duì)y積分，則需將D分為兩個(gè)區(qū)域D1和D2，顯然此式計(jì)算起來要麻煩得多(請(qǐng)讀者自己完成).由此可見，選擇合適的積分次序，對(duì)于

15、計(jì)算二重積分是至關(guān)重要的.一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分【例10】圖 9-15計(jì)算二重積分 D3xydxdy，其中區(qū)域D是由x=0，y=0及x2+y2=1所圍成的第一象限的圖形，如圖9-15所示.一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分【例11】圖 9-16一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分利用對(duì)稱性計(jì)算二重積分2.利用被積函數(shù)的奇偶性及積分區(qū)域D的對(duì)稱性，常會(huì)化簡(jiǎn)二重積分的計(jì)算.有關(guān)對(duì)稱性的結(jié)論為：(1)二重積分的奇偶對(duì)稱性.設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，若閉區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，則一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分(2)二重積分的輪

16、換對(duì)稱性.設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，若閉區(qū)域D中將x與y互換后，一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分【例12】一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分(2)用曲線y=x3將積分域D分成D1和D2兩部分(見圖9-17).顯然D1關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)(x,y)關(guān)于x是奇函數(shù)；D2關(guān)于x軸對(duì)稱，函數(shù)(x,y)關(guān)于y是奇函數(shù).故圖 9-17一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分有些積分在直角坐標(biāo)系下計(jì)算很困難，而積分區(qū)域邊界線用極坐標(biāo)表示較為簡(jiǎn)單.如本章開頭所提出的關(guān)于球的體積的計(jì)算公式推導(dǎo)，學(xué)習(xí)了定積分的幾何意義以后，我們已經(jīng)知道球的體積V=2DR2x2y2d，其中D:x2+y2R

17、2，該二重積分在直角坐標(biāo)系下計(jì)算極為麻煩(有興趣的讀者不妨試試)，而在極坐標(biāo)系下計(jì)算就很簡(jiǎn)單，為此我們推導(dǎo)極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算.二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分在平面解析幾何中我們知道，平面上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)(r,)與它的直角坐標(biāo)(x,y)的變換公式為x=rcos ，y=rsin ,其中r0,02或.下面介紹在極坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算公式.二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)，區(qū)域D的邊界曲線如圖9-18所示，r=r1()，r=r2()()，又設(shè)r1()與r2()在,上連續(xù).圖 9-18二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分在直角坐標(biāo)系中，我們用平行于x軸與y軸的兩簇直線劃分區(qū)域D

18、為一系列小矩形，與此類似，在極坐標(biāo)系中我們用一簇r為常數(shù)的同心圓和為常數(shù)的過極點(diǎn)的一簇射線束作劃分.將極角分別為與+的兩條射線和半徑分別為r與r+r的兩條圓弧所圍成的小區(qū)域記作，則(9-4)二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分計(jì)算極坐標(biāo)下的二重積分，也要化為累次積分.我們按下面三種情況予以說明.(1)極點(diǎn)O在區(qū)域D之外的情況，如圖9-19所示.這時(shí)區(qū)域D可表示為D=(r,)|,r1()rr2()圖 9-19二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分(2)極點(diǎn)O在區(qū)域D的邊界上，如圖9-20所示.這時(shí)區(qū)域D可表示為 D=(r,)|,0rr()，于是圖 9-20二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分(3)極點(diǎn)O在區(qū)域D的內(nèi)部，如

19、圖9-21(a)所示.這時(shí)區(qū)域D可表示為D=(r,)|02,0rr()，于是二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分圖 9-21二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分當(dāng)區(qū)域D是圓或圓的一部分，或者區(qū)域D的邊界方程用極坐標(biāo)表示較為簡(jiǎn)單，或者被積函數(shù)為 等形式時(shí)，一般采用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分較為方便.注二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分【例13】注二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分【例14】圖 9-22二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分【例15】二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分【例16】圖 9-23二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分【例17】二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重

20、積分圖 9-24二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分【例18】圖 9-25計(jì)算二重積分I=Darctan yxd，其中D是由圓周x2+y2=4,x2+y2=1，直線y=x及x軸所圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域.解考察積分區(qū)域和被積函數(shù)都宜用極坐標(biāo)計(jì)算.積分區(qū)域D如圖9-25所示，用極坐標(biāo)可表示為D=(r,)|04,1r2,二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分【例19】二、 在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分圖 9-26三重積分第 三 節(jié)一、 三重積分的概念類比引入1.在定積分和二重積分的討論中，我們?cè)v過有共性的實(shí)例，即求非均勻物體的質(zhì)量.如果物體的密度是該物體上點(diǎn)P的連續(xù)函數(shù)f(P)，那么物體的質(zhì)量根據(jù)物體的不同幾何形狀，便有

21、不同的積分概念.(1)物體是一個(gè)細(xì)的直線棒，則非均勻細(xì)棒的質(zhì)量為其中f(x)是線密度函數(shù)(點(diǎn)P即為點(diǎn)x)，直線棒占有區(qū)間為a,b，于是一、 三重積分的概念(2)物體是一塊平面薄片，則非均勻薄片的質(zhì)量為其中f(x,y)是面密度函數(shù)點(diǎn)P即為點(diǎn)(x,y)，薄片占有區(qū)域?yàn)镈(D為xOy面上的閉區(qū)域)，于是一、 三重積分的概念(3)如果物體是一空間立體，它占有空間為，又該如何計(jì)算它的質(zhì)量呢？我們把空間立體任意分成n個(gè)小立體vi(i=1,2,n)，且以vi表示第i個(gè)小立體的體積，在小立體vi上任取一點(diǎn)Pi(i,i,i)，顯然小立體的質(zhì)量近似等于f(i,i,i)vi(i=1,2,n),于是，立體的總質(zhì)量近似

22、地等于和式一、 三重積分的概念令為這些小立體的最大直徑(直徑定義如前描述)，我們自然會(huì)想到，當(dāng)0時(shí)，上面的和式就會(huì)趨于這個(gè)立體的總質(zhì)量，也就是說，立體的總質(zhì)量為這種和式極限與定積分、二重積分的和式極限結(jié)構(gòu)形式類似.它不僅在質(zhì)量計(jì)算中，而且在物理、力學(xué)、工程計(jì)算中也經(jīng)常會(huì)遇到，由此引出三重積分定義.一、 三重積分的概念三重積分定義2.定義2設(shè)f(x,y,z)是空間有界閉區(qū)域上的有界函數(shù).將任意分成n個(gè)小閉區(qū)域v1,v2,vn，其中vi表示第i個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的體積.在每個(gè)vi上任取一點(diǎn)(i,i,i)，作乘積f(i,i,i)vi(i=1,2,n)，如果當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值趨于0時(shí)，這個(gè)和

23、式極限總存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在閉區(qū)域上的三重積分，記作即 (9-5)其中dv稱為體積微元.一、 三重積分的概念在直角坐標(biāo)系中，如果用平行于坐標(biāo)面的平面來劃分，那么，除了包含的邊界點(diǎn)的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，得到的小閉區(qū)域vi均為長(zhǎng)方體.設(shè)長(zhǎng)方體小閉區(qū)域的邊長(zhǎng)為xj,yk,zl，則vi=xjykzl.因此，在直角坐標(biāo)系中，有時(shí)也把體積微元dv記作dxdydz，而把三重積分記作f(x,y,z)dxdydz，其中dxdydz稱為直角坐標(biāo)系中的體積微元.二、 三重積分的計(jì)算由計(jì)算二重積分的方法推廣知，計(jì)算三重積分的基本方法是將三重積分化為三次定積分來計(jì)算.下面將在不同坐標(biāo)系下分別討論三

24、重積分化為三次定積分的計(jì)算方法，且只限于敘述計(jì)算方法，不作理論證明.二、 三重積分的計(jì)算在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分1.1）投影法設(shè)函數(shù)fx,y,z在空間閉區(qū)域上連續(xù)，平行于z軸的任何直線與區(qū)域的邊界曲面S的交點(diǎn)不多于兩個(gè).閉區(qū)域在xOy面上的投影為平面閉區(qū)域Dxy(見圖9-27).以Dxy的邊界為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面.這柱面與曲面S的交線從S中分出的上、下兩部分，它們的方程分別為S1:z=z1x,y,S2:z=z2x,y,其中z1x,y,z2x,y在Dxy上連續(xù),并且z1x,yz2x,y.圖 9-27二、 三重積分的計(jì)算式(9-8)把三重積分化為先對(duì)z、次對(duì)x、最后對(duì)y的三次積分.二、

25、三重積分的計(jì)算(1)類似地，如果平行于x軸或y軸且穿過閉區(qū)域內(nèi)部的直線與的邊界曲面S相交不多于兩點(diǎn)，當(dāng)把投影到y(tǒng)Oz面上或zOx面上時(shí)，也可寫出相應(yīng)的三次積分.(2)若平行于坐標(biāo)軸且穿過閉區(qū)域內(nèi)部的直線與邊界曲面S的交點(diǎn)多于兩個(gè),可仿照二重積分計(jì)算中所采用的方法,將分成若干個(gè)小區(qū)域來討論.注二、 三重積分的計(jì)算【例20】二、 三重積分的計(jì)算【例21】計(jì)算三重積分xdxdydz，其中為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x+2y+z=1所圍成的閉區(qū)域.解作閉區(qū)域如圖9-28所示.圖 9-28二、 三重積分的計(jì)算二、 三重積分的計(jì)算2）截面法計(jì)算三重積分也可以化為先計(jì)算一個(gè)二重積分、再計(jì)算一個(gè)定積分，即所謂截面法(或

26、先二后一法).設(shè)空間閉區(qū)域 =x,y,zx,yDz,c1zc2,其中Dz是豎坐標(biāo)為z的平面截閉區(qū)域所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域(見圖9-29)，則有(9-9)圖 9-29二、 三重積分的計(jì)算【例21】二、 三重積分的計(jì)算3）利用對(duì)稱性計(jì)算在計(jì)算二重積分時(shí)，利用積分區(qū)域的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性可化簡(jiǎn)積分的計(jì)算，同理，對(duì)三重積分也有類似的結(jié)果.設(shè)f(x,y,z)在空間閉區(qū)域內(nèi)連續(xù).(1)若f(x,y,z)=f(x,y,z)，且關(guān)于yOz面對(duì)稱或f(x,y,z)=f(x,y,z)，且關(guān)于zOx面對(duì)稱或f(x,y,z)=f(x,y,z)，且關(guān)于xOy面對(duì)稱,則二、 三重積分的計(jì)算(2)若f(x,y,z)=

27、f(x,y,z)，關(guān)于yOz面對(duì)稱，則其中1=x,y,zx,y,z,x0.同理，對(duì)f(x,-y,z)=f(x,y,z),關(guān)于zOx面對(duì)稱或f(x,y,-z)=f(x,y,z),關(guān)于xOy面對(duì)稱也有類似的結(jié)論.二、 三重積分的計(jì)算(3)若f(x,y,z)=f(x,y,z)，f(x,y,z)=f(x,y,z)，關(guān)于yOz,zOx面對(duì)稱，則其中1=x,y,zx,y,z,x0,y0.同理，對(duì)f(-x,y,z)=f(x,y,z),f(x,y,-z)=f(x,y,z),關(guān)于yOz,xOy面對(duì)稱或f(x,-y,z)=f(x,y,z),f(x,y,-z)=f(x,y,z),關(guān)于zOx,xOy面對(duì)稱也有類似的結(jié)

28、論.二、 三重積分的計(jì)算(4)若f(x,y,z)=f(x,y,z)，f(x,y,z)=f(x,y,z)，f(x,y,z)=f(x,y,z)，關(guān)于yOz,zOx,xOy面對(duì)稱，則其中1=x,y,zx,y,z,x0,y0,z0.(5)若x,y,z依次輪換(xyzx)后，不變，即關(guān)于x,y,z輪換對(duì)稱,則二、 三重積分的計(jì)算【例24】解A的左邊等于0，右邊大于0，所以A不對(duì)；同理B,D不對(duì);1關(guān)于zOx面、yOz面對(duì)稱，且f(x,y,z)=z關(guān)于x,y均為偶函數(shù)，又2關(guān)于x,y,z輪換對(duì)稱，所以C正確.二、 三重積分的計(jì)算在柱面坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分2.設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)M在xOy

29、面上的投影P的極坐標(biāo)為(,)，則這樣的三個(gè)數(shù),z就稱為點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)(見圖9-31)，這里規(guī)定,z的變化范圍為：0+,02,z+.三組坐標(biāo)面分別為常數(shù)，即以z軸為軸的圓柱面；常數(shù)，即過z軸的半平面；z常數(shù)，即與xOy面平行的平面.圖 9-31二、 三重積分的計(jì)算顯然，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系為x=cosy=sin z=z.(9-10)要把三重積分f(x,y,z)dv中的變量變換為柱面坐標(biāo)，用三組坐標(biāo)面常數(shù)，常數(shù)，z常數(shù)，把分成許多小閉區(qū)域，除了含的邊界點(diǎn)的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，這種小閉區(qū)域都是柱體.現(xiàn)在考慮由,z各取得微小增量所成的柱體體積(見圖9-32).這個(gè)體積等于高與底面積的乘積.

30、其中高為dz，底面積在不計(jì)高階無窮小時(shí)為dd(即極坐標(biāo)系中的面積微元)，于是得 dv=dddz，二、 三重積分的計(jì)算圖 9-32二、 三重積分的計(jì)算這就是柱面坐標(biāo)系中的體積微元.再由關(guān)系式(9-10)得其中F(,z)=f(cos,sin,z)，式(9-11)就是把三重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為柱面坐標(biāo)的公式.變量變換為柱面坐標(biāo)后的三重積分的計(jì)算，則可化為三次定積分來進(jìn)行.化為三次定積分時(shí)，積分限應(yīng)根據(jù),z在積分區(qū)域中的變化范圍來確定，下面通過實(shí)例來說明.(9-11)二、 三重積分的計(jì)算【例25】二、 三重積分的計(jì)算在球面坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分3.設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)M也可用這樣三個(gè)有次序的數(shù)r,來確定，其中r為原點(diǎn)O與點(diǎn)M之間的距離，為有向線段OM與z軸正向所夾的角，為從正z軸來看自x軸按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線段OP的角，這里P為點(diǎn)M在xOy面上的投影(見圖9-34).這樣的三個(gè)數(shù)r,稱為點(diǎn)M的球面坐標(biāo)，這里r,的變化范圍是0r0且在D上連續(xù)，則平面薄板的質(zhì)量上述公式可以推廣到空間物體的質(zhì)量其中(x,y,z)為物體在點(diǎn)(x,y,z)處的密度，為物體占有的空間