求逆元基本方法

1、求逆元基本方法乘法逆元小結(jié)乘法逆元，一般用于求$fracabpmodp$的值($p$通常為質(zhì)數(shù))，是解決模意義下分?jǐn)?shù)數(shù)值的必要手段。一、逆元定義若$a*xequiv1pmodb$,且$a$與$b$互質(zhì)，那么我們就能定義:$x$為$a$的逆元，記為$aA-1$,所以我們也可以稱$x$為$a$在$modb$B義下的倒數(shù)，所以對(duì)于$displaystylefracabpmodp$,我們就可以求出$b$在$bmodp$下的逆元，然后乘上$a$，再$bmodp$,就是這個(gè)分?jǐn)?shù)的值了。二、求解逆元的方式1拓展歐幾里得條件$abotp$(互質(zhì))，但$p$不是質(zhì)數(shù)的時(shí)候也可以使用。這個(gè)方法十分容易理解，而且對(duì)

2、于單個(gè)查找效率似乎也還不錯(cuò)，比后面要介紹的大部分方法都要快尤其對(duì)于$bmodp$比較大的時(shí)候)。這個(gè)就是利用拓歐求解線性同余方程$a*xequivcpmodb$的$c=1$的情況。我們就可以轉(zhuǎn)化為解$a*x+b*y=1$這個(gè)方程。引理：$ax+by=c$有解的充分條件$gcd(a,b)midc$所以$ax+by=gcd(a,b)鳥(niǎo)顯然有解引理：$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$將$代入$得$ax_1+by_1=bx_2+(amodb)y_2$ax_1+by_1=bx_2+(a-fracab*b)y_2$ax_1+by_1=bx_2+ay-fracab*by_2$ax_1+by_1=

3、ay_2+b(x_2-fracab)$.x_1=y_2,y_1=x_2-fracaby$vabotb$.，.gcd(a,b)=1$當(dāng)b=0時(shí)，a=1，此時(shí)有x=1,y的最小自然數(shù)解為0$代碼比較簡(jiǎn)單：voidExgcd(lla,llb,ll&x,ll&y)if(!b)x=1,y=0;elseExgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;intmain()llx,y;Exgcd(a,p,x,y);x=(x%p+p)%p;printf(%dn,x);/x是a在modp下的逆元2小費(fèi)爾馬定理(快速幕)費(fèi)馬小定理：若$p$為素?cái)?shù)，$a$為正整數(shù)，且$a$、$p$互質(zhì)。則有$aAp-1equiv1

4、(bmodp)$。這個(gè)我們就可以發(fā)現(xiàn)它這個(gè)式子右邊剛好為$1$。所以我們就可以放入原式，就可以得到：$a*xequiv1pmodp$a*xequivaAp-1pmodp$xequivaAp-2pmodp$所以我們可以用快速幕來(lái)算出$aAp-2pmodp$的值，這個(gè)數(shù)就是它的逆元了代碼也很簡(jiǎn)單：llfpm(llx,llpower,llmod)x%=mod;llans=1;for(;power;power=1,(x*=x)%=mod)if(power&1)(ans*=x)%=mod;returnans;intmain()IIx=fpm(a,p-2,p);x為a在modp意義下的逆元線性推逆元用于求

5、一連串?dāng)?shù)字對(duì)于一($bmod卩$的逆元。只能用這種方法，別的算法都比這些要求一串要慢。首先我們有一個(gè),$1A-1equiv1pmodp$然后設(shè)$p=k*i+r,(1rip)$也就是$k$是$p/i$的商，$r$是余數(shù)。再將這個(gè)式子放至U$pmodp$意義下就會(huì)得到：$k*i+requiv0pmodp$然后乘上$iA-1$,$rA-1$就可以得到：$k*rA-1+iA-1equiv0pmodp$iA-1equiv-k*rA-1pmodp$iA-1equiv-lfloorfracpirfloor*(pbmodi)A-1pmodp$于是，我們就可以從前面推出當(dāng)前的逆元了。代碼也很短：inv1=1;f

6、or(inti=2;ip;+i)invi=(p-p/i)*invp%i%p;階乘逆元$O(n)$求因?yàn)橛腥缦乱粋€(gè)遞推關(guān)系。$dispIaystyIeinvi+1=frac1(i+1)!$dispIaystyIeinvi+1*(i+1)=frac1i!=invi$所以我們可以求出$n!$的逆元，然后逆推，就可以求出$仁川$所有的逆元了。遞推式為$invi+1*(i+1)=invi$所以我們可以求出$displaystyleforalli,i!,frac1i!$的取值了。然后這個(gè)也可以導(dǎo)出$displaystylefrac1ipmodp$的取值，也就是$dispIaystyIefrac1i!times(i-1)!=frac1ipmodp$如果我們需要求$0!$到$n!$的逆元，對(duì)于每個(gè)元素都求一遍，就顯得有點(diǎn)慢。逆元可以看作是求倒數(shù)。那么不就有$displaystylefrac1(n+1)!times(n+1)=frac1n!pmodp$intinv(intb,intp)inta,k;exPower(b,p,a,k);if(a0)a+=p;returna;voidinit(intn)Fact0=1;for(inti=1