2022年重慶中考專題閱讀材料之?dāng)?shù)的整除（word版、無答案）

1、初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)專題閱讀材料入門測：1.對于一個三位正整數(shù)t,將各數(shù)位上的數(shù)字重新排序后(包括本身),得到一個新的三位數(shù)(ac),在所有重新排列的三位數(shù)中,當(dāng)|a+c-2b|最小時,稱此時的為t的“最優(yōu)組合”,并規(guī)定F(t)=|a-b|-|b-c|,例如:124重新排序后為:142、214，因為|1+4-4|=1,|1+2-8|=5,|2+4-2|=4,所以124為124的“最優(yōu)組合”,此時F(124)=-1.(1)三位正整數(shù)t中,有一個數(shù)位上的數(shù)字是另外兩數(shù)位上的數(shù)字的平均數(shù),求證:F(t)=0(2)一個正整數(shù),由N個數(shù)字組成,若從左向右它的第一位數(shù)能被1整除,它的前兩位數(shù)能被2整除,前三位

2、數(shù)能被3整除,一直到前N位數(shù)能被N整除,我們稱這樣的數(shù)為“善雅數(shù)”.例如:123的第一位數(shù)1能披1整除,它的前兩位數(shù)12能被2整除,前三位數(shù)123能被3整除,則123是一個“善雅數(shù)”.若三位“善雅數(shù)”m=200+10 x+y(0 x9,0y9,x、y為整數(shù)),m的各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù),求出所有符合條件的“善雅數(shù)”中F(m)的最大值.例題講解：例1（數(shù)的簡單整除）：求方程的所有正整數(shù)解變式訓(xùn)練：求方程的所有非負整數(shù)解例2（明確新定義）：一個三位正整數(shù)N，各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同且都不為0，若從它的百位、十位、個位上的數(shù)字任意選擇兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，所有這些兩位數(shù)的和等于這個三位數(shù)本身，則

3、稱這樣的三位數(shù)N為“公主數(shù)”，例如：132，選擇百位數(shù)字1和十位數(shù)字3組成的兩位數(shù)為13和31，選擇百位數(shù)字1和個位數(shù)字2組成的兩位數(shù)為12和21，選擇十位數(shù)字3和個位數(shù)字2組成的兩位數(shù)為32和23。因為13+31+12+21+32+23=132，所以132是“公主數(shù)”。試判斷123是不是“公主數(shù)”？請說明理由。變式訓(xùn)練：若一個三位整數(shù)，百位上數(shù)字的2倍加上十位上數(shù)字的3倍，再加上個位上數(shù)字所得的和能被7整除，則稱這個整數(shù)為“勞動數(shù)”例如：判斷210是“勞動數(shù)”的過程如下：22+31+0=7，7能被7整除，210是“勞動數(shù)”；判斷322是“勞動數(shù)”的過程如下：23+32+2=14，14能被7整

4、除，322是“勞動數(shù)”；試證明：所有的“勞動數(shù)”均能被7整除例3（求數(shù)）：有一個百位數(shù)字為1的三位整數(shù)，它能被7整除。將這個三位數(shù)的百位數(shù)字和個位數(shù)字交換所產(chǎn)生的新三位整數(shù)仍能夠被7整除，求這個三位數(shù)。 變式訓(xùn)練：若一個正整數(shù)，它的各位數(shù)字是左右對稱的，則稱這個數(shù)是對稱數(shù)，如22,797，12321都是對稱數(shù)最小的對稱數(shù)是11，沒有最大的對稱數(shù)，因為數(shù)位是無窮的問：若將一個三位對稱數(shù)減去其各位數(shù)字之和，所得的結(jié)果能被11整除，求滿足條件的三位對稱數(shù)？例4（求最值）：一個三位自然數(shù)m將它任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后得一個首位不為0的新三位自然數(shù)m（m可以與m相同），記m=，在m所有的可能情況中，當(dāng)

5、|a+2bc|最小時，我們稱此時的m是m的“幸福美滿數(shù)”，并規(guī)定K（m）=a2+2b2c2例如：318按上述方法可得新數(shù)有：381、813、138；因為|3+218|=3，|3+281|=18，|8+213|=7，|1+238|=1，13718所以138是318的“幸福美滿數(shù)”K（318）=12+23282=45設(shè)三位自然數(shù)s=100+10 x+y（1x9，1y9，x，y為自然數(shù)），且xy，交換其個位與十位上的數(shù)字得到新數(shù)s，若19s+8s=3888，那么我們稱s為“夢想成真數(shù)”，求所有“夢想成真數(shù)”中K（s）的最大值變式訓(xùn)練：對于一個各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)p,將它各個數(shù)位上的數(shù)字

6、平方后再取其個位,得到三個新的數(shù)字;再將這三個新數(shù)字重新組合成三位數(shù)xyz,當(dāng)|x+2y-z|的值最小時,稱此時的xyz為自然數(shù)p的理想數(shù),并規(guī)定K(p)=(x-z)2+y,例如245,各數(shù)字平方后取個位分別為4,6,5,再重新組合為465,456,546,564,654,645,因為|5+24-6|=7最小,所以546是原三位數(shù)245的理想數(shù),此時K(p)=(5-6)2+4=5;若一個三位正整數(shù)的十位數(shù)字是個位數(shù)字的2倍,則稱這個數(shù)位自信數(shù),例如384,其中8=42,所以384是自信數(shù);對于一個各數(shù)位上的數(shù)字均不為0三位正整數(shù)p,把它的個位數(shù)字和百位數(shù)字交換所得的新三位數(shù)記為p1,把它的個位

7、數(shù)字和十位數(shù)字交換所得到的新三位數(shù)記為p2,若p1,p2,p這三個數(shù)的和能被29整除,則稱這個數(shù)p為成功數(shù).若一個成功數(shù)p也是自信數(shù),求所以符合條件的成功數(shù)中K(p)的最小值.解題技巧：1.審題：讀懂題意，明確新定義。2.表示數(shù)：要體現(xiàn)出新定義數(shù)的特點。3.化簡：根據(jù)題目要求計算并進行化簡。4.取值：保證系數(shù)足夠小，限定數(shù)的取值范圍，同時觀察式子的特點，縮小分類討論的情況，如：試題的隱含條件（小于9的正整數(shù)），奇偶性等。5.驗證：驗證所得到的數(shù)是否符合題意。6.取最值：根據(jù)新定義的計算公式求出各數(shù)的值，并比較大小。三、課堂練習(xí)：1.如果一個自然數(shù)從高位到個位是由一個數(shù)字或幾個數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)組成，

8、那么我們把這樣的自然數(shù)叫做循環(huán)數(shù)，重復(fù)的一個或幾個數(shù)字稱為“循環(huán)節(jié)”，我們把“循環(huán)節(jié)”的數(shù)字個數(shù)叫做循環(huán)節(jié)的階數(shù)例如：525252，它由“52”依次重復(fù)出現(xiàn)組成，所以525252是循環(huán)數(shù)，它是2階6位循環(huán)數(shù)，再如：77，是1階2位循環(huán)數(shù)，135135135是3階9位循環(huán)數(shù)（1）請你直接寫出2個2階4位循環(huán)數(shù)，并證明對于任意一個2階4位循環(huán)數(shù)，若交換其循環(huán)節(jié)的數(shù)字所得到的新數(shù)和原數(shù)的差能夠被9整除；（2）已知一個能被9整除的2階4位循環(huán)數(shù)，設(shè)循環(huán)節(jié)為ab，求a，b應(yīng)滿足的關(guān)系2.我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進行這樣的分解：n=pq（p，q是正整數(shù)，且pq），在n的所有這種分解中，如果p，q兩

9、因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱pq是n的最佳分解并規(guī)定：F（n）=例如12可以分解成112，26或34，因為1216243，所以34是12的最佳分解，所以F（12）=（1）如果一個正整數(shù)m是另外一個正整數(shù)n的平方，我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù)求證：對任意一個完全平方數(shù)m，總有F（m）=1；（2）如果一個兩位正整數(shù)t，t=10 x+y（1xy9，x，y為自然數(shù)），交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36，那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”；（3）在（2）所得“吉祥數(shù)”中，求F（t）的最大值四、課后作業(yè)：1、若整數(shù)a能被整數(shù)b整除，則一定存在整數(shù)n，使得

10、，即a=bn例如若整數(shù)a能被11整除，則一定存在整數(shù)n，使得=n，即a=11n一個能被11整除的自然數(shù)我們稱為“光棍數(shù)”，他的特征是奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，如：42559奇數(shù)位的數(shù)字之和為4+5+9=18偶數(shù)位的數(shù)字之和為2+5=7.187=I1是11的倍數(shù)所以4259為“光棍數(shù)”請你證明任意一個四位“光棍數(shù)”均滿足上述規(guī)律；若七位整數(shù)能被11整除請求出所有符合要求的七位整數(shù)2.將一個三位正整數(shù)n各數(shù)位上的數(shù)字重新排列后(含n本身)得到新三位數(shù)abc(ac)，在所有重新排列中，當(dāng)eq blc|rc|(avs4alco1(ac2b)最小時，我們稱abc是n的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，并

11、規(guī)定F(n)b2ac.例如215可以重新排列為125、152、215，因為eq blc|rc|(avs4alco1(1522)2，eq blc|rc|(avs4alco1(1225)7，eq blc|rc|(avs4alco1(2521)5，且257，所以125是215的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，F(xiàn)(215)22151.(1)F(236)_；(2)如果在正整數(shù)n三個數(shù)位上的數(shù)字中，有一個數(shù)是另外兩個數(shù)的平均數(shù)，求證：F(n)是一個完全平方數(shù)；(3)設(shè)三位自然數(shù)t100 x60y(1x9，1y9，x，y為自然數(shù))，交換其個位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字得到數(shù)t.若tt693，那么我們稱t為“和順數(shù)”求所有“和順

12、數(shù)”中F(t)的最大值3、一個三位正整數(shù)M，其各位數(shù)字互不相同且都不為0，若將M的十位數(shù)字與百位數(shù)字交換位置，得到一個新的三位數(shù)，我們稱這個三位數(shù)為M的“情誼數(shù)”， 如：168的“情誼數(shù)”為618；若從M的百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字中任選兩個組成一個新的兩位數(shù)，并將得到的所有兩位數(shù)求和，我們稱這個和為M的“團結(jié)數(shù)”，如：123的“團結(jié)數(shù)”為121321233132132。（1）求證：M與其“情誼數(shù)”的差能被15整除；（2）若一個三位正整數(shù)N，其百位數(shù)字為2，十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，且各位數(shù)字互不相等（a0，b0），若N的“團結(jié)數(shù)”與N之差為24，求N的值。4.如果把一個奇數(shù)位的自然數(shù)各數(shù)

13、為上的數(shù)字從最高位到個位依次排列，與從個位到最高位依次排列出的一串?dāng)?shù)字完全相同，相鄰兩個數(shù)位上的數(shù)字之差的絕對值相等（不等于0），且該數(shù)正中間的數(shù)字與其余數(shù)字均不同，我們把這樣的自然數(shù)稱為“階梯數(shù)”，例如自然數(shù)12321，從最高位到個位依次排出的一串?dāng)?shù)字是：1，2，3，2，1，從個位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字仍是：1，2，3，2，1，且|12|=|23|=|32|=|21|=1，因此12321是一個“階梯數(shù)”，又如262，85258，都是“階梯數(shù)”，若一個“階梯數(shù)”t從左數(shù)到右，奇數(shù)位上的數(shù)字之和為M，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為N，記P（t）=2NM，Q（t）=M+N（1）已知一個三位“階梯數(shù)”t，其中P（t）=12，且Q（t）為一個完全平方數(shù)，求這個三位數(shù)；（2）已知一個五位“階梯數(shù)”t能被4整除，且Q（t）除以4余2，求該五位“階梯數(shù)”t的最大值與最小值5.對于各位數(shù)字都不為0的兩位數(shù)m和三位數(shù)n,將m中的任意一個數(shù)字作為一個新的兩位數(shù)的十位數(shù)字,將n中的任意一個數(shù)字作為該新數(shù)的兩位數(shù)的個位數(shù)字,按照這種方式產(chǎn)生的所有新的兩位數(shù)的和記為F(m,n),例