板塊命題點(diǎn)專練(十)

1、板塊命題點(diǎn)專練（十）命題點(diǎn)一合情推理與演繹推理命題指數(shù)：難度：中、低題型：選擇題、填空題1. （2014陜西高考）觀察分析下表中的數(shù)據(jù):多面體面數(shù)（F）頂點(diǎn)數(shù)（V）棱數(shù)（E）三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中 F，V，E所滿足的等式是 .解析：三棱柱中5+ 6-9 = 2;五棱錐中 6+ 6- 10= 2;立方體中6+ 8- 12= 2,由此歸 納可得F + V E = 2.答案：F + V E = 22. （2014全國卷I ）甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A, B, C三個(gè)城市時(shí)，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過 C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^

2、同一城市.由此可判斷乙去過的城市為 .解析：由甲、丙的回答易知甲去過 A城市和C城市，乙去過 A城市或C城市，結(jié)合乙的回答可得乙去過 A城市.答案：A3. （2015陜西高考）觀察下列等式:12,11+123 1+1- 1+ 1- 1 = 1 +1+ 12345645 6據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為解析：等式的左邊的通項(xiàng)為2-1-2n，前n項(xiàng)和為1-2+ 3-1+加-1 一 2n；右邊的每個(gè)式子的第一項(xiàng)為1 11 1，共有n項(xiàng)，故為 +n +1n +1 n+ 2n+ n答案：11+ 34+21-=丄+丄+ 2-23 4 2n 1 2n n+ 1 n + 2 2n命題點(diǎn)二直接證明與間接證明命題指數(shù)：

3、難度：高、中題型：解答題1. (2014江西高考)已知數(shù)列an的前2n 項(xiàng)和 Sn= 3n2n, n N*.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;證明：對(duì)任意的 n1，都存在m N，使得ai, an, am成等比數(shù)列.n?3n2 nn= 1時(shí)也適合.解：(1)由 Sn=2，得 ai = Si= 1,當(dāng) n2 時(shí)，an= Sn Sn-1 = 3n 2，當(dāng)所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為：an= 3n 2.證明：要使得a1, an, am成等比數(shù)列，2 2只需要 an= a1 am,即(3n 2) = 1 (3m 2), 即 m= 3n 4n + 2，而此時(shí) mN ,且 mn.所以對(duì)任意的n1，都存在mN，使得a1, a

4、n, am成等比數(shù)列.2. (2015北京高考節(jié)選)已知數(shù)列an滿足：a1 N gw 36,且an+1 =2an, anW 18,|2an 36, a* 18(n= 1,2，).記集合 M = an|n N*.(1)若a1 = 6，寫出集合 M的所有元素;(2)若集合M存在一個(gè)元素是 3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù).解: (1)6,12,24.(2)證明：因?yàn)榧?M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè) ak是3的倍數(shù).2an, an W 18,由an+1=可歸納證明對(duì)任意 n k, an是3的倍數(shù).2an 36, an18如果k= 1,貝U M的所有元素都是 3的倍數(shù).如果k1,因?yàn)?/p>

5、ak= 2ak 1或ak= 2ak 1 36,所以2ak 1是3的倍數(shù)，于是ak 1是3的倍數(shù).類似可得，ak 2,，a1都是3的倍數(shù).從而對(duì)任意n 1, an是3的倍數(shù)，因此 M的所有元素都是 3的倍數(shù).綜上，若集合 M存在一個(gè)元素是 3的倍數(shù)，則M的所有元素都是3的倍數(shù).命題點(diǎn)三數(shù)學(xué)歸納法命題指數(shù)：難度：高題型：解答題(2015陜西高考)設(shè)fn(x)是等比數(shù)列 1, x X2,，Xn的各項(xiàng)和，其中x0, n IN , n 2.證明：函數(shù)Fn(X)= fn(X) 2在2 1內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為Xn),且Xn+1;設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為gn(

6、X),比較fn(X)和gn(X)的大小，并加以證明.2n解：(1)證明：Fn(X)= fn(X) 2= 1 + X + X+-+ X 2,則 Fn(1) = n 10,+ . +1n2=壬 v 0,所以Fn(x)在1, 1內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).又 Fn (x) = 1+ 2x + nxn10,故Fn(x)在J, 1內(nèi)單調(diào)遞增，所以Fn(x)在 1內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)Xn.因?yàn)閄n是F n(x)的零點(diǎn)，所以Fn(Xn)= 0,. n+11 Xn1 Xn2= 0,故 xn=2+ ,n12n(2)由題設(shè)，fn(x) = 1+ X+ X + + X ,n + 1 xn + 1 gn(x)=2, X 0.當(dāng)

7、 X = 1 時(shí)，fn(x)= gn(x).當(dāng)X工1時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法可以證明fn(x) v gn(x).12當(dāng) n= 2 時(shí)，f2(x) g2(x) = 2(1 x)2v 0,所以f2(X)V g2(x)成立.假設(shè)n= k(k 2)時(shí)，不等式成立，即fk(x)v gk(x).那么，當(dāng)n = k+ 1時(shí),k 1k 1fk+ 1( x) = fk(x) + X + v gk(x) + X +k+ 1 1 + xk2+ xk+2xk +1 + k+ 1 xk+ k + 122xk+ 勺+ (k+ 1 xk+ k+ 1又 gk+ i(x)一2kxk+1- k+1 xk+1= 2 ，k 1k令 hk(x)= kx + (k+ 1)x + 1(x0),則 hk (x)= k(k+ 1)xk- k(k+ 1)xk 1=k(k+ 1)xk-1 x - 1).所以當(dāng) Ov xv 1 時(shí)，hk (x