18.1勾股定理 (7)

1、國際數(shù)學(xué)家大會的會徽這個圖形里 到底蘊(yùn)涵了什么樣博大精深的知識呢？ 它標(biāo)志著我國古代數(shù)學(xué)的成就！18.1勾股定理（1）八年級數(shù)學(xué)（下冊）滬科版授課教師：梧州市第三中學(xué) 趙 枚BAC圖甲圖乙A的面積（SA）B的面積（SB）C的面積（SC）448SA+SB=SC圖甲1.觀察圖甲，小方格的邊長為1.正方形A、B、C的面積各為多少？正方形A、B、C的 面積有什么關(guān)系？實(shí)踐出真知探究活動一AB圖乙2.觀察圖乙，小方格的邊長為1.正方形A、B、C的面積各為多少？91625SA+SB=SC正方形A、B、C的 面積有什么關(guān)系？448ABCSA+SB=SC圖甲圖甲圖乙A的面積（SA）B的面積（SB）C的面積（S

2、C）CAB圖乙2.觀察圖乙，小方格的邊長為1.91625SA+SB=SC448ABCSA+SB=SC圖甲圖甲圖乙A的面積B的面積C的面積abcabcC3.猜想a、b、c 之間的關(guān)系？a2 +b2 =c2勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理) 如果直角三角形兩直角邊分別為a， b，斜邊為c，那么 即直角三角形兩直角邊的平方和等于 斜邊的平方.acacbbBCA前提條件幾何語言：在RtACB中，C= 90 a2+ b2 = c2 a2 + b2 =c2 在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為勾，下半部分稱為股。我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.勾

3、股 我國漢代的數(shù)學(xué)家趙爽指出：四個全等的直角三角形如下拼成一個中空的正方形.趙爽弦圖cba 黃 實(shí)朱實(shí)趙爽探究活動二：拼圖求證溫馨提示：上述這種驗(yàn)證勾股定理的方法是用面積法 “趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲。因?yàn)椋@個圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會的會徽.abcS大正方形c2S小正方形（b-a）2S大正方形4S三角形S小正方形趙爽弦圖證明：b-a趙爽弦圖證明走進(jìn)數(shù)學(xué)史cb a趙爽三國時期吳國的數(shù)學(xué)家。“弦圖證明”是他在為周髀算經(jīng)作注時給出的。這個證明比畢達(dá)哥拉斯關(guān)于勾股定理的證明還要早。趙爽用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒

4、等關(guān)系，簡明扼要且別具匠心，其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。應(yīng)用勾股定理abc確定斜邊cc2= a2+b2？acb確定斜邊bb2= a2+c2？bca確定斜邊aa2= b2+c2？勾股定理：反映了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一. c2=a2 +b2abc?b2= c2 - a2a2= c2 - b2靈活運(yùn)用公式的幾種變形：應(yīng)用勾股定理1.下列說法中,正確的是 （ ）A.已知a,b,c是三角形的三邊，則a2+b2=c2B.在直角三角形中兩邊平方的和等于第三邊的平方C.在RtABC中，C=90,所以a2+b2=c2D.在RtABC中，B=9

5、0,所以a2+b2=c2C概念辨析: 例1 如圖，在RtABC中，=90. (1) 已知：a=6，=8，求c； (2) 已知：c=13，b=5，求a； 解(1）在RtACB中， =90，a=6，=8， 如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.類型一：直接利用勾股定理求長度應(yīng)用例析abcCAB基礎(chǔ)鞏固:171.在ABC中，C=90.（1）若a=15，b=8，則c= . （2）若c=13，b=12，則a= .52.圖中陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為 .8 cm10 cm36 cm【變式題1】 在RtABC中，AB4，AC3，求BC的長.解：本題斜邊不確定

6、，需分類討論：當(dāng)AB為斜邊時，如圖，當(dāng)BC為斜邊時，如圖，43ACB43CAB圖圖 當(dāng)直角三角形中所給的兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時，其中一較長邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進(jìn)行分類討論，否則容易丟解.歸納類型二：分類討論思想在勾股定理中的應(yīng)用：（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a; 【變式題2】在RtABC中， C=90.解： (1) a：b=1：2 設(shè)a=x(x0), 則b=2x x2+(2x)2=52解得 在RtACB中， C=90 a2+b2=c2能力提升:abcCAB 【變式題2】在RtABC中， C=90.（2）若b=15，A=30,求 a, c.設(shè)a=x(x0

7、), 則c=2x 152 =(2x)2-x2b2=c2- a2歸納 已知直角三角形兩邊關(guān)系和第三邊的長求未知兩邊時，要運(yùn)用方程思想設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解.abcCAB欣賞勾股樹如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的邊長分別是3,5,2,3，則最大正方形E的面積是 ( )A.13 B.26 C.47 D.94C類型四：利用勾股定理求面積12分析：S1=SA+SB=32+52=34S2=SC+SD=22+32=13S2=S1+S2=47是不是所有的三角形三邊關(guān)系都滿足勾股定理？在發(fā)現(xiàn)勾股定理的過程中，我們用了什么方法？據(jù)不

8、完全統(tǒng)計，勾股定理的證明方法已經(jīng)多達(dá)400多種，今天我們用了什么方法？4.運(yùn)用勾股定理應(yīng)注意哪些事項(xiàng)？不是由特殊到一般面積法（1）前提條件是在直角三角形中；（2）弄清哪個角是直角；（3）已知兩邊沒有指明是直角邊還是斜邊時一定要分類討論；課堂小結(jié)作業(yè)： 1、同步學(xué)習(xí)第40-41頁第一課時 2、收集勾股定理的證明方法.例2 已知ACB=90,CDAB,AC=3,BC=4.求CD的長. CDAB ACBC= ABCD 34= 5CD CD= 答：CD的長為ADBC34由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，它常與勾股定理聯(lián)合使用歸納解：類型三：利用勾股定理求三角形的相

9、關(guān)元素BCDA1、螞蟻沿圖中的折線從A點(diǎn)爬到D點(diǎn)，一共爬了 厘米？（小方格的邊長為1厘米）GFE能力提升:28 【方法點(diǎn)撥】構(gòu)造直角三角形求解變式：如圖,折疊長方形的一邊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，若AB=8，AD=10.則EC的長為 .3 AEFDCB【方法點(diǎn)撥】在直角三角形中利用勾股定理來建立方程求解.分析：設(shè)EC長為 x,則EF=DE=DC-EC=8-xAF=AD=10BF=CF=BC-BF=10-6=4 在RtECF中,EF2=EC2+CF2(8-x)2=x2+42x=3 類型五：利用勾股定理解決折疊中的有關(guān)計算 1、如果把直角三角形的兩條直角邊同時擴(kuò)大到原來的2倍，那么斜邊擴(kuò)大到原來的 ( )A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍B拓展訓(xùn)練:2.若直角三角形中，有兩邊長是6和8，則第三邊長的平方為_.28或1001.如圖，在ABC