近似離散化課件

1、北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化12022/7/25 8.1 采樣控制 8.2 采樣過(guò)程和采樣定理 8.3 信號(hào)恢復(fù) 8.4 Z變換理論及線性差分方程求解 8.5 脈沖傳遞函數(shù) 8.6 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 8.7 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 8.8 采樣系統(tǒng)的暫態(tài)特性分析 8.9 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化22022/7/25自動(dòng)控制系統(tǒng)按信號(hào)形式劃分可分為以下三種類(lèi)型：連續(xù)控制系統(tǒng)，見(jiàn)圖（a）采樣控制系統(tǒng)，見(jiàn)圖（b）數(shù)字控制系統(tǒng)，見(jiàn)圖（c）圖（a）北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化32022/7/25圖（c）圖（b）北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化42022/7/25采樣系統(tǒng)的特點(diǎn)在連續(xù)

2、系統(tǒng)中的一處或幾處設(shè)置采樣開(kāi)關(guān)，對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行斷續(xù)控制；通常采樣周期遠(yuǎn)小于被控對(duì)象的時(shí)間常；采樣開(kāi)關(guān)合上的時(shí)間遠(yuǎn)小于斷開(kāi)的時(shí)間； 采樣周期通常是相同的。北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化52022/7/258.1 采樣控制一個(gè)典型的采樣控制系統(tǒng)如圖：e是連續(xù)的誤差信號(hào)，經(jīng)采樣開(kāi)關(guān)后，變成一組脈沖序列 ，脈沖控制器對(duì) 進(jìn)行某種運(yùn)算，產(chǎn)生控制信號(hào)脈沖序列 ，保持器將采樣信號(hào) 變成模擬信號(hào) u ，作用于被控對(duì)象 。圖8-1 采樣控制系統(tǒng)北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化62022/7/25模擬信號(hào)在時(shí)間上連續(xù)，且在幅值上連續(xù)（導(dǎo)數(shù)連續(xù)）的信號(hào)。采樣信號(hào)又稱(chēng)離散信號(hào)，按一定的時(shí)間間隔對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣得到的在時(shí)間

3、上離散的一系列脈沖。采樣控制系統(tǒng)和連續(xù)控制系統(tǒng)的區(qū)別：在連續(xù)系統(tǒng)中，各處的信號(hào)都是模擬信號(hào)；在采樣系統(tǒng)中，一處或數(shù)處的信號(hào)是采樣信號(hào)。采樣系統(tǒng)的個(gè)性采樣過(guò)程和采樣信號(hào)保持采樣系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)的共性（1）閉環(huán)控制；（2）需分析穩(wěn)定性、暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能；（3）需進(jìn)行校正。北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化72022/7/258.2 采樣過(guò)程和采樣定理一、采樣過(guò)程二、采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)表達(dá)式北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化82022/7/25一、采樣過(guò)程 按一定的時(shí)間間隔對(duì)連續(xù)信號(hào)采樣，將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換為脈沖序列的過(guò)程，稱(chēng)為采樣過(guò)程。采樣開(kāi)關(guān)是用來(lái)實(shí)現(xiàn)采樣過(guò)程的裝置。 采樣開(kāi)關(guān)按周期T閉合，T稱(chēng)為采樣周期。每次閉合

4、時(shí)間為 ，由于在實(shí)際中總有 ，且 遠(yuǎn)小于 中的時(shí)間常數(shù)，可近似認(rèn)為 。北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化92022/7/25采樣過(guò)程可用圖表示采樣信號(hào) 是 和 的乘積，其中載波信號(hào) 決定采樣時(shí)刻，它是周期為T(mén)的單位脈沖序列，采樣信號(hào)在nT(n=0,1,2)時(shí)刻的值由 決定。載波器脈沖調(diào)制器 載波信號(hào)圖8-2 采樣過(guò)程示意圖北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化102022/7/25 經(jīng)采樣得到的離散信號(hào) 有可能無(wú)失真地恢復(fù)到原來(lái)的連續(xù)信號(hào)的條件是單位脈沖序列采樣信號(hào)為采樣信號(hào)的拉氏變換二、采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)表達(dá)式三、采樣定理其中采樣定理給出了選擇采樣周期T的依據(jù)。北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化112022/7/25

5、設(shè)e(t)=1(t)，試求e*(t)的拉氏變換。解：由例8-1得北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化122022/7/25因?yàn)?是周期函數(shù)，因此，可將其展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)。式中 稱(chēng)為系統(tǒng)的采樣頻率。 北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化132022/7/25將上述式子代入式 有: 對(duì)上式取拉氏變換，運(yùn)用拉氏變換的復(fù)位移定理，我們得到 E*(s): 上式在描述采樣過(guò)程的復(fù)頻域特征是極其重要的。一般連續(xù)信號(hào)e（t）的頻譜是單一的連續(xù)頻譜，如圖8-3所示。北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化142022/7/25 圖8-3(a)連續(xù)信號(hào)e（t）的頻譜圖8-3(b)離散信號(hào) 的頻譜 北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化152022/7

6、/25 為了使信號(hào)得到很好的復(fù)現(xiàn)，采樣頻率應(yīng)大于等于原始信號(hào)最大頻率的二倍，即香農(nóng)（Shannon）采樣定理北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化162022/7/25C. Shannon(1916-2001)，畢業(yè)于麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)系，貝爾實(shí)驗(yàn)室研究員及麻省理工學(xué)院電機(jī)系教授。早市曾跟隨 V. Bush 參與模擬計(jì)算機(jī)的研究并提出續(xù)電器路邏輯自動(dòng)化理(1938)。二戰(zhàn)期間在參加Bode 領(lǐng)導(dǎo)的火炮控制系統(tǒng)研究過(guò)程中發(fā)表了著名通信的數(shù)字理論，從而奠定了信息的基礎(chǔ)(1948)，被譽(yù)為信息論之父。1956年回到MIT任職電子工程系教授。北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化172022/7/25理想濾波器的濾波特性為

7、 ：10其頻率特性如圖2-4 圖2-4 理想濾波器的頻率特性北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化182022/7/25從時(shí)域性能指標(biāo)來(lái)看，隨動(dòng)系統(tǒng)的采樣角頻率可近似取為: 由于 ，所以采樣周期可按下式選?。?采樣周期T可通過(guò)單位接躍響應(yīng)的上升時(shí)間tr或調(diào)節(jié)時(shí)間ts按下列經(jīng)驗(yàn)公式選?。夯蛘弑笨拼?信息工程學(xué)院 自動(dòng)化192022/7/258.3 采樣信號(hào)保持器一、零階保持器二、一階保持器北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化202022/7/25一、零階保持器圖8-5 零階保持器作用示意采樣開(kāi)關(guān) 保持器 零階保持器是采用恒值外推規(guī)律的保持器，是一種最常用的保持器。它把采樣時(shí)刻的采樣值恒定不變地保持（或外推）到下一

8、采樣時(shí)刻:1）零階保持器北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化212022/7/252）零階保持器的傳遞函數(shù)根據(jù)零階保持器的單位脈沖響應(yīng)，推出其傳遞函數(shù)。零階保持器的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)矩形，寬度為T(mén)，高為1，它可表示成以下二個(gè)單位階躍信號(hào)的迭加。單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換就是零階保持器的傳遞函數(shù)。圖2-6 零階保持信號(hào)分解北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化222022/7/253）零階保持器的頻譜分析零階保持器的傳遞函數(shù)為： 零階保持器的頻率特性為 ：北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化232022/7/25其幅頻特性和相頻特性如圖2-7所示 圖8-7 零階保持器的頻率特性北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化242022/7/2

9、5 一階保持器以?xún)蓚€(gè)采樣時(shí)刻的值為基礎(chǔ)實(shí)行外推，它的外推輸出式如圖2-8所示。 圖8-8 應(yīng)用一階保持器恢復(fù)信號(hào)二、一階保持器1）一階保持器北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化252022/7/25一階保持器的脈沖響應(yīng)函數(shù)應(yīng)該如圖8-9所示。 單位階躍 單位斜坡 2單位階躍 2單位階躍單位階躍單位斜坡 圖8-9 一階保持器的脈沖響應(yīng)函數(shù)2）一階保持器的傳遞函數(shù)北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化262022/7/25根據(jù)一階保持器脈沖響應(yīng)函數(shù)的分解，可得其傳遞函數(shù)： 3）一階保持器的頻譜分析實(shí)線是一階保持器幅頻特性；虛線為零階保持器頻率特性 。 圖8-10 保持器的頻率特性北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化2720

10、22/7/258.4 z變換理論及線性差分方程求解一、定義二、 z變換的性質(zhì)三、z變換方法四、z反變換方法五、線性差分方程及其求解北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化282022/7/25其中 是連續(xù)函數(shù) 的采樣信號(hào)，一、定義 采樣函數(shù) 對(duì)應(yīng)的Z 變換是唯一的。Z 變換只適用于離散函數(shù)，因?yàn)樗槐碚髁诉B續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻的特性。 Z反變換表示為: 用查表方法可得到函數(shù) 的Z變換。北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化292022/7/251）線性定理 式中a1,a2,為常數(shù)。2) 實(shí)平移定理二、 z變換的性質(zhì)當(dāng)k0時(shí)，有 成立，則有：北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化302022/7/254)復(fù)平移定理5)復(fù)域微分定理

11、6)初值定理設(shè)函數(shù) 的Z變換為 ，而且 在Z平面上以原點(diǎn)為圓心在單位圓上或圓外沒(méi)有極點(diǎn)，則3）終值定理北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化312022/7/25例8-3三、z變換方法1、級(jí)數(shù)求和法的z變換。解：北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化322022/7/25例8-4的z變換。解：北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化332022/7/252、部分分式法 部分分式就是要利用最常見(jiàn)的幾種函數(shù)的z變換形式，將一般的X(s)分解成這些典型環(huán)節(jié)，進(jìn)而求X(z)。常用函數(shù)z變換表：北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化342022/7/25常用函數(shù)z變換表：北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化352022/7/25例8-5解：例8-6解：

12、北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化362022/7/25冪級(jí)數(shù)法(長(zhǎng)除法)實(shí)際的物理系統(tǒng)滿(mǎn)足 nm,則用綜合除法有： 由Z變換的定義式可知: 即為X(z)的原函數(shù)。通常Z變換表達(dá)式有如下形式：四、z反變換方法北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化372022/7/25已知 ，求x（k）。例8-710z解： 北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化382022/7/25（3）部分分式法 部分分式法又稱(chēng)查表法。它的基本思想是將 展開(kāi)成部分分式 ：然后，查Z變換表，即可求取X（Z）的原函數(shù)x(kT)。北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化392022/7/25已知 求 X(kT)解 ： 例8-8查Z變換表有： x(kT)=1e-akT北

13、科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化402022/7/25線性定常離散系統(tǒng)可以用后向差分方程來(lái)描述：y(k) + a1y(k-1) + + any(k-n) = b0r(k) + b1r(k-1) + + r(k-m) 也可用前向差分方程來(lái)描述線性定常離散控制系統(tǒng)。y(k+n) + a1y(k+n-1) + + an-1y(k+1) + any(k)= b0r(k+m) + b1r(k+m-1) + + bm-1r(k+1) + bmr(k) 五、線性差分方程及其求解北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化412022/7/25 若已知差分方程，并且給定輸出序列初值，可利用差分方程的遞推關(guān)系，(在計(jì)算機(jī)上)一步一步

14、計(jì)算出輸出序列。求解差分方程常用的有迭代法和Z變換法。1）迭代法 若已知線性定常離散控制系統(tǒng)的差分方程，對(duì)差分方程兩邊取Z變換，再根據(jù)初始條件及給定輸入控制信號(hào)的Z變換表達(dá)式，可求系統(tǒng)輸出的Z變換表達(dá)式，再求Z反變換，即可求得Y(K)。2）Z變換法北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化422022/7/25 已知離散系統(tǒng)的差分方程為Y(0) = -1, 求差分方程的解。解：對(duì)差分方程取Z變換，得例8-9又 查Z變換表，有北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化432022/7/25用變換解差分方程，已知 例8-10其中 解：北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化442022/7/258.5 脈沖傳遞函數(shù)一、基本概念二、采樣系

15、統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)三、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化452022/7/25一、基本概念定義：線性離散系統(tǒng)中，在零初始條件下，系統(tǒng)輸出采樣信號(hào)的Z變換與輸入采樣信號(hào)Z變換之比，稱(chēng)為系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。G(s) r*( t ) r ( t ) c*( t ) c (t ) 圖8-10 開(kāi)環(huán)離散控制系統(tǒng)北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化462022/7/25采樣脈沖函數(shù)的物理意義 采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng) 經(jīng)采樣后的采樣信號(hào) 的Z變換。北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化472022/7/25 假定動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)的單位脈沖過(guò)渡函數(shù)為h(t)。該環(huán)節(jié)的輸入為r*(t)利用線性環(huán)節(jié)滿(mǎn)足疊加原

16、理，無(wú)窮多個(gè)脈沖作用在線性環(huán)節(jié)G(s)上，其輸出C(t)為將輸出信號(hào)離散化，得到北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化482022/7/25上式兩邊用乘以 ，并求和，得到：考慮到前面的給定，當(dāng)t 0 時(shí) ，故有同理有：北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化492022/7/25所以采樣周期與所用時(shí)間變量文字描述無(wú)關(guān)，則上式可改寫(xiě)為：即式中 若令式中 , 則可知 又因北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化502022/7/25 已知開(kāi)環(huán)離散控制系統(tǒng)如圖r*( t ) r ( t ) C*( t )C ( t )求脈沖傳遞函數(shù)。 解 ：由式 可知：例8-11北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化512022/7/25二、采樣系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈

17、沖傳遞函數(shù)1、兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi) 將采樣開(kāi)關(guān)分隔的二個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，脈沖傳遞函數(shù)是兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之積。結(jié)論可推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)，各相鄰環(huán)節(jié)之間都有采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)的情況。北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化522022/7/252、兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi) 無(wú)采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)的兩個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，脈沖傳遞函數(shù)是兩個(gè)環(huán)節(jié)經(jīng)采樣后的單位脈沖響應(yīng) 和 的乘積的Z變換。結(jié)論可推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)直接串聯(lián)的情況。北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化532022/7/25由解：例8-121）北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化542022/7/252）解：北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化552022/7/253.帶零階保

18、持器的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G1(s) r*(t) r ( t ) y*(t)y(t) 由脈沖傳遞函數(shù)的定義有：即北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化562022/7/25三、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)1、有一個(gè)采樣開(kāi)關(guān)的采樣系統(tǒng)2、有數(shù)字校正裝置的采樣系統(tǒng)北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化572022/7/253. 有干擾作用的脈沖傳遞函數(shù) -假定d(t)=0,得到如下的結(jié)構(gòu)圖G1(s)G2(s)H(s)r(t) e(t) e*(t) d(t) b(t) c*(t)c(t)+G1(s)G2(s)H(s)r(t) e*(t) c*(t)c(t)北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化582022/7/25根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義可

19、知整理可得到：于是得到： 北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化592022/7/25輸出的Z變換響應(yīng)為：于是得到閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)GB(z)為: 定義誤差脈沖傳遞函數(shù)Ge(z)為北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化602022/7/25 已知采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示，求系統(tǒng)的輸出脈沖響應(yīng)y(z)。b*(t)G(s)H(s) r(t) c*(t)c(t) 例8-13解：由脈沖傳遞函數(shù)定義及串連環(huán)節(jié)的連接方式，可列寫(xiě)出如下式子 所以， 將B(z)代入Y(z)中，有北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化612022/7/25結(jié)論：有時(shí)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)是寫(xiě)不出來(lái)的，當(dāng)對(duì)輸入信號(hào) 或偏差處沒(méi)有采樣時(shí)；開(kāi)關(guān)個(gè)數(shù)不同時(shí)得到的 不同

20、，位置不同得到的 也不同；推導(dǎo)過(guò)程中不能在任意地方取采樣的拉氏變換，必須在真正有采樣的地方才能做采樣信號(hào)的拉氏變換。輸入和輸出地方，加的是虛擬采樣，不是真的采樣，只有對(duì)于單獨(dú)的輸入輸出信號(hào)（不與其它信號(hào)有相乘或疊加關(guān)系），虛擬采樣才有作用。北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化622022/7/258.6 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一、S域到Z域的映射二、線性采樣系統(tǒng)Z平面穩(wěn)定的充要條件三、 Z 域到W域的映射四、用勞斯判據(jù)判定采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化632022/7/25一、S域到Z域的映射在Z平面上，上式表示單位圓可見(jiàn)S平面上的虛軸，映射到Z平面，是以原點(diǎn)為圓心的單位圓，且左半S平面對(duì)

21、應(yīng)單位圓內(nèi)的區(qū)域。當(dāng)=0，即s平面的虛軸,對(duì)應(yīng)Z平面的單位圓。 當(dāng)0，即s左半平面對(duì)應(yīng)Z平面的單位圓內(nèi)。根據(jù)Z變換定義，有 ，假定在s平面上任有一點(diǎn) ，則通過(guò)Z變換，映射到Z平面為北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化642022/7/25二、線性采樣系統(tǒng)Z平面穩(wěn)定的充要條件設(shè)采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)特征方程為線性采樣系統(tǒng)Z平面穩(wěn)定的充要條件是，閉環(huán)系統(tǒng)的全部特征根均位于Z平面的單位圓內(nèi)，即滿(mǎn)足北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化652022/7/25已知離散控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示，采樣周期T=1秒，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：閉環(huán)特征方程 1+G(z)=0 z2+4.952z+0.368=0 z1=-0.

22、076 z2=-4.876例8-14 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根有一個(gè)在單位圓外，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。 r (t) c* (t) c (t) T 北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化662022/7/25在離散系統(tǒng)中，引進(jìn)雙線性映射。 令 或 其中z和w可寫(xiě)為 于是有 三、 Z 域到W域的映射北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化672022/7/25 當(dāng)x2 +y2=1即對(duì)應(yīng)Z平面上的單位圓; u=0 即W平面上的虛軸; 當(dāng)x2 +y21 即Z平面上單位圓內(nèi)的部分，也即穩(wěn)定域; u1 即Z平面上單位圓內(nèi)外的部分，也即不穩(wěn)定域； u0 即右半W平面對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定域。北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化682022/7/25圖8-24

23、Z平面到W平面映射 線性離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：線性離散閉環(huán)控制系統(tǒng)特征方程的根的模小于1；或者其W變換的特征根全部位于W平面的左半平面。北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化692022/7/25四、用勞斯判據(jù)判定采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性 如圖7-24所示，在W平面中，離散系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍已經(jīng)變?yōu)閃平面的左半平面，因此可以應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷穩(wěn)定性。求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。例8-15北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化702022/7/25解：1、求系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)查表得：2、特征方程為：3、對(duì)特征方程進(jìn)行雙線性變換，代入T=0.25s北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化712022/7/25整理得：4、應(yīng)用勞斯判

24、據(jù)，勞斯表為：根據(jù)勞斯判據(jù)，為使采樣系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)有2.736-0.1580，得使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍是0K0。對(duì)于二階線性采樣系統(tǒng)，當(dāng)K大于某一值，系統(tǒng)將不穩(wěn)定，可見(jiàn)，加入采樣開(kāi)關(guān)，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利，如果提高采樣頻率，穩(wěn)定性將得到改善。北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化722022/7/258.7 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一、采樣系統(tǒng)的類(lèi)型二、應(yīng)用終值定理求給定穩(wěn)態(tài)誤差終值三、用靜態(tài)誤差系數(shù)求給定穩(wěn)態(tài)誤差終值北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化732022/7/25一、采樣系統(tǒng)的類(lèi)型 設(shè)采樣系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖函數(shù)為G(z)，當(dāng)G(z)具有0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)z1的極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)分別為0型，I型，II型系統(tǒng)。二、應(yīng)用終值定理

25、求給定穩(wěn)態(tài)誤差終值 設(shè)采樣系統(tǒng)是單位負(fù)反饋系統(tǒng)，則給定誤差脈沖傳遞函數(shù)為：北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化742022/7/25根據(jù)終值定理，給定穩(wěn)態(tài)誤差終值為：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于G(z)和輸入信號(hào)R(z)。三、用靜態(tài)誤差系數(shù)求給定穩(wěn)態(tài)誤差終值1、靜態(tài)位置誤差系數(shù)2、靜態(tài)速度誤差系數(shù)北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化752022/7/253、靜態(tài)加速度誤差系數(shù)單位階躍輸入時(shí)，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值為單位斜坡輸入時(shí)，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值為T(mén)為采樣周期單位加速度輸入時(shí)，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值為北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化762022/7/25采樣系統(tǒng)如圖，零階保持器的傳遞函數(shù)為 ，被控對(duì)象的傳遞函數(shù) ，

26、采樣周期T=0.25s，確定系統(tǒng)的類(lèi)型，并求出斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。例8-16北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化772022/7/25查表得與上式對(duì)應(yīng)的Z變換。系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)解：1、求系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，系統(tǒng)有一個(gè)Z=1的極點(diǎn)，所以為I型系統(tǒng)。北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化782022/7/252、求出斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差由終值定理可得到：北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化792022/7/258.8 采樣系統(tǒng)的暫態(tài)特性分析1.時(shí)域的瞬態(tài)響應(yīng)分析方法2.閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響 3.Z平面的根軌跡法 北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化802022/7/251.時(shí)域

27、的瞬態(tài)響應(yīng)分析方法 通常離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)可表示為如下形式 (為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)沒(méi)有重根)：當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位階躍時(shí)，其系統(tǒng)輸出Y(z)為：北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化812022/7/25展開(kāi)成部分分式，有式中于是可以通過(guò)Z反變換得到y(tǒng)(k)，即得到時(shí)域解，并以此進(jìn)行采樣系統(tǒng)的時(shí)域分析北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化822022/7/252.閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響 北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化832022/7/25振蕩周期為： 即經(jīng)過(guò)次采樣后輸出振蕩一個(gè)周期，或者說(shuō)是輸出在一個(gè)振蕩周期內(nèi)采樣了次。 圖8-25 閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)分布與瞬態(tài)響應(yīng)復(fù)平面上的極點(diǎn)全為共軛： 北科大 信息工程學(xué)院

28、自動(dòng)化842022/7/25北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化852022/7/25例8-18采樣系統(tǒng)如圖，零階保持器的傳遞函數(shù)為 ，被控對(duì)象的傳遞函數(shù) ，采樣周期T=0.25s，確定系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)。北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化862022/7/25解：1、求系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)2、求采樣系統(tǒng)的閉環(huán)輸出響應(yīng)北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化872022/7/25超調(diào)量：72.9%上升時(shí)間：1.5T 峰值時(shí)間：2T調(diào)節(jié)時(shí)間：28Tty(kT)13、長(zhǎng)除法或反變換發(fā)求時(shí)域輸出響應(yīng)y(kT) 北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化882022/7/253.Z平面的根軌跡法 設(shè)采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)特征方

29、程為注意到平面也是一個(gè)復(fù)平面，則有平面的幅值條件如下：平面的相角條件：平面的幅值條件和相角條件與前面介紹的平面根軌跡毫無(wú)兩樣，因此在規(guī)則和畫(huà)法上是完全一致的。北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化892022/7/25 已知采樣系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 試?yán)L制該采樣系統(tǒng)的根軌跡圖。 解：極點(diǎn)Z=0，Z=-1， 分離點(diǎn)：d=-0.5 漸近線：=900 =-0.5 根軌跡圖如右圖示。例8-19K=0.25K=0K=0KK-1jZ北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化902022/7/25連續(xù)系統(tǒng)離散化的三個(gè)條件采樣方式為以常數(shù)T為周期的等間隔采樣，采樣時(shí)間T采樣周期T滿(mǎn)足香農(nóng)采樣定理保持器為零階保持器連續(xù)系統(tǒng)保持器計(jì)

30、算機(jī)采樣器D/AA/Du(t)u(k)y(t)y(k)8.9 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述8.9.1 連續(xù)系統(tǒng)的離散化北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化912022/7/25近似離散化 當(dāng)T很小時(shí)，有 整理可得：北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化922022/7/25由狀態(tài)方程的解可知：令 并注意到此時(shí) 比較此式與離散化后的離散狀態(tài)方程不難得到：(令： 當(dāng) 時(shí)，t=T 當(dāng) 時(shí)，t=0) 離散化方法-定常系統(tǒng)北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化932022/7/25試將下列狀態(tài)方程離散化解：(1)用狀態(tài)方程的解離散化例8-20北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化942022/7/25(2)近似離散：T的大小對(duì)近似算法精度的影響見(jiàn)P75中的表2-1北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化952022/7/25離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的兩種解法：遞推法迭代法Z變換法只能用于求解定常系統(tǒng)一、遞推法(迭代法) 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：8.9.2離散狀態(tài)方程的解 北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化962022/7/25這個(gè)一階差分方程組的解為：證：用迭代法解矩陣差分方程：北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化972022/7/25 k=0 ： k=1 ： k=2 ： k=k-1 ： 這就是前面的通式北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化982022/7/25整理成矩陣表達(dá)式：容易記憶 北科大 信息工程學(xué)院 自動(dòng)化992022/7/25二、Z變換法 北