高中數(shù)學(xué)第六章平面向量初步6.2.3平面向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算學(xué)案新人教B版必修第二冊(cè)

1、- -i -2.3平面向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算學(xué)I聚焦考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)向量的止交分解了解平向向量的正交分解，掌握向量的坐標(biāo)表小數(shù)學(xué)抽象平面向量的坐標(biāo)理解平面向量坐標(biāo)的概念，掌握兩個(gè)向量和、差及數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算兩種坐標(biāo)的區(qū)別掌握平向向量的坐標(biāo)與平囿內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系數(shù)學(xué)抽象向量共線能根據(jù)平面向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共 線；并掌握三點(diǎn)共線的判斷方法邏輯推理、數(shù)學(xué)建模研讀，導(dǎo)學(xué)曾鳳W問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P160 P166的內(nèi)容，思考以下問題：.兩個(gè)向量垂直如何定義？. 一個(gè)向量如何正交分解？.向量的坐標(biāo)定義是什么？.如何由a, b的坐標(biāo)求a+b, a- b,入a的坐標(biāo)？.如何利

2、用向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示兩個(gè)向量共線？新知初探.平面向量的坐標(biāo)平面上的兩個(gè)非零向量 a與b,如果它們所在的直線互相垂直，我們就稱向量a與b垂直,記作ab.規(guī)定零向量與任意向量都垂直.如果平面向量的基底ei, e2中，e，e2,就稱這組基底為正交基底；在正交基底下向量 的分解稱為向量的正交分解.一般地，給定平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量ei, e2,對(duì)于平面內(nèi)的向量 a,如果a= xei+ ye2,則稱(x, y)為向量a的坐標(biāo)，記作 a=(x, y).方便起見，以后談到平面直角坐標(biāo)系時(shí)，默認(rèn)已經(jīng)指定了與x軸及y軸的正方向同向的兩個(gè)單位向量.此時(shí)，如果平面上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x, y)(通常記為A(x,

3、 y),那么向量OA寸應(yīng)的坐標(biāo)也為(x, y),即OA= (x, y)；反之結(jié)論也成立.平面上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系設(shè)平面上兩個(gè)向量 a, b滿足a=(xi, yi), b=(x2, y2),則a=b?xi=X2_且 yi = y2； a+b=(xi + X2, yi + y2).設(shè) u, v 是兩個(gè)實(shí)數(shù)，那么ua+ vb =(UX1 + VX2,uyi + vy2),uia vb= (uxivx2,uyivy2).如果向量 a = (x, y),則 | a| =X2+y2.名師點(diǎn)撥(1)向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)，而與它們的具體位置無關(guān).(2)當(dāng)向量確定以后，向量的坐標(biāo)就是唯一確

4、定的，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式設(shè)A(xi, yi), B(X2, y2)為平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，則AB= (X2 xi,平一小)；A氏 | 俞=A (X2 Xi) 2+ (y2yi) 2設(shè)線段AB中點(diǎn)為M(x, y),則Xi + X2X= 2 y=yi + y22w.4.向量平行的坐標(biāo)表不設(shè) a=(xi, yi), b=(X2, y2),則 a b? X2yi = xiy2.名師點(diǎn)撥兩向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，這種形式較易記憶，而且不易出現(xiàn)搭配錯(cuò)誤.自我檢測(cè).a判斷正誤(正確的打“，”，錯(cuò)誤的打“x”) TOC o 1-5 h z 若O為坐

5、標(biāo)原點(diǎn)，OA= (2 , i),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2 , i).()(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2, i),則以A為終點(diǎn)的向量的坐標(biāo)為(2 , i).()平面內(nèi)的一個(gè)向量 a,其坐標(biāo)是唯一的.()xi yi(4)右 a=(xi, yi) , b=(X2, y2)且 bw。，則, = ()X2 y2答案：(i) V (2) X (3) V (4) X已知向量OA= (3, 2), Ob= ( 5, -i),則向量2AB勺坐標(biāo)是()iiA. 4, 2B. 4,-C. (-8, i)D. (8, i)解析：選 A.AB=OB-OA= (5, i)(3, -2)=(8, i),i3，i2AB= - 4, 2

6、.下列各對(duì)向量中，共線的是()B. a=(2 , 3) , b=(4, 6)A. a=(2 , 3), b=(3 , 2)a=( ；2, - 1)解析：選D.A, B,C中各對(duì)向量都不共線,a=(1 , p , b=(倨D中b =、/2a,兩個(gè)向量共線.2)已知a=( -3,2) , b= (6 , y),且 a / b,貝U y =解析：因?yàn)閍 / b,所以-3解得 y= -4.答案：4rf講練互動(dòng)解窸部克突破I探究點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)表不的巨如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知OA= 4,AB= 3,/AOx= 45,/ OAB= 105OA= aAB= b,四邊形 OABCj平行四邊形.求

7、向量a, b的坐標(biāo);(2)求向量BA勺坐標(biāo);求點(diǎn)B的坐標(biāo).【解】(1)作AML x軸于點(diǎn)一2貝U OM= OA cos 45=4X 22-=22,AM= OA sin 45=4X乎=2啦,所以代2啦，2啦)，故2=(2啦，2& .因?yàn)? AO仔 180 105 =75 , Z AOy= 45 ,所以/ COy= 30 .又 OC= AB= 3,所以 c3,323,所以回0降-2 323 ,(2)孤一正 |, 323 .(3)因?yàn)?&加危=(2 小,2p + -|, 32P=2#-|, 2小 + 孚.所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2、J2-|, 2/l + 3|3).平面內(nèi)求點(diǎn)、向量坐標(biāo)的常用方法(1)求一

8、個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：可利用已知條件，先求出該點(diǎn)相對(duì)應(yīng)坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)， 該坐標(biāo)就等于相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).(2)求一個(gè)向量的坐標(biāo)：首先求出這個(gè)向量的始點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去始 點(diǎn)坐標(biāo)即得該向量的坐標(biāo).已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A在第一象限，|Oa = 4/I, /xOA= 60(1)求向量OA勺坐標(biāo)；(2)若國淄，一1),求BA的坐標(biāo).解：(1)設(shè)點(diǎn) A：x, y),則 x=4/3cos 60 = 2V3, y = 43sin 60 = 6,即 A：2v3, 6),所以 OA= (2鎘，6). (2)BA= (23, 6)-(V3, 1)=(V3, 7).櫬究點(diǎn)酉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例 (1)已

9、知 a+b=(1, 3), a-b= (5 , 7),則 a=, b =.(2)已知 A( -2, 4) , B(3 , 1) , q 3, 4),且CM= 3CA CN4= 2Cb 求 M N及Ml的坐 標(biāo).【解】(1)由 a+ b= (1 , 3) , a- b= (5 , 7),所以 2a=(1 , 3) + (5, 7)=(6, 10),所以 a= (3 , 5),2b= (1 , 3) (5, 7)=(4, 4),所以 b=( 2, - 2).(2)法一(待定系數(shù)法)：由 A( 2, 4) , R3 , 1), C(-3, -4),可得加(2, 4)-(-3, 4)=(1, 8),C

10、B- (3, 1) (3, 4)=(6, 3),所以碗 3CA= 3(1, 8)=(3, 24),Cn= 2CB- 2(6 , 3) =(12 , 6).設(shè) M(X1,，)，N(X2, v*，則CM= (X1+3, V1 + 4) = (3 , 24) , X1=0, y1=20;CN= (X2 + 3, y2 + 4) = (12 , 6) , X2= 9, y2 = 2,所以 M。， 20), N(9 , 2),MN= (9 , 2) - (0 , 20) = (9 , 18).法二(幾何意義法 廣 設(shè)點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，則由CMi= 3CA CN= 2cBi._,1 7 可得OMFOC= 3

11、(OWOC, ON- OC= 2(O9 OC,從而 Om= 3條 2OC ON= 2OBOC所以 Om= 3( -2, 4) -2(-3, 4) = (0, 20),ON= 2(3, 1)( 3, 4)=(9, 2),即點(diǎn) M0 ， 20), N(9 , 2),故MN= (9, 2) (0, 20) = (9, 18).國回回國平面向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算的方法(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行.(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算.(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.若 A, B, C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2

12、 , 4) , (0 , 6) , ( - 8, 10),求AB+ 2BC,解：因?yàn)?Ab-(2, 10), BC= ( 8, 4), XC= ( 10, 14),所以AB+ 2BC= (-2, 10) +2( -8, 4)=(-2, 10) + ( 16, 8)=( 18, 18),BC- 1Ab= (8, 4)-1(-10, 14)=(-8, 4)-(-5, 7)=(3, 3).判定直線平行、三點(diǎn)共線例31 (1)已知A, B, C三點(diǎn)共線，且A(3, 6) , B(5, 2),若C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6,則C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為()B.A. 13C. - 9D.13(2)已知 A(1, 1), B(1

13、, 3), Q1 , 5), D(2,7),向量A的CDF行嗎？直線 AB平行于直線CD嗎?【解】選C.設(shè)Q6,y),因?yàn)?AB/AC又AB= ( -8, 8) , AC= (3y+6),所以一8X( y+ 6) 3X8=0,所以y= 9.(2)因?yàn)?AB= (1( 1), 3-(-1) =(2, 4),CD= (2 - 1, 7-5) =(1 , 2).又 2X2 4X1= 0,所以 AB/CD又AC= (2 , 6), AB= (2 , 4),所以 2X4 2X60,所以A, B, C不共線,所以AB與CK重合,所以AB/ CD圖國國向量共線的判定方法利用向景共線定理，由。=兒小訪洪明 揪

14、出“卜利用向我報(bào)的坐標(biāo)表達(dá)式的力 =#講直抵求群蹤訓(xùn)婚1已知 A(1 , 3) , B8, 2 , C(9 , 1),求證：A B, C三點(diǎn)共線.證明：由題得，AB= 8 1, 1 + 3一 7 f 小，、7, 2 , AC= (9 1, 1+3)= (8, 4),因?yàn)?7X4(X8=0,所以XB/ AC 且屆 品有公共點(diǎn) A,所以A B, C三點(diǎn)共線.臊究點(diǎn)國,已知平面向量共線求參數(shù)例 已知a=(1 , 2), b=( -3, 2),當(dāng)k為何值時(shí)，ka+b與a3b平行？平行時(shí)它 們是同向還是反向？【解】法一(共線向量定理法 廣ka+b= k(1 , 2) + (3, 2) = (k-3, 2

15、k+2),a-3b=(1 , 2)-3(-3, 2) =(10, 4),當(dāng)ka+ b與a 3b平行時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)入,使 ka+ b=入(a 3b).由(k3, 2k+2)=入(10 , 4),所以k- 3= 10 入,2k + 2= 4 入,1當(dāng)k=1時(shí)，ka+b與a3b平行, 3這時(shí)ka+b= 3a+b= 3( 3b)因?yàn)?X = - - r ,1解得k=43此時(shí) ka + b= 3,石+ 2 = (a 3b),333,1 , 一， 所以當(dāng)k=w時(shí)，ka+b與a3b平行，并且反向. 3圖陶法國已知平面向量共線求參數(shù)的思路(1)利用共線向量定理 a=入b(bw0)列方程組求解.(2)利用向量

16、平行的坐標(biāo)表達(dá)式X1y2 X2y1= 0直接求解.已知a= (1 , 1) , b = (x2, x+入)且a / b,則實(shí)數(shù) 入的最小值是 解析：因?yàn)閍 / b,所以x2-x-入=0,14,21 21即入=x x= x2 4一 ，一-1所以入的最小值為一不答案：-14標(biāo)反饋眼證，反懂，速標(biāo).給出下面幾種說法:相等向量的坐標(biāo)相同；平面上一個(gè)向量對(duì)應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo)；一個(gè)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于唯一的一個(gè)向量；平面上一個(gè)點(diǎn)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)，該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng). TOC o 1-5 h z 其中正確說法的個(gè)數(shù)是()A. 1B. 23D. 4解析：選C.由向量坐標(biāo)的定義不難看出一個(gè)坐標(biāo)可對(duì)應(yīng)無數(shù)個(gè)相等的向量

17、，故錯(cuò)誤.下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()a=(0 , 0), b=(2 , 3)a=(1 , 3), b=(2, 6)a=(4 , 6), b=(6 , 9)a=(2 , 3), b=(-4, 6)解析：選D.只有D選項(xiàng)中兩個(gè)向量不共線，可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的一 組基底，故選D.已知兩點(diǎn)A(2 , 1), B(3, 1),則與ABT行且方向相反的向量a可以是()B. (9, 3)C. (2, 4)( -4, 8)解析：選D.由題意，得AEk (1 ,2),所以a= XAB (入，2入)(其中入v 0).符合條件的只有D項(xiàng)，故選D.4.已知平行四邊

18、形OABC其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 A(2 , 1) , B(1 , 3),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為解析：設(shè)C的坐標(biāo)為(x, y),則由已知得OoAh所以(x, y)=(1, 2).答案：(一1, 2)5.已知點(diǎn)A(1 , 3) , R4, 1),則與向量A洞方向的單位向量為 一一一 Ab134解析：AB= (3, 4),則與AW萬向的單位向量為- = 5(3 , 4)=石，一5 .5答案:強(qiáng)比用伏，通茶 .A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) TOC o 1-5 h z .下列各組向量中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是()e1 = (0,0), e2= (1,-2)e1 = ( - 1,2) , e2=(5,7)a =

19、 (3,5), e2=(6,10)13e1 = (2,-3) , e2=2,- 4一，一 一，一一，1 ,，解析：選 B.A中向重 a 為零向重，所以 e1/e2； C中e1=/e2,所以 a/e2； D中e1 = 4&,所以eU/ 故選B.一， 1 .已知M3, 2), N(5, 1)且Me 2MN則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()3A. ( 8, 1)B. 1,-解析：選c.因?yàn)镸p= 1MN所以O(shè)p-Om= 2(O4Om, Op= OMF ONk g(3，-2)+2(5,-1) =-1,3即點(diǎn)P坐標(biāo)為一1, -2 .1.已知 a-2b=(1 , 2), a+b=(4 , 10),則 a 等于()A.(2

20、,-2)B.(2, 2)C.(2,2)D.(2 , 2)解析：選 D.由已知得 2ab=(2, 4), a+b=(4, 10),所以 3a=(6, 6) , a=(2 , 2).4,設(shè)向量a=(1, 3), b=( 2, 4),若表示向量4a, 3b 2a, c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量 c等于()A. (1 , 1)B. (-1, 1)C. (4, 6)D. (4, 6)解析：選D.因?yàn)?a, 3b2a, c對(duì)應(yīng)的有向線段首尾相接，所以4a+ 3b2a + c= 0,故有 c= 2a3b= 2(1 , -3)-3(-2, 4)=(4, 6). TOC o 1-5 h z 5.已知

21、點(diǎn)A(1, 2) ,B(2, 4) ,C(-3,5).若BP=孤 miB。且點(diǎn)P在y 軸上，則m()1A. -2B-5C. - 1D. 25解析：選B.設(shè)Rx, y),由題意AP= miBC所以, 156 所以p( 5m 1,2),又點(diǎn)P在y軸上，所以一5m 1 = 0, m= 1.y2=n5.已知 A( 1, 4) , B(x, 2),若 C(3, 3)在直線 AB 上，則 x =.解析：AB (x+1, 6), AC (4, 1),因?yàn)锳B/AC 所以一(x+1)+24=0,所以 x=23.答案：23.向量a, b, c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若 c=入a+(1 b(入，R) ,則4

22、= (1解析：以向量a的終點(diǎn)為原點(diǎn)，過該點(diǎn)的水平和豎直的網(wǎng)格線所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系 xOy,設(shè)一個(gè)小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為 1,則 a=(-1, 1) , b=(6, 2) , c=( -1, -3).由 c=入 a +(ib, 即(一1, - 3)=入(-1, 1)+(! (6, 2),得一入+ 6(1=1,入+2|i = 3,故 人=2,所以 * = 4.211答案：48.已知向量 a= (1,2), b= (2,3), c= (3 , 4),且 c=入 ia+ 入 2b,貝U 入 1+ 入 2=解析：由c=入舊+入2b,得(3 , 4)=1 1(1 , 2) + 入 2(2

23、 , 3),所以入 1+2 入 2=3,2 入 i + 3 入 2=4,解得入i=1,入 2= 2,所以入1+入2=1.答案：1.已知向量 a=(2 , 1), b=(1 , 1) , c=(5, 2) , m 入 b+c(入為常數(shù)).(1)求 a+ b；(2)若a與 WH亍，求實(shí)數(shù) 入的值.解：(1)因?yàn)?a=(2 , 1), b=(1 , 1),所以 a+b=(2, 1)+(1, 1) = (3, 2).(2)因?yàn)?b=(1 , 1) , c=(5 , 2),所以 m 入 b+c=入(1 , 1) + (5, 2)=(入+5,入+2).又因?yàn)閍= (2 , 1),且a與m平行，所以2(入+

24、2)=入+5,解得 入=1.已知 A( -2, 4), B(3 , 1), q 3, 4),設(shè)AB= a, Bc= b, CA= c,且 CMl= 3c, CN=-2b.(1)求 3a+ b3c；(2)求滿足a= mb+ nc的實(shí)數(shù) m n.解：由已知得 a=(5, 5), b=(-6, 3), c=(1, 8).(1)3 a+b3c = 3(5 , 5)+(6, - 3) -3(1 , 8)= (15 6 3, - 15-3-24) = (6 , 42).(2)因?yàn)?m)+ nc= ( 6m n, 3m 8n) = (5 , - 5),所以-6m n=5,3m 8n= 5,解得- 1,n= - 1.B能力提升.已知A( -3, 0), B(0, 2), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) C在/AO咕，且/ AO8 45。，設(shè)O件XOA (1 入)OB入e R),則入的值為()B.31C.5A.5D.2解析：選C.如圖所示，因?yàn)? AO仔45設(shè) C(x, x),則 OG=