閱讀材料 (2)

1、約瑟夫拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，17361813）全名為約瑟夫路易斯拉格朗日， HYPERLINK /item/%E6%B3%95%E5%9B%BD/1173384 t /_blank 法國著名 HYPERLINK /item/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AE%B6/1210991 t /_blank 數(shù)學(xué)家、 HYPERLINK /item/%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E5%AE%B6/2353 t /_blank 物理學(xué)家。1736年1月25日生于 HYPERLINK /item/%E6%84%8F%E5%A4%A7%

2、E5%88%A9/148336 t /_blank 意大利 HYPERLINK /item/%E9%83%BD%E7%81%B5/84807 t /_blank 都靈，1813年4月10日卒于 HYPERLINK /item/%E5%B7%B4%E9%BB%8E/858 t /_blank 巴黎。他在 HYPERLINK /item/%E6%95%B0%E5%AD%A6/107037 t /_blank 數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個學(xué)科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻(xiàn)，其中尤以數(shù)學(xué)方面的成就最為突出。數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)分析的開拓者牛頓和萊布尼茲以后的歐洲數(shù)學(xué)分裂為兩派。英國仍堅持牛頓在自然哲學(xué)中的數(shù)學(xué)原理中的幾何方法，

3、進(jìn)展緩慢；歐洲大陸則按萊布尼茲創(chuàng)立的分析方法（當(dāng)時包括代數(shù)方法），進(jìn)展很快，當(dāng)時叫分析學(xué)（analysis）。拉格朗日是僅次于歐拉的最大開拓者，在18世紀(jì)創(chuàng)立的主要分支中都有開拓性貢獻(xiàn)。變分法這是拉格朗日最早研究的領(lǐng)域，以歐拉的思路和結(jié)果為依據(jù)，但從純分析方法出發(fā)，得到更完善的結(jié)果。他的第一篇論文“極大和極小的方法研究”（Recherches sur la mthode demaximis et minimies）2是他研究變分法的序幕； 1760年發(fā)表的“關(guān)于確定不定積分式的極大極小的一種新方法”（Essai dunenouvelle mthode pour dterminer les ma

4、xima et les minima desformules integrales indfinies）3是用分析方法建立變分法的代表作。發(fā)表前寫信給歐拉時，稱此文中的方法為“變分方法”（themethod of variation）。歐拉肯定了，并在他自己的論文中正式將此方法命名為“變分法”（the calculus of variation）。變分法這個分支才真正建立起來。微分方程早在都靈時期，拉格朗日就對變系數(shù)常微分方程研究做出重大成果。他在降階過程中提出了以后所稱的伴隨方程，并證明了非齊次線性變系數(shù)方程的伴隨方程的伴隨方程，就是原方程的齊次方程。他還把歐拉關(guān)于常系數(shù)齊次方程的結(jié)果推廣到

5、變系數(shù)情況，證明了變系數(shù)齊次方程的通解可用一些獨立特解乘上任意常數(shù)相加而成；而且在知道方程的m個特解后，可以把方程降低m價。在柏林時期，他對常微分方程的奇解和特解做出歷史性貢獻(xiàn)，在1774年完成的“關(guān)于微分方程特解的研究”（Sur les intgralesparticulieres des equations diffrentielles）22中系統(tǒng)地研究了奇解和通解的關(guān)系，明確提出由通解及其對積分常數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)消去常數(shù)求出奇解的方法；還指出奇解為原方程積分曲線族的包絡(luò)線。當(dāng)然，他的奇解理論還不完善，現(xiàn)代奇解理論的形式是由G.達(dá)布（Darboux）等人完成的。常微分方程組的研究在當(dāng)時結(jié)合天體力

6、學(xué)中的課題進(jìn)行。拉格朗日在1772年完成的“論三體問題”（Essai sur le problmedes trois corps）8中，找出了三體運動的常微分方程組的五個特解：三個是三體共線情況；兩個是三體保持等邊三角形；在天體力學(xué)中稱為拉格朗日平動解。他同拉普拉斯一起完善的任意常數(shù)變異法，對多體問題方程組的近似解有重大作用，促進(jìn)了攝動理論的建立。拉格朗日是一階偏微分方程理論的建立者，他在1772年完成的?！瓣P(guān)于一階偏微分方程的積分”（Sur lintegration des quationau differences partielles du premier order）21和1785年完

7、成的“一階線性偏微分方程的一般積分方法”（Mthode gnrale pourintgrer les equations partielles du premier order lorsque cesdifferences ne sont que linaires）23中，系統(tǒng)地完成了一階偏微分方程的理論和解法。他首先提出了一階非線性偏微分方程的解分類為完全解、奇解、通積分等，并給出它們之間的關(guān)系。后來又進(jìn)一步證明了解線性方程Pp+Qq=R(P，Q，R為x，y，z的函數(shù))(5)與解等價，而解(6)式又與解常微分方程組等價。(5)式至今仍稱為拉格朗日方程。有趣的是，由上面已可看出，一階非線性偏微

8、分方程，可以化為解常微分方程組。但拉格朗日自己卻不明確，他在1785年解一個特殊的一階偏微分方程時，還說不能用這種方法，可能他忘記了自己在1772年的結(jié)果。現(xiàn)代也有時稱此方法為拉格朗日方法，又稱為柯西(Cauchy)的特征方法。因拉格朗日只討論兩個自變量情況，在推廣到n個自變量時遇到困難，而后來由柯西在1819年克服。方程論18世紀(jì)的代數(shù)學(xué)從屬于分析，方程論是其中的活躍領(lǐng)域。拉格朗日在柏林的前十年，大量時間花在代數(shù)方程和超越方程的解法上。他在代數(shù)方程解法中有歷史性貢獻(xiàn)。在長篇論文“關(guān)于方程的代數(shù)解法的思考”（Rflexions sur le resolution algbrique deseq

9、uations，全集， pp 205421）中，把前人解三、四次代數(shù)方程的各種解法，總結(jié)為一套標(biāo)準(zhǔn)方法，而且還分析出一般三、四次方程能用代數(shù)方法解出的原因。三次方程有一個二次輔助方程，其解為三次方程根的函數(shù)，在根的置換下只有兩個值；四次方程的輔助方程的解則在根的置換下只有三個不同值，因而輔助方程為三次方程。拉格朗日稱輔助方程的解為原方程根的預(yù)解函數(shù)（是有理函數(shù)）。他繼續(xù)尋找5次方程的預(yù)解函數(shù)，希望這個函數(shù)是低于5次的方程的解，但沒有成功。盡管如此，拉格朗日的想法已蘊含著置換群概念，而且使預(yù)解（有理）函數(shù)值不變的置換構(gòu)成子群，子群的階是原置換群階的因子。因而拉格朗日是群論的先驅(qū)。他的思想為后來的

10、N.H.阿貝爾（Abel）和E.伽羅瓦（Galois）采用并發(fā)展，終于解決了高于四次的一般方程為何不能用代數(shù)方法求解的問題。拉格朗日在1770年還提出一種超越方程的級數(shù)解法。設(shè)p為方程，這就是后來在天體力學(xué)中常用的拉格朗日級數(shù)。他自己沒有討論收斂性，后來由柯西求出此級數(shù)的收斂范圍。函數(shù)和無窮級數(shù)同18世紀(jì)的其他數(shù)學(xué)家一樣，拉格朗日也認(rèn)為函數(shù)可以展開為無窮級數(shù)，而無窮級數(shù)則是多項式的推廣。他還試圖用代數(shù)建立微積分的基礎(chǔ)。在他的解析函數(shù)論（文集）中，書名上加的小標(biāo)題“含有微分學(xué)的主要定理，不用無窮小，或正在消失的量，或極限與流數(shù)等概念，而歸結(jié)為代數(shù)分析藝術(shù)”，表明了他的觀點。由于回避了極限和級數(shù)收斂性問題，當(dāng)然就不可能建立真正的級數(shù)理論和函數(shù)論，但是他們的一些處理方法和結(jié)果仍然有用，他們的觀點也在發(fā)展。拉格朗日就在解析函數(shù)論中，第一次得到微分中值定理（書中第六章）f(b)-f(a)=f(c)(b-a)(acb)，(12)后面并用它推導(dǎo)出泰勒（Taylor）級數(shù)，還給出余項Rn的具體表達(dá)式（第二十章）Rn就是著名的拉格朗日余項形式。他還著重指出，泰勒級數(shù)不考慮余項是不能用的。雖然他還沒有考慮收斂性，甚至各階導(dǎo)數(shù)的存在性，但他強(qiáng)調(diào)Rn要趨于