水文學(xué)2統(tǒng)計(jì)學(xué)補(bǔ)充

1、 水文統(tǒng)計(jì)簡介Hydrologic statistics水文現(xiàn)象具有二重性：水文現(xiàn)象包含著必然性(Inevitability) 水文現(xiàn)象也包含著偶然性(Contingency) ，對水文的偶然現(xiàn)象（或稱隨機(jī)現(xiàn)象）所遵循的規(guī)律一般稱做統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 1. 概述物理成因分析法概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析方法水文分析計(jì)算常用到數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法 進(jìn)行流域或地區(qū)水資源開發(fā)利用，首先要了解流域內(nèi)未來的河道的來水量，以合理規(guī)劃； 進(jìn)行水利工程規(guī)劃設(shè)計(jì)，需弄清未來時(shí)期河流中可能的洪水量及其過程，以確定工程的規(guī)模。 這種對未來長期的徑流情勢（屬隨機(jī)變量）的估計(jì)，只能依據(jù)其統(tǒng)計(jì)規(guī)律，利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行“概率預(yù)估”。 所謂“

2、概率預(yù)估”，即分析水文變量出現(xiàn)大過或小于某個數(shù)值的可能性為多少。2.1 概率和頻率的基本概念 1)概率（Probability） 為了比較某隨機(jī)事件出現(xiàn)（或不出現(xiàn))的可能性大小，必然賦予一種量化的（以數(shù)量表示)指標(biāo)，這個數(shù)量指標(biāo)就是事件的概率。2. 隨機(jī)變量及其分布參數(shù) Random variables & distribution parameters 式中 ，P(A) ：一定條件下隨機(jī)事件A的概率； n ：試驗(yàn)中所有可能的出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)； m ：出現(xiàn)隨機(jī)事件A的結(jié)果數(shù)。簡單(古典)的隨機(jī)事件的概率定義用下式表示：有利于A的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)m為介于0 n之間的數(shù)，即以上公式適合于古典概率事件，其特點(diǎn)

3、是： 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是等可能的； 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果總數(shù)是有限的隨機(jī)事件但水文事件不一定符合這種性質(zhì)。隨機(jī)事件A的概率 對于不是古典概型事件，只能通過多次重復(fù)試驗(yàn)來估計(jì)事件的概率。 設(shè)事件A在n 次隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)了m 次，則定義：2）頻率 （Frequency）為事件A 在n 次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率。 注意：n 不是所有可能的結(jié)果總數(shù)，僅是隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)。皮爾遜試驗(yàn)： 丟幣次數(shù) 出現(xiàn)正面的次數(shù) 頻率 12000 6019 0.5016 24000 12014 0.5005 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) n 不大時(shí)，事件頻率有明顯的不穩(wěn)定性。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) n 增加到充分大時(shí)，事件頻率顯著地出現(xiàn)穩(wěn)定的趨勢，例如： 頻

4、率: 頻率是通過若干次試驗(yàn)后才能求得的經(jīng)驗(yàn)值，事先不能確定，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n愈大，即當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，理論上，n變成試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果總數(shù)，則頻率愈接近概率。概率和頻率的區(qū)別： 概率: 在等可能條件下，表達(dá)事件客觀上出現(xiàn)的可能性大小，是一個理論值。 因此，當(dāng)事件不能歸結(jié)為古典概率型時(shí)就可以通過多次試驗(yàn)，把事件的頻率作為事件的概率近似值。一般將這樣估計(jì)而得的概率稱為統(tǒng)計(jì)概率/經(jīng)驗(yàn)概率。 因?yàn)楦鞣N水文要素其可能出現(xiàn)的總數(shù)是無限的，可見水文現(xiàn)象的概率不能視為古典概率。因此，通常將有限的實(shí)測水文數(shù)據(jù)當(dāng)作多次重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果，故可用上式（ ，式中n為事件A 隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)）推求的頻率作為概率的近似值。1）隨機(jī)變

5、量（ Random variable） 用以表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的一個數(shù)量(事先是未知的)，由于它事先不能確定，是隨機(jī)的，稱為隨機(jī)變量。水文現(xiàn)象中的隨機(jī)變量，一般指某個水文特征值(如年徑流量、年降雨量、洪峰流量等)。2.2. 隨機(jī)變量及其分布參數(shù) 總體 （Population/Totality） 在統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)中，把某種隨機(jī)變量所取數(shù)值的全體，稱為總體。 水文變量如年徑流量的總體數(shù)是無窮的，故無法取得總體。統(tǒng)計(jì)學(xué)中幾個概念： 樣本（Sample） 從總體中不帶主觀成分任意抽取的一部分，稱為樣本。樣本所包含的項(xiàng)數(shù)，稱為樣本容量。 如實(shí)測的水文數(shù)據(jù)是有限的，是一樣本。 它是指隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的一個數(shù)量。在水文

6、學(xué)中，常用大寫字母表示，記作X，而隨機(jī)變量的可能取的值記作x，即： X = x1, X = x2, X = xn 一般稱之為隨機(jī)系列或隨機(jī)數(shù)列。 隨機(jī)變量的表示: 離散型隨機(jī)變量 Discrete random variable 隨機(jī)變量僅取得區(qū)間內(nèi)某些間斷的離散值，則稱為離散型隨機(jī)變量。如洪峰次數(shù)，只能取0, 1, 2，不能取相鄰兩數(shù)值之間的任何值。隨機(jī)變量的分類: 連續(xù)型隨機(jī)變量 Continuous random variable 隨機(jī)變量可以取得一個有限區(qū)間內(nèi)的任何數(shù)值，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。如某河流斷面的流量可以取0 極限值之間的任何實(shí)數(shù)值。 對于離散型隨機(jī)變量： 隨機(jī)變量的取某一可

7、能值的機(jī)會有的大有的小，即隨機(jī)變量取值都有一定的概率與之相對應(yīng)，可表示為：2）隨機(jī)變量的概率分布 上式中P1, P2, Pn 表示隨機(jī)變量X 取值x1, x2, xn 所對應(yīng)的概率。 x1 x2 x3 x4 xnXP 離散型隨機(jī)變量概率分布圖 一般將這種對應(yīng)關(guān)系稱作隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律，簡稱為分布律?？梢杂靡韵碌姆植紙D形表示： 由于它的所有可能取值有無限個，水文學(xué)上習(xí)慣研究隨機(jī)變量的取值等于或大于某個值的概率，表示為： 它是x的函數(shù)，稱作隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)(Distribution function)，記作F(x)，即 F(x)=P(Xx) 表示隨機(jī)變量X大于或等于值x的概率，其幾何曲線

8、稱作隨機(jī)變量的概率分布曲線（水文學(xué)上通常稱累計(jì)頻率曲線，簡稱頻率曲線）。 對于連續(xù)型隨機(jī)變量： 由圖中可知，X=900，相應(yīng)的P(Xx)=0.15，說明大于等于900mm降雨的可能性為15%；同理，大于等于500 mm 降雨的可能性為60%0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0500900年降雨量(mm)某站年雨量概率分布曲線 P(X x) 如果要推求年降雨量介于900mm和500mm之間的概率為多少？ 則，該問題即為求隨機(jī)變量落在某區(qū)間(x, x+x)內(nèi)的概率。 該問題可用統(tǒng)計(jì)概率論中的加法定理來解決。 P(X x)=P(X x+x)+P(x+ x X x) P(x+x X x) = P

9、(X x)-P(X x+x) = F(x)-F(x+x)由概率的加法定理：則，降雨量落在900和500mm的可能性為: 60%-15% = 45% x x+ x PXP(X x)P(Xx+ x)隨機(jī)變量X落在(x ，x+ x) 的概率可用下式表示: 平均概率密度： 隨機(jī)變量落在區(qū)間(x, x+x)的概率與該區(qū)間長度的比值 稱作隨機(jī)變量落在區(qū)間(x, x+x)平均概率。概率密度函數(shù): Probability density function稱 f(x)為概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)。而密度函數(shù)的幾何曲線稱作密度曲線。當(dāng) x 0，取極限得：f(x)f(xi)F(x)xi密度曲線分布曲線xxdx已知概

10、率密度函數(shù)f(x)，可求出隨機(jī)變量X落在(x x+dx)區(qū)間即dx上的概率= f(x)dx，稱之為概率元素，即為圖中的陰影面積；已知概率密度函數(shù)f(x)，可求出隨機(jī)變量 X 概率分布函數(shù)F(x)，其與密度函數(shù)f(x) 有如下的數(shù)學(xué)關(guān)系:證明：注：水文學(xué)中的上限為無窮大，故可認(rèn)為出現(xiàn)無窮大的情況是不可能的，即 F()=P(x )=0 F(x) 分布函數(shù)，反映隨機(jī)變量X超過某個值 x 的概率。 這兩個函數(shù)能完整地描述隨機(jī)變量的分布規(guī)律。 f(x) 密度函數(shù)，反映隨機(jī)變量X落入dx 區(qū)間的平均概率；可見，隨機(jī)變量的二個函數(shù)的物理意義： 在實(shí)際問題中，隨機(jī)變量的分布函數(shù)有各種形式，不易確定，或有時(shí)不一

11、定需要用復(fù)雜的完整的形式來說明隨機(jī)變量的分布規(guī)律，而只要知道其主要特征就可以。故采用隨機(jī)變量的分布函數(shù)和密度函數(shù)中的一些特征參數(shù)（如均值、變差系數(shù)、偏態(tài)系數(shù)），來反映隨機(jī)變量分布的特點(diǎn)：如有的分布集中，有的分布分散，有的分布對稱，有的分布非對稱，等等。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中用以表示隨機(jī)變量這些分布特征的某些參數(shù)，稱之為隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)。3）隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)參數(shù) 平均數(shù) / 數(shù)學(xué)期望 Mean 離散型隨機(jī)變量的平均數(shù)是以概率為權(quán)重的加權(quán)平均值。a. 反映位置特征參數(shù) （Position characteristic parameter） 對于離散型隨機(jī)變量：式中，a、b 分別為隨機(jī)變量 X 取值的上下限。 數(shù)學(xué)

12、期望或平均數(shù)代表整個隨機(jī)變量的總水平的高低，它為分布的中心。 對于連續(xù)的隨機(jī)變量： 該參數(shù)用以反映隨機(jī)變量分布離散程度(相對于隨機(jī)變量分布中心即平均值的差距)的指標(biāo)，通常有以下幾種：b. 反映離散特征參數(shù)(variability) 值愈大，分布愈分散； 值愈小，分布愈集中。 標(biāo)準(zhǔn)差（均方差) (Standard deviation)122 1f(x)x標(biāo)準(zhǔn)差對密度函數(shù)的影響 變差系數(shù)（離差系數(shù)，離勢系數(shù) (Coefficient of variation)CV1CV2CV2 CV1f(x)x變差系數(shù)對密度函數(shù)的影響CV值愈大，分布愈分散；CV 值愈小，分布愈集中。對于均值不同的二個系列，用均方

13、差來比較其離散程度就不合適，則要采用均方差和均值的比值來表示：例子：二個系列：第一系列：5，10，15，第二系列：995，1000，1005，但對于均值的相對離散程度則不同：第一系列：最大值和最小值與均值差都是5，相當(dāng)于均值的5/10=0.5;第二系列：最大值和最小值與均值差都是5，但相當(dāng)于均值的5/1000=0.005，可見該系列對均值的差距極小，比第一系列分布更集中。因此以離差系數(shù)能更好地比較出二系列的離散程度： CV1=0.408 CV2=0.00408f(x)x偏態(tài)系數(shù)對密度函數(shù)的影響當(dāng)密度曲線對 對稱，CS = 0 ；Cs=0Cs0Cs 0 , 稱為正偏；CS 0 , 稱為負(fù)偏。c.

14、 反映對稱特征的參數(shù): 偏態(tài)系數(shù)（偏差系數(shù)) (Coefficient of skewness)(8-8)3.水文中常用的概率分布曲線3.1 正態(tài)分布（ Normal distribution） (8-9)式中， ：平均數(shù)； ：標(biāo)準(zhǔn)差。 許多隨機(jī)變量如水文測量誤差、抽樣誤差等一般服從正態(tài)分布。f (x) a. 單峰，只有一個眾數(shù)； b. 對于平均數(shù)對稱, Cs= 0； c. 曲線二端趨于 ， 并以x 軸為漸近線; d.正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)：數(shù)學(xué)上可以證明：正態(tài)分布的密度曲線在 處出現(xiàn)拐點(diǎn)，而且：f (x)概率密度函數(shù)表達(dá)式： 3.2 皮爾遜 型分布 （Pearson Type III distr

15、ibution）式中, () 的伽瑪函數(shù), , , a 0：三個參數(shù)，與三個統(tǒng)計(jì)參數(shù)有一定的關(guān)系，其表達(dá)式為： 可見，當(dāng)以上三個參數(shù)確定后，P-III型密度函數(shù)亦完全確定。f(x)皮爾遜 型概率密度曲線 a0M0(x)Me(x)xPxP-III型曲線的特點(diǎn)：一端有限另一端無限的不對稱單峰正偏曲線，很多水文變量均符合P-III型分布。(8-10) 在水文計(jì)算中，一般要求出指定概率 P 所相應(yīng)的隨機(jī)變量的取值 xP，即求出的 xP滿足下列等式： 按上式計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，故實(shí)用中，采用標(biāo)準(zhǔn)化變換： 取標(biāo)準(zhǔn)變量(離均系數(shù)) ， 即 代入上式(8-10)，, , a0以相應(yīng)的 和 關(guān)系式表示，簡化后得：0.

16、031.302.473.384.160.20.021.292.403.233.940.10.001.282.333.093.720.0501010.10.01P(%)P CsP-III型曲線離均系數(shù) P 值表 被積函數(shù)含有參數(shù) , Cs ，而 包含在 中，制成 對應(yīng)關(guān)系表： 因此，由給定的CS 及P，從P-III型曲線離均系數(shù) 值表，查出P ，再由下式求：即求出指定概率 P 所相應(yīng)的隨機(jī)變量的取值 xP已知: 某地年平均降雨量 =1000 mm, CV =0.5, CS =1.0,假定年降雨量符合P - III型分布試求：P = 1% 的年降雨量?！舅憷壳蠼猓?由 CS =1.0及P =1%

17、，查附表1得P = 3.02 引入模比系數(shù)： 另一種求解方法：由由此建立 的 對應(yīng)數(shù)值關(guān)系P-III型曲線模比系數(shù) KP 值表（見附表2）上例的解法：由 CV = 0.5, CS = 1.0=2 CV ，P = 1%查附表2得:P-III型曲線模比系數(shù) KP 值表（附表2, P266） P(%)CV0.010.10.20.330.512510205075909599（一） CS=CV0.051.191.161.151.141.131.121.111.091.071.041.000.970.940.920.891.5011.68.858.027.366.876.005.113.923.002.0

18、40.64-0.10-0.53-0.70-0.89（二）CS=1.5CV0.05（三） CS=2CV （三） CS=6CV 隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)在水文計(jì)算中起到十分重要的作用，但由于水文隨機(jī)變量的總體是無限的，這就需要在總體不知道的情況下，靠抽出的樣本(觀測的系列)去估計(jì)總體參數(shù)。4. 隨機(jī)變量系列統(tǒng)計(jì)參數(shù)的估計(jì) Statistical parameters estimation估算方法有： 矩法； 適線法； 極大似然法； 權(quán)函數(shù)法； 4.1 矩法 Method of Momentsa.樣本的算術(shù)平均值: 已知樣本的隨機(jī)系列：x1, x2, x3, xn，分別求樣本的三個統(tǒng)計(jì)參數(shù) 。b.樣本標(biāo)準(zhǔn)差

19、:式中， 稱作模比系數(shù)c.樣本的離差系數(shù):注意：以上三個公式求到的參數(shù)是根據(jù)樣本求參得到，故與相應(yīng)的總體的參數(shù)是不相等的。d. 樣本的偏態(tài)系數(shù):(8-14)式中，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的證明可知： 由矩法求到的樣本平均值 為總體平均數(shù)的無偏估計(jì)量，然而CV , CS 則不是總體相應(yīng)參數(shù)的無偏估計(jì)量，稱為有偏估計(jì)量。故需要對參數(shù)CV , CS 進(jìn)行修正，使其變成無偏估計(jì)量。無偏估計(jì)量： 由統(tǒng)計(jì)學(xué)的定義，若 是未知數(shù) 的估計(jì)量，而且 ，則稱 為 的無偏估計(jì)量。 (當(dāng) n 較大時(shí)) (8-26)(8-25)求 Cv , Cs 的不偏估計(jì)量的修正計(jì)算式： 用上述的無偏估算公式計(jì)算的很多同容量的樣本的統(tǒng)計(jì)參值的均值

20、，可望等于總體的同名參數(shù)。 由于水文系列總體是無限的，而樣本的容量是有限的，因此，由樣本求到的參數(shù)對于總體存在一定的誤差，則稱為抽樣誤差。因此，以樣本參數(shù)替代相應(yīng)的總體參數(shù)時(shí)，必須考慮這一誤差。該誤差無法準(zhǔn)確求到，只能在概率意義下作出某種估計(jì)。抽樣誤差：Sampling error 樣本平均數(shù)的抽樣誤差，可以用抽樣分布中的標(biāo)準(zhǔn)差/均方差 (稱為均方誤)來度量： 同理，與樣本平均數(shù)的抽樣誤差類似，樣本的 CV , CS 的抽樣誤差，可以它們相應(yīng)的抽樣分布的均方誤 來表示 。 因此，只要樣本參數(shù)的均方誤為已知的，則可以對該樣本參數(shù)的抽樣誤差可作出估計(jì)。(1)(2)(3)(4) 當(dāng)總體為P-III型

21、分布時(shí)，其樣本各參數(shù)的均方誤計(jì)算式分別為： 以上均方誤計(jì)算公式中，CV，CS 分別為總體的均方差，離差系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)，但總體的統(tǒng)計(jì)參數(shù)是未知的，故可用樣本的相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)代替。 結(jié)論： (1) 樣本統(tǒng)計(jì)參數(shù)抽樣誤差隨樣本的均方差、離差系數(shù)CV及偏態(tài)系數(shù)CS的增大而增大； (2) 樣本統(tǒng)計(jì)參數(shù)抽樣誤差隨樣本的容量n的增大而減少。 依據(jù)結(jié)論(2)，可知水文計(jì)算常用延長系列增加項(xiàng)數(shù)n的方法，來減少抽樣誤差。即系列愈長，則其代表性愈好。4.2 現(xiàn)行水文頻率計(jì)算方法配線法 (適線法) Curve fitting method 是以經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)為基礎(chǔ)，在一定的適線準(zhǔn)則下，求出與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線參

22、數(shù)，這是一種較好的參數(shù)估計(jì)方法，是我國估計(jì)某些水文變量（如徑流量、降雨量等）頻率曲線統(tǒng)計(jì)參數(shù)的主要方法。有關(guān)的概念介紹：1) 經(jīng)驗(yàn)頻率及經(jīng)驗(yàn)頻率曲線：【例】已知某地年降雨量的觀測資料(n=12)，并由大 到小排列，按 計(jì)算頻率。式中，P：大于或等于某一變量值 x 的經(jīng)驗(yàn)頻率； m：x 由大到小排列的序號，即在n 次觀測資料中出現(xiàn)大于或等于某一值 x 的次數(shù)。經(jīng)驗(yàn)頻率計(jì)算表：n =12 其反映年降雨量(Xx)的經(jīng)驗(yàn)頻率P(Xx)和x的關(guān)系。隨著樣本容量n的增加，頻率P就非常接近于概率，而該經(jīng)驗(yàn)分布曲線就非常接近于總體的分布曲線。由此得到經(jīng)驗(yàn)頻率分布曲線:P (Xx)x注意：樣本的每一項(xiàng)的經(jīng)驗(yàn)頻率

23、用公式P=m/n進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)m=n時(shí)，P=100%，說明樣本的最末項(xiàng)為總體的最小值，這是不合理的。故必須進(jìn)行修正，中國常采用下面的公式進(jìn)行計(jì)算：經(jīng)驗(yàn)頻率的計(jì)算公式：這樣，當(dāng)m=n=12 時(shí)，該公式在水文計(jì)算中通常稱為期望公式 所謂的重現(xiàn)期是指某一隨機(jī)事件在很長時(shí)期內(nèi)平均多長時(shí)間出現(xiàn)一次（水文學(xué)中常稱為“多少年一遇”）。即在許多試驗(yàn)中，某一隨機(jī)事件重復(fù)出現(xiàn)的時(shí)間間隔的平均數(shù)，即平均的重現(xiàn)間隔期。在水文分析中，重現(xiàn)期可以等效地替代頻率。2) 重現(xiàn)期 Recurrence interval/return perioda.當(dāng)研究洪水或暴雨問題 水文上關(guān)心的是大于等于某洪水或某暴雨量發(fā)生的頻率，因此，重

24、現(xiàn)期指在很長時(shí)期N年內(nèi)，出現(xiàn)大于等于某水文變量XP 事件的平均重現(xiàn)的間隔期T ：式中， T：重現(xiàn)期，以年計(jì)； P：大于等于某水文變量 XP 事件的頻率，頻率P與重現(xiàn)期T關(guān)系的兩種表示法：NP為N年內(nèi)大于等于XP 事件出現(xiàn)的次數(shù)。 表中12年中年降雨量大于等于990mm的次數(shù)為6次，即等于NP=1250%=6，可知該事件的重現(xiàn)期為： T=12/6=2年可按下式計(jì)算重現(xiàn)期：【例】n =12 水文上關(guān)心的是小于xP的事件出現(xiàn)的頻率及相應(yīng)的重現(xiàn)期。 重現(xiàn)期指在很長的時(shí)期內(nèi)(N年)出現(xiàn)小于某水文變量xP事件的平均重現(xiàn)間隔期。若水文變量大于等于xP的頻率為P ，則小于xP事件的頻率應(yīng)為：1-P，在N年內(nèi)小于xP事件出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)為N(1-P)，因此其重現(xiàn)期為：b. 當(dāng)研究枯水問題 表中年降雨量大于等于850mm的次數(shù)為11次，即等于 ，則小于850mm的降雨次數(shù)為1次，即等于 可知該事件的重現(xiàn)期為： T=12/1=12 (年)亦可按下式計(jì)算：(年)【例】n =12具體求解步驟：a 根據(jù)實(shí)測樣本資料進(jìn)行點(diǎn)繪縱坐標(biāo)為隨機(jī)變量X=x，橫坐標(biāo)為對應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)頻率P(X x)，經(jīng)驗(yàn)頻率計(jì)算公式為：b 假定一組參數(shù)