定積分以及其應(yīng)用

1、關(guān)于定積分及其應(yīng)用第一張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第一節(jié) 定積分的概念重點：定積分的概念和性質(zhì)難點：定積分概念的理解第二張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月abxyo實例1 （求曲邊梯形的面 積）一、兩個實例第三張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 在初等數(shù)學中，以矩形面積為基礎(chǔ)，解決了較復(fù)雜的直邊圖形的面積問題.現(xiàn)在的曲邊梯形有一條邊是曲線，所以其面積就不能按照初等數(shù)學的方法來計算.困難就在于曲邊梯形底邊（區(qū)間）上的高是變化的，而且這種變化規(guī)律不是線性的.但由于曲線是連續(xù)的，所以當在上的變化很小時，相應(yīng)的高的變化也很小.由于這個想法，可以用一組平行于軸的

2、直線把曲邊梯形分割成若干個小曲邊梯形，只要分割的充分細，每個小曲邊梯形就很窄，則其高的變化就很小， 第四張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積（四個小矩形）（九個小矩形）第五張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月曲邊梯形如圖所示，第六張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為第七張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月實例二、求變速直線運動的路程思路：把整段時間分割成若干個小段，每小段上速度看作不變。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近

3、似值。最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值。第八張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（1）分割部分路程值某時刻的速度（2）求和（3）取極限路程的精確值第九張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月二、定積分的定義定義第十張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月被積函數(shù)被積表達式積分變量記為積分上限積分下限積分和第十一張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月注意：第十二張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月定理1定理2三、存在定理第十三張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月四、定積分的幾何意義第十四張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月幾

4、何意義：ab第十五張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 例1、用定積分表示下列圖中陰影部分的面積第十六張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第十七張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月解：根據(jù)定積分的幾何意義，解題如下：第十八張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第十九張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月對定積分的補充規(guī)定:說明 在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小五 定積分的性質(zhì)第二十張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月證性質(zhì)1第二十一張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月證性質(zhì)2第二十二張，PPT共一百一十

5、三頁，創(chuàng)作于2022年6月例 若（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）則性質(zhì)3第二十三張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月證性質(zhì)4第二十四張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)5（定積分中值定理）積分中值公式第二十五張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月使即積分中值公式的幾何解釋：第二十六張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 第二節(jié) 微積分基本公式重點：牛頓萊布尼茲公式難點： 積分上限的函數(shù)第二十七張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運動中路程為另一方面這段路程可表示為一、

6、問題的提出第二十八張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月考察定積分記積分上限函數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)第二十九張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月積分上限函數(shù)的性質(zhì)證第三十張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月由積分中值定理得第三十一張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十二張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十三張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十四張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 （2）第三十五張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十六張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月分母的導(dǎo)數(shù)為所

7、以有第三十七張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月定理 3（微積分基本公式）證三、牛頓萊布尼茨公式第三十八張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月令令牛頓萊布尼茨公式第三十九張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月微積分基本公式表明：注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.第四十張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例計算下列定積分（1）(2)(3)(4)(5)第四十一張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十二張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十三張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十四張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022

8、年6月 第三節(jié) 積分的換元法 重點與難點： 掌握定積分的換元積分公式 牛頓萊布尼茨公式把定積分的計算問轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)（不定積分）的問題，因而求不定積分的各種具體方法經(jīng)過適當?shù)淖兓?，都可用于求定積分，本節(jié)我們來學習定積分的換元法. 第四十五張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十六張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十七張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 解法2要比解法1簡便些，因為它省去了變量回代這一步。 一般的，定積分的換元法可表述為：第四十八張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月定積分的換元法有兩個特點：換成新變量時，積分限也要換成相應(yīng)于新變量

9、的積分限.即所謂的“換元必換限.”（）求出的一個原函數(shù)后，不必象不定積分那樣再把原變量回代，而直接代入新變量的上下限，然后相減就把原變量（1）用可以了。第四十九張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第五十張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第五十一張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第五十二張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第五十三張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第五十四張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第五十五張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 第四節(jié) 定積分的分部積分法重點與難點： 熟練掌握定積分的分部積分公式第

10、五十六張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月把不定積分的分部積分公式添加上積分限，就得到定積 分的分部積分公式：第五十七張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第五十八張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第五十九張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第六十張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第六十一張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 例 求 解：由例4的結(jié)果知當時，當時，第六十二張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第六十三張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第六十四張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第六十五張

11、，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月令則當時，當時代入到中得：第六十六張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 第五節(jié) 無窮區(qū)間上的廣義積分 重點與難點： 廣義積分的概念與計算第六十七張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第六十八張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第六十九張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月顯然，當在內(nèi)變化時，曲邊體形的面積也隨著b的變化而變化 時，這個曲邊梯形面積的極限就應(yīng)該是“開口曲邊梯形” 的面積，即當?shù)谄呤畯?，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第七十一張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月二、 廣義積分的定義第

12、七十二張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第七十三張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第七十四張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第七十五張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第七十六張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月為了書寫方便起見，我們規(guī)定：記為寫為第七十七張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第七十八張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第六節(jié) 定積分應(yīng)用舉例重點與難點：正確理解定積分的元素法；熟練掌握用元素法求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積；會求平面曲線的弧長、變力作功和函數(shù)的平均值。 第七十九張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)

13、作于2022年6月 回顧曲邊梯形求面積的問題一、問題的提出abxyo第八十張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月（3）求和 得A的近似值 面積表示為定積分的步驟是：第八十一張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月abxyo（4） 求極限 得A的精確值提示面積元素第八十二張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第八十三張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月微元法的一般步驟：第八十四張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月這個方法通常叫做微元法應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等第八十五張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022

14、年6月曲邊梯形的面積平面圖形的面積二、平面圖形的面積第八十六張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月解 兩曲線的交點為面積元素選 為積分變量第八十七張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第八十八張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第八十九張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第九十張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第九十一張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓錐圓臺三、旋轉(zhuǎn)體的體積第九十二張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為第九十

15、三張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月解直線 方程為第九十四張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第九十五張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第九十六張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第九十七張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第九十八張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月弧長元素弧長 四、平面曲線的弧長第九十九張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月解所求弧長為第一百張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第一百零一張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月如圖所示第一百零二張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第一百零三張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月點擊圖片任意處播放暫停解建立坐標系如圖第一百零四張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月這一薄層水的重力為功元素為(千焦)第一百零五張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第一百零六張，PPT共一百一十三頁，創(chuàng)作于2022年6月等份，每個小區(qū)間的長度為由于連續(xù)，所以當足夠大時，我們可把在區(qū)間上看作常數(shù)，先把區(qū)間用分點第一百零七張，PPT共一百