數(shù)學(xué)史概論上共38張幻燈片

1、第4講 日照東方古代與中世紀(jì)的東方數(shù)學(xué)一、中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)二、印度數(shù)學(xué)三、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)四、中國(guó)與印度、阿拉伯的數(shù)學(xué)交流中世紀(jì)數(shù)學(xué)的主角： 中國(guó)、印度與阿拉伯地區(qū)的數(shù)學(xué)。東方數(shù)學(xué)特色：強(qiáng)烈的算法精神 所謂“算法”并不是單純的計(jì)算，而是為了解決一整類實(shí)際或科學(xué)問(wèn)題而概括出來(lái)的、帶有一般性計(jì)算方法。 注：東方數(shù)學(xué)在文藝復(fù)興以前通過(guò)阿拉伯人傳播到歐洲，與希臘式的數(shù)學(xué)交匯結(jié)合，孕育了近代數(shù)學(xué)的誕生。1 中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與體系形成2 中國(guó)數(shù)學(xué)理論的深化3 中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的高峰4 中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的式微一、 中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)1 中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與體系形成史前至兩漢時(shí)期1.1 中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的奠基 萌芽（石器時(shí)代、青銅時(shí)代）原始社

2、會(huì)、夏商周 積累與奠基（春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代、秦、西漢）1.2 周髀算經(jīng)與數(shù)理天文學(xué)1.3 九章算術(shù)與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的體系1.2 周髀算經(jīng)與數(shù)理天文學(xué)蓋天說(shuō)勾股定理宋版書影日高術(shù) 周髀算經(jīng): 數(shù)學(xué)著作,天文學(xué)著作. “蓋天說(shuō)”的代表. 約成書于西漢時(shí)期(公元前2世紀(jì)). 數(shù)學(xué)內(nèi)容:學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法、用勾股定理來(lái)計(jì)算高深遠(yuǎn)近和比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)計(jì)算等.“勾廣三,股修四,徑隅五”商高定理-勾股定理返回“以日下為勾,日高為股,勾股各自乘,并而開方除之,得邪至日.”勾股定理的證明弦 圖abcaa2b2影差d =后影長(zhǎng)BD 前影長(zhǎng)AC = b a表距AB = e日前表后表前影后影南戴日下日遠(yuǎn)日高A BO A a C B

3、 b DSOhhhc日高公式（重差術(shù)）1.3 九章算術(shù)與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的體系返回（1）漢簡(jiǎn)算數(shù)書算數(shù)書: 1983年12月在湖北江陵張家山出土一本西漢初年的竹簡(jiǎn), 收有許多應(yīng)用的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 現(xiàn)已整理出版(包括竹簡(jiǎn)照片和釋文). 九章算術(shù)共收有 246個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，分為九章。分別是：方田、栗米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程、勾股。 九章算術(shù)是世界上最早系統(tǒng)敘述了分?jǐn)?shù)運(yùn)算的著作；其中盈不足的算法更是一項(xiàng)令人驚奇的創(chuàng)造；“方程”章還在世界數(shù)學(xué)史上首次闡述了負(fù)數(shù)及其加減運(yùn)算法則。（2）九章算術(shù) 1.方田：主要是田畝面積的計(jì)算和分?jǐn)?shù)的計(jì)算，是世界 上最早對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行系統(tǒng)敘述的著作。 2.粟米：組好事糧

4、食交易的計(jì)算方法，其中涉及許多比 例問(wèn)題。 3.衰（讀作“翠”）分：主要內(nèi)容為分配比例的算法。 4.少?gòu)V：主要講開平方和開立方的方法。 5.商功：主要是土石方和用工量等工程數(shù)學(xué)問(wèn)題，以體 積的計(jì)算為主。 6.均輸：計(jì)算稅收等更加復(fù)雜的比例問(wèn)題。 7.盈不足：雙設(shè)法的問(wèn)題。 8.方程：主要是聯(lián)立一次方程組的解法和正負(fù)數(shù)的加減 法，在世界數(shù)學(xué)史上是第一次出現(xiàn)。 9.勾股：勾股定理的應(yīng)用。九章算術(shù)的內(nèi)容九章算術(shù)的數(shù)學(xué)成就（1）算術(shù)方面 （i）分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則 （ ii）比例算法: “今有術(shù)”：a : b = c : x x = b c / a （iii）盈不足: 是以盈虧類問(wèn)題為原型, 通過(guò)兩次假設(shè)

5、來(lái) 求繁瑣、困難的算術(shù)問(wèn)題的解的方法. 如:今有共買物,人出八盈三,人出七不足四,問(wèn)人數(shù)、物價(jià) 各幾何？設(shè)人數(shù)為x, 物價(jià)為y, 每人出錢a1盈b1, 出錢a2不足b2 .則的“盈不足術(shù)”相當(dāng)于給出如下解法：(ii)正負(fù)術(shù): 正、負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則 同名相除,異名相益,正無(wú)入負(fù)之,負(fù)無(wú)入正之.其異名相除,同名相益,正無(wú)入正之,負(fù)無(wú)入負(fù)之.（2）代數(shù)方面 (i)方程術(shù): 線性方程組的解法 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？問(wèn)題相當(dāng)于解一個(gè)三元一次線性方程組：注：關(guān)鍵算法:

6、 遍乘直除, 即Gauss消元法.(iii)開方術(shù): 開平方和開立方的算法 本質(zhì): 減根變換 過(guò)程: 開方術(shù)相當(dāng)于解方程: x2=A. 設(shè)解 x 是一個(gè) k 位數(shù) , 令x=10k -1x1 , 方程變?yōu)? 102k -2x12 = A , 儀得x1的整數(shù)部分, 記為 , 令 ,則方程變?yōu)? ,其中再議得x2的整數(shù)部分,記為 ,令 , 則方程變?yōu)? , 其中上述過(guò)程一直下去.二次方程的數(shù)值求解算法稱為“開帶從平方法”.“開方術(shù)” 指出了開方有開不盡的情形： “若開之不盡者，為不可開”。 不盡根數(shù)專門的名字面（3）幾何方面 幾何問(wèn)題具有很明顯的實(shí)際背景.所有直線形的面積、體積公式都是準(zhǔn)確的.如:

7、 正方形、矩形、三角形、梯形、長(zhǎng)方體、正方體、底面為長(zhǎng)方形而有一棱與底面垂直的錐體、上下底面都是長(zhǎng)方形的棱臺(tái)等. 芻童（上下底面都是長(zhǎng)方形的棱臺(tái)）體積公式：abcd羨除（三個(gè)側(cè)面均為梯形的楔形體）體積公式為：圓面積公式：這里圓周率 取3.abhl2 中國(guó)數(shù)學(xué)理論的深化從劉徽到祖沖之學(xué)術(shù)界思辨之風(fēng)再起在數(shù)學(xué)上也興起了論證的趨勢(shì)最杰出代表: 劉徽、祖沖之父子2.1 劉徽與九章算術(shù)注最主要成就： 割圓術(shù) 面積、體積理論生卒不詳公元263年撰九章算術(shù)注（一）劉徽的割圓術(shù)-極限方法 割圓術(shù)的要旨是用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓。 指出:割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無(wú)所失矣.E C F

8、A G BOrrr設(shè)圓面積為 Sn ,半徑為r ,圓內(nèi)接正 n 邊形的邊長(zhǎng)為 ln , 周長(zhǎng)為 Ln ,面積為Sn , 將邊數(shù)加倍后, 得到圓內(nèi)接正 2n 邊形, 其邊長(zhǎng), 周長(zhǎng), 面積分別記為 l2n , L2n ,S2n .劉徽注意到當(dāng) ln 已知,由勾股定理可以求出 l2n .即：化為分?jǐn)?shù)即為: 157/50 , 這就是著名的“徽率”.在內(nèi)接 n 邊形的每邊上作一高為 CG 的矩形, 則劉徽取半徑為一尺的圓, 計(jì)算到192邊形, 得出精確到兩位小數(shù)的圓周率的近似值（二）劉徽的面積理論極限方法出入相補(bǔ)原理：一個(gè)幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后,面積或體積的總和保持不變。勾股定理

9、的證明（三）劉徽的體積理論-陽(yáng)馬術(shù)塹堵= 陽(yáng)馬 + 鱉臑陽(yáng)馬 = 2鱉臑立方= 2 塹堵塹堵陽(yáng)馬鱉臑塹堵= 陽(yáng)馬 + 鱉臑陽(yáng)馬= 立方 1 36 1 鱉臑= 立方塹堵= 立方 1 2陽(yáng)馬 = 2鱉臑陽(yáng)馬術(shù)陽(yáng)馬 鱉臑鱉臑塹堵塹堵陽(yáng)馬立方陽(yáng)馬塹堵塹堵陽(yáng)馬 = 1 小立方+2 小塹堵+2 小陽(yáng)馬= 2 小立方+2 小陽(yáng)馬鱉臑 = 2 小塹堵+2 小鱉臑= 1 小立方+2 小鱉臑不易之率：陽(yáng)馬體積Y與鱉臑體積 B 之比為2:1對(duì)每個(gè)小陽(yáng)馬和每個(gè)小鱉臑作同樣的剖分,則n次剖分后有:陽(yáng)馬中除去兩個(gè)小陽(yáng)馬部分的體積(記為 )為鱉臑中除去兩個(gè)小鱉臑部分的體積(記為 )的2倍, 他們合在一起的體積應(yīng)占原壍堵體積

10、的3/4 (劉徽稱為“已知”部分), 因而剩余部分(即兩個(gè)小陽(yáng)馬和兩個(gè)小鱉臑)的體積應(yīng)占原壍堵體積的1/4 (稱為“未知”部分). 若分別用 記每個(gè)小陽(yáng)馬和小鱉臑的體積,則已知部分屬陽(yáng)馬的體積為 , 屬鱉臑的體積為 , 兩者之比恒為2:1 .未知部分的體積, 若記為 , 并不妨設(shè)原壍堵體積為1, 則劉徽認(rèn)為無(wú)限剖分下去, 則得不易之率： Y : B =2:1（四）球體積公式證明的嘗試外切立方體積牟合方蓋體積= ？4內(nèi)切球體積牟合方蓋體積=DDDD劉徽結(jié)論劉徽: 敢不闕疑, 以俟能言者！內(nèi)棋外棋1外棋2外棋3問(wèn)題關(guān)鍵：如何求外三棋體積和 與小立方體積關(guān)系 最初是附于他所注的九章算術(shù)(263)之后

11、, 唐初開始單行, 體例亦是以應(yīng)用問(wèn)題集的形式 . 全書共9題, 全是利用測(cè)量來(lái)計(jì)算高深廣遠(yuǎn)的問(wèn)題, 首題測(cè)算海島的高、遠(yuǎn), 故得名.海島算經(jīng)是中國(guó)最早的一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作, 亦為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ). （五） 劉徽著海島算經(jīng)2.2 祖沖之父子的數(shù)學(xué)成就祖沖之與祖暅主要數(shù)學(xué)成就：(1) 圓周率 (2) 祖氏原理與球體積（一）祖沖之-綴術(shù)與圓周率割圓術(shù): 正六邊形出發(fā), 連續(xù)算到正24576邊形, 恰好可以得到祖沖之的結(jié)果.3.1415926 (朒(nv)數(shù)) 3.1415927 (盈數(shù))圓周率分?jǐn)?shù)形式的近似值：約率： 密率：現(xiàn)代數(shù)論中,如果將圓周率表示成連分?jǐn)?shù),其漸近分?jǐn)?shù)為:（二）祖暅-球體積公式與祖暅原理祖暅原理：冪勢(shì)既同,則積不容異 意即:位于兩平行平面之間的兩個(gè)立體,被任一平行