數(shù)字信號處理西安郵電大學(xué)第一章

1、第一章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)1.1 引言1.2 時(shí)域離散信號1.3 時(shí)域離散系統(tǒng)1.4 時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法線性常系數(shù)差分方程1.5 模擬信號數(shù)字處理方法1.2 時(shí)域離散信號序列 一、序列 時(shí)域離散信號又稱離散時(shí)間信號，它既可以是實(shí)數(shù)也可以是復(fù)數(shù)。離散時(shí)間信號是整數(shù)值變量n的函數(shù)，表示為x(n)。因?yàn)殡x散時(shí)間信號x(n)對于非整數(shù)值n是沒有定義的，所以一個(gè)實(shí)值離散時(shí)間信號序列可以用圖形來描述，如圖1-1所示。圖 1-1 離散時(shí)間信號x(n)的圖形表示 離散時(shí)間信號常?？梢杂蓪δM信號(如語音信號)進(jìn)行等間隔采樣而得到。例如，對于一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號xa(t)，以每秒fs=1/T個(gè)采樣

2、的速率采樣而產(chǎn)生采樣信號，它與xa(t)的關(guān)系如下： 然而，并不是所有的離散時(shí)間信號都是這樣獲得的。一些信號可以認(rèn)為是自然產(chǎn)生的離散時(shí)間序列，如每日股票市場價(jià)格、 人口統(tǒng)計(jì)數(shù)和倉庫存量等。 二、 幾種常用序列1 單位脈沖序列(n) 這個(gè)序列只在n=0 處有一個(gè)單位值1，其余點(diǎn)上皆為0， 因此也稱為“單位采樣序列”。單位采樣序列如圖1-2所示。(1-1)圖 1-2 (n)序列 這是最常用、最重要的一種序列，它在離散時(shí)間系統(tǒng)中的作用，很類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)(t)。但是， 在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，(t)是 t=0 點(diǎn)脈寬趨于零，幅值趨于無限大，面積為1的信號，是極限概念的信號， 并非任何現(xiàn)實(shí)

3、的信號。而離散時(shí)間系統(tǒng)中的(n)，卻完全是一個(gè)現(xiàn)實(shí)的序列， 它的脈沖幅度是1， 是一個(gè)有限值。 2 單位階躍序列u(n) 如圖 1-3 所示。它很類似于連續(xù)時(shí)間信號與系統(tǒng)中的單位階躍函數(shù)u(t)。 (1-2)圖 1-3 u(n)序列 (n)和u(n)間的關(guān)系為 這就是u(n)的后向差分。 而 令n-m=k，代入此式可得 這里就用到了累加的概念。 (1-3)(1-4)(1-5)3矩形序列RN(n) (1-6)矩形序列RN(n)如圖1-4所示。 圖 1-4 RN(n)序列 RN(n)和(n)、u(n)的關(guān)系為: (1-7)(1-8)4實(shí)指數(shù)序列 式中，a為實(shí)數(shù)。當(dāng)|a|1時(shí)，序列是發(fā)散的。a為負(fù)數(shù)

4、時(shí)，序列是擺動(dòng)的，如圖1-5所示。 圖 1-5 指數(shù)序列(a) |a|1; (c) a=-|a| 5 正弦型序列x(n)=A sin(n0+) (1-10)式中: A為幅度; 為起始相位; 0為數(shù)字域的頻率，它反映了序列變化的速率。 0=0.1時(shí), x(n)序列如圖1-6所示，該序列值每20個(gè)重復(fù)一次循環(huán)。 圖 1-6 正弦序列(0=0.1) 6 復(fù)指數(shù)序列（復(fù)正弦序列） 序列值為復(fù)數(shù)的序列稱為復(fù)數(shù)序列。 復(fù)數(shù)序列的每個(gè)值具有實(shí)部和虛部兩部分。 復(fù)指數(shù)序列是最常用的一種復(fù)序列： (1-11a)或 (1-11b)式中，0是復(fù)正弦的數(shù)字域頻率。 對第二種表示，序列的實(shí)部、虛部分別為 如果用極坐標(biāo)表

5、示，則 因此有： 三 、序列的周期性 如果對所有n，存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，滿足 (1-12)則稱序列x(n)是周期性序列，周期為N。 現(xiàn)在討論上述正弦序列的周期性。 由于 則 若N0=2k, 當(dāng)k為正整數(shù)時(shí)，則 這時(shí)的正弦序列就是周期性序列，其周期滿足N=2k/0（N，k必須為整數(shù)）?？煞謳追N情況討論如下。 （1） 當(dāng)2/0為正整數(shù)時(shí)，周期為2/0。 （2） 當(dāng)2/0不是整數(shù)，而是一個(gè)有理數(shù)時(shí)（有理數(shù)可表示成分?jǐn)?shù)），設(shè) 其中，P,Q為互素的整數(shù)，取k=Q,則N=P。 （3）當(dāng)2/0是無理數(shù)時(shí)，則任何k皆不能使N取正整數(shù)。 這時(shí)，正弦序列不是周期性的。 這和連續(xù)信號是不一樣的。 同樣，指數(shù)為純

6、虛數(shù)的復(fù)指數(shù)序列 的周期性與正弦序列的情況相同。 四、 用單位采樣序列來表示任意序列 用單位采樣序列來表示任意序列對分析線性時(shí)不變系統(tǒng)（下面即將討論）是很有用的。 設(shè)x(n)是一個(gè)任意序列，則x(n)可以表示成單位采樣序列的移位加權(quán)和，即 其中， 這種任意序列的表示方法，在信號分析中是一個(gè)很有用的公式。例如：x(n)的波形如圖1-7所示，可以表示成： x(n)=-2(n+2)+0.5(n+1)+2(n)+(n-1)+1.5(n-2)-(n-4)+2(n-5)+(n-6)圖1-7 用單位采樣序列移位加權(quán)和表示序列 五、 序列的能量 序列x(n)的能量E定義為序列各采樣樣本的平方和， 即 六、 數(shù)

7、字頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系 如果正弦序列 是由模擬正弦信號 采樣得到的，即 因此有：上式說明：數(shù)字頻率是模擬角頻率關(guān)于采樣頻率的歸一化頻率。數(shù)字頻率，單位是弧度，rad模擬角頻率，單位是弧度每秒，rad/s模擬頻率，單位是赫茲，Hz或者1/s七、 序列的運(yùn)算 1.乘法和加法 序列之間的乘法和加法，是指它們的相同序號的序列值逐項(xiàng)對應(yīng)相乘和相加，如右圖所示。2. 移位、翻轉(zhuǎn)及尺度變換 設(shè)序列x(n)，其移位序列為x(n-m)； 當(dāng)m 0時(shí)，稱為x(n)的延時(shí)(右移）序列； 當(dāng)m 0時(shí)，稱為x(n)的超前(左移）序列。 x(-n)則是x(n)的翻轉(zhuǎn)序列（關(guān)于縱軸翻轉(zhuǎn)）。 x(mn)是x(n)序列每

8、m（m1）個(gè)點(diǎn)取一點(diǎn)形成的（序列的抽?。Ｈ绠?dāng)m=2時(shí)，x(2n)是x(n)每兩個(gè)點(diǎn)取一個(gè)點(diǎn)。 x(n/m) （m1）是將序列x(n)相鄰兩個(gè)點(diǎn)之間插m-1個(gè)零（序列的插值）。如當(dāng)m=2時(shí)，x(n/2)是x(n)相鄰兩個(gè)點(diǎn)之間插一個(gè)零。1.3 時(shí)域離散系統(tǒng) 設(shè)時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入為x(n)，經(jīng)過規(guī)定的運(yùn)算，系統(tǒng)輸出序列用y(n)表示。設(shè)運(yùn)算關(guān)系用T表示，輸出與輸入之間關(guān)系用下式表示： y(n)=Tx(n) 其框圖如下圖所示。 1.3.1 線性系統(tǒng) 滿足線性疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。設(shè)x1(n)和x2(n)分別作為系統(tǒng)的輸入序列，其輸出分別用y1(n)和y2(n)表示，即 y1(n)=Tx1(n

9、)，y2(n)=Tx2(n) 那么線性系統(tǒng)一定滿足下面兩個(gè)公式： T x1(n)+x2(n) = y1(n)+y2(n) （可加性） Ta x1(n)=a y1(n) （齊次性） 例1.3.1 證明y(n)=ax(n)+b(a和b是常數(shù))，所代表的系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。 證明 ： y1(n)=Tx1(n)=ax1(n)+b y2(n)=Tx2(n)=ax2(n)+b y(n)=Tx1(n)+x2(n)=ax1(n)+ax2(n)+b y(n)y1(n)+y2(n) 因此，該系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。 用同樣方法可以證明 所代表的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 1.3.2 時(shí)不變系統(tǒng) 如果系統(tǒng)對輸入信號的運(yùn)算關(guān)系T在整個(gè)

10、運(yùn)算過程中不隨時(shí)間變化，或者說系統(tǒng)對于輸入信號的響應(yīng)與信號加于系統(tǒng)的時(shí)間無關(guān)，則這種系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)，用公式表示如下： y(n)=Tx(n) y(n-n0)=Tx(n-n0) 例1.3.2 檢查y(n)=ax(n)+b代表的系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)，a和b是常數(shù)。 解 ： y(n)=ax(n)+b y(n-n0)=ax(n- n0)+b y(n- n0)=Tx(n- n0) 因此該系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。例1.3.3 檢查y(n)=nx(n)所代表的系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)。 解 ： y(n)=nx(n) y(n-n0)=(n- n0)x(n- n0) Tx(n- n0)=nx(n- n0) y(n- n

11、0)Tx(n- n0) 因此該系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)。同樣方法可以證明 所代表的系統(tǒng)也是時(shí)變系統(tǒng)。 思考：y(n)=x(2n)所代表的系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)？還有y(n)=x(-n)呢？ 1.3.3 線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系 一、單位取樣響應(yīng)（單位脈沖響應(yīng)）h(n) 設(shè)系統(tǒng)的輸入x(n)=(n)，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，定義這種條件下系統(tǒng)輸出稱為系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)，用h(n)表示。換句話說，單位取樣響應(yīng)即是系統(tǒng)對于(n)的零狀態(tài)響應(yīng)。用公式表示為 h(n)=T(n) h(n)和模擬系統(tǒng)中的h(t)單位沖激響應(yīng)相類似，都代表系統(tǒng)的時(shí)域特征。 二、線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系三、卷積和的計(jì)算1、解

12、析法2、圖解法3、列表法（適用于有限長序列） 卷積中主要運(yùn)算是翻轉(zhuǎn)、移位、相乘和相加，這類卷積稱為序列的線性卷積（卷積和）。設(shè)兩序列的長度分別是N和M，線性卷積后的序列長度為(N+M-1)。四、卷積和的性質(zhì) 線性卷積服從交換律、結(jié)合律和分配律： x(n)*h(n)=h(n)*x(n) x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h1(n)*h2(n) x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)任意序列和單位采樣序列的卷積：1.3.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性一、因果性 如果系統(tǒng)n時(shí)刻的輸出，只取決于n時(shí)刻以及n時(shí)刻以前的輸入序列，而和n時(shí)刻以后的輸入序列無關(guān)，則稱該

13、系統(tǒng)具有因果性質(zhì)，或稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。 線性時(shí)不變系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)滿足下式： h(n)=0， n0 思考：系統(tǒng) y(n)=x(n)+x(n+1) 的因果性？二、穩(wěn)定性 所謂穩(wěn)定系統(tǒng)，是指系統(tǒng)輸入有界，系統(tǒng)輸出也是有界的。 線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)絕對可和，用公式表示為例：設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng) ，式中a是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。1.4 線性常系數(shù)差分方程一個(gè)N階線性常系數(shù)差分方程用下式表示： 或者 線性常系數(shù)差分方程的求解 已知系統(tǒng)的輸入序列，通過求解差分方程可以求出輸出序列。求解差分方程的基本方法有以下三種： (

14、1)經(jīng)典解法。 (2)遞推解法。 (3)變換域方法。1.5 模擬信號數(shù)字處理方法 在緒論中已介紹了數(shù)字信號處理技術(shù)相對于模擬信號處理技術(shù)的許多優(yōu)點(diǎn)，因此人們往往希望將模擬信號經(jīng)過采樣和量化編碼形成數(shù)字信號，再采用數(shù)字信號處理技術(shù)進(jìn)行處理；處理完畢，如果需要，再轉(zhuǎn)換成模擬信號，這種處理方法稱為模擬信號數(shù)字處理方法。其原理框圖如下圖所示。圖中的預(yù)濾與平滑所起的作用在后面介紹。本節(jié)主要介紹采樣定理和采樣恢復(fù)。 圖1.5.1 模擬信號數(shù)字處理框圖 一 、采樣定理 對模擬信號進(jìn)行采樣可以看作一個(gè)模擬信號通過一個(gè)電子開關(guān)S。設(shè)電子開關(guān)每隔周期T合上一次，每次合上的時(shí)間為T，在電子開關(guān)輸出端得到其采樣信號

15、。 上式表明采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜沿頻率軸，每間隔采樣角頻率s重復(fù)出現(xiàn)一次，或者說采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜以s為周期，進(jìn)行周期性延拓而成的。 設(shè)xa(t)是帶限信號，最高截止頻率為c，其頻譜Xa(j)如下頁圖所示。稱為折疊頻率。它如同一面鏡子，當(dāng)信號頻譜超過它時(shí)，就會(huì)被折疊回來，造成頻譜的混疊。 采樣定理：(1)對連續(xù)信號進(jìn)行等間隔采樣形成采樣信號，采樣信號的頻譜是原連續(xù)信號的頻譜以采樣頻率為周期進(jìn)行周期性的延拓形成的。 (2)設(shè)連續(xù)信號xa(t)屬帶限信號，最高截止頻率為c，如果采樣角頻率s2c，那么讓采樣信號通過一個(gè)增益為T，截止頻率為s/2的理想低通濾波器，可以唯一地恢

16、復(fù)出原連續(xù)信號xa(t)。否則s2c會(huì)造成采樣信號中的頻譜混疊現(xiàn)象，不可能無失真地恢復(fù)原連續(xù)信號。 或者 簡單描述為： 帶限信號可以進(jìn)行時(shí)域采樣，采樣后導(dǎo)致頻譜周期化，只要頻譜不發(fā)生混疊，就可以無失真地恢復(fù)原信號。 一般稱fs為頻率，單位為赫茲(Hz)，s為角頻率，單位為弧度/秒; 習(xí)慣上都統(tǒng)稱為“頻率”。 它們的區(qū)別由符號f及來識別。 二、采樣的恢復(fù) 如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，即模擬信號譜的最高頻率小于折疊頻率 則采樣后不會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊，由式（1.5.5）知 故將 通過一個(gè)理想低通濾波器，這個(gè)理想低通濾波器應(yīng)該只讓基帶頻譜通過，因而其帶寬應(yīng)該等于折疊頻率，它的特性如下頁圖所示。 下面從時(shí)域的角度研究采樣的恢復(fù)過程。設(shè)理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)為 ：內(nèi)插函數(shù)：理想低通濾波器的輸出為：因此，內(nèi)插公式： 波形如圖所示，其特點(diǎn)為：在采樣點(diǎn)nT上，函數(shù)值為1; 其余采樣點(diǎn)上，函數(shù)值都為零。上式稱為采樣內(nèi)插公式，即信號的采樣值xa(nT)經(jīng)此公式而得到連續(xù)信號xa(t)。 也就是說，xa(t)等于各xa(nT)乘上對應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)的總和。在每一采樣點(diǎn)上，只有該點(diǎn)所對應(yīng)的