案例隨機過程-2

1、目錄2.1 概率空間與隨機變量2.2 隨機變量的數字特征2.3 隨機向量及其聯合分布2.4 條件數學期望2.5 矩母函數和特征函數2.3 隨機向量及其聯合分布2.3.1 n維隨機向量2.3.2 二維離散型隨機向量2.3.3 連續(xù)型隨機向量2.3.4 隨機向量的數字特征2.3.5 獨立與相關一、n 維隨機向量的定義2.3.1 n維隨機向量2.3.1 n維隨機向量二、 n維隨機向量的分布函數2.3.2 二維離散型隨機向量一、二維離散型隨機向量1）定義：2）二維離散型隨機變量的聯合分布律2.3.2 二維離散型隨機向量3）二維離散型隨機變量聯合分布律的性質2.3.2 二維離散型隨機向量二、邊緣分布函數

2、邊緣分布也稱為邊沿分布或邊際分布1）邊緣分布的定義：2.3.2 二維離散型隨機向量2）求邊緣分布律=jijp的分布律為：同理，隨機變量Y=iijp的分布律：現求隨機變量X2.3.2 二維離散型隨機向量2.3.2 二維離散型隨機向量一、n維連續(xù)型隨機向量2.3.3 連續(xù)型隨機向量1) 定義：2) 概率密度的性質：2.3.3 連續(xù)型隨機向量3）二元分布函數的幾何意義yo(x, y)(X, Y )2.3.3 連續(xù)型隨機向量x4）分布函數具有以下的基本性質：（1）F (x , y )是變量 x , y 的不減函數，即對于任意固定的 y , 當 x1 x2時， 對于任意固定的 y , 且對于任意固定的

3、x , 當 y1 y2時， 對于任意固定的 x , 2.3.3 連續(xù)型隨機向量 (3) F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即 F (x , y )關于 x 右連續(xù)，關于 y 也右連續(xù).yxox1x2y1y2(X, Y )(x2 , y2)(x2 , y1)(x1 , y2)(x1 , y1)2.3.3 連續(xù)型隨機向量二、邊緣密度函數1）已知概率密度函數求邊緣密度函數2.3.3 連續(xù)型隨機向量2）已知聯合分布函數求邊緣分布函數xXP=()xFX+=YxXP，()+=，xFyYP=()yFYyYXP+=，()yF，+=則分量 X 的分布函數為則分

4、量 Y 的分布函數為2.3.3 連續(xù)型隨機向量()()rNYX，設二維隨機變量222121ssmm的邊緣密度函數及試求YX解：()的聯合密度函數為，YX3）例子2.3.3 連續(xù)型隨機向量2.3.3 連續(xù)型隨機向量所以，2.3.3 連續(xù)型隨機向量2.3.3 連續(xù)型隨機向量結 論 1:結 論 2:()(),222121rNYX，即若ssmm2.3.3 連續(xù)型隨機向量三、 連續(xù)型隨機變量和的分布x + y = z2.3.3 連續(xù)型隨機向量2.3.3 連續(xù)型隨機向量由于 X , Y 的對稱性可得2.3.3 連續(xù)型隨機向量2.3.3 連續(xù)型隨機向量2.3.4 隨機向量的數字特征一、 期望二、協方差稱 C

5、ov( X, Y ) = E( X -EX )( Y-EY ) = E XY -EX EY為隨機變量 X,Y 的協方差. Cov( X, X )=DX1）協方差的定義2）協方差矩陣2.3.4 隨機向量的數字特征1) Cov( X,Y )=Cov( Y, X ) 2) Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)；3) Cov(aX+bY , cZ)=acCov(X , Z)+bcCov(Y, Z);3）協方差的性質2.3.4 隨機向量的數字特征稱為隨機變量 X,Y 的相關系數。是一個無量綱的量；1）相關系數的定義三、相關系數由性質2)發(fā)現，協方差數值反映了隨機變量X和Y相互間的關系，但是它受到隨

6、機變量本身數值大小的影響,因此，將協方差規(guī)范化：2.3.4 隨機向量的數字特征2）相關系數的性質證明：2.3.4 隨機向量的數字特征說 明程度的量之間線性關系緊密與相關系數是表征隨機變量YX存在著線性關系；之間以概率與1YX之間的線性關系越弱；與YX時，越接近于當0XYr時，當1=XYr時，當0=XYr(不相關).之間不存在線性關系與YX2.3.4 隨機向量的數字特征n維正態(tài)隨機向量2.3.4 隨機向量的數字特征2.3.4 隨機向量的數字特征2.3.5 獨立與相關一、隨機變量的獨立性說 明結論：在獨立的條件下有2.3.5 獨立與相關二、離散型隨機變量的獨立性2.3.5 獨立與相關三、連續(xù)型隨機

7、變量的獨立性2.3.5 獨立與相關四、n 維隨機變量的獨立性注意 ： 若 X ,Y 獨立，f(x) , g(y) 是連續(xù)函數，則 f (X ) , g (Y ) 也獨立。1） 定義2.3.5 獨立與相關2） 性質2.3.5 獨立與相關2.3.5 獨立與相關證明：E XY = EX EY所以Cov( X,Y ) = 0.由數學期望的性質: 定理：若X，Y 獨立，則 X , Y 不相關。 (反之，不然）若X，Y 獨立，注意：若 E( X EX )(Y - EY )則X，Y一定相關，且 X，Y 一定不獨立。即 EXY-EXEY五、獨立性 vs. 不相關2.3.5 獨立與相關例子（不相關，但也不獨立）2.3.5 獨立與相關特例（正態(tài)隨機變量的獨立性）()()rNYX，設二維隨機變量222121ssmm()的聯合密度函數為，則YX的邊緣密度函數為又隨機變量X2.3.5 獨立與相關的邊緣密度函數為隨機變量Y()的聯合密度函數為，時，所以，當YXr