橢圓概念新說

1、橢圓概念新說管賢根橢圓的圖形特征是：具有兩條對稱軸，長和寬兩個特征參數(shù)的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)閉合 曲線。（規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)閉合曲線，系指沒有擴(kuò)張和收縮弧段的閉合曲線 ）。符合橢圓圖形特征，具有形成規(guī)律的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)閉合曲線圖形稱為標(biāo)準(zhǔn)橢圓； 符合橢圓圖形特征，沒有形成規(guī)律的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)閉合曲線圖形稱為任意橢圓；符合 橢圓圖形特征，具有形成規(guī)律，非規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)閉合曲線圖形稱為橢圓形曲線。根據(jù)對具有兩條對稱軸的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)閉合曲線的圖形分析，線形兩焦點和棱形 四焦點是兩種類型的標(biāo)準(zhǔn)橢圓，見圖 1。1兩焦點橢圓2棱形四焦點橢圓圖1標(biāo)準(zhǔn)橢圓示意圖1兩焦點橢圓兩焦點橢圓是由圓錐曲線理論確立的內(nèi)在規(guī)律， 定義是：平面內(nèi)，與兩個定 點間的距離

2、和為常數(shù)（常數(shù)大于兩個定點間的距離）的點的軌跡為橢圓。兩個 定點叫做焦點，焦點間的距離叫做焦距。如果對上述定義進(jìn)行簡裝改造，以多焦點圓方法定義兩焦點橢圓，就能使橢 圓定義擴(kuò)展，得到全新的橢圓概念。兩焦點橢圓定義：平面內(nèi)，與已知AD線段間形成的環(huán)線長（L）為常數(shù)的 點的軌跡為橢圓。線段的兩個端點叫做焦點，焦點間距離以焦點環(huán)線長（L o） 表示，線段是橢圓的基本屬性。兩種定義的橢圓圖形是一致的（見圖 1兩焦點橢圓），只是參數(shù)不同。環(huán)線長L =FD FA AD =2a - 2c （a：長半軸、C：焦距），焦點環(huán)線長L =2AD =4c。兩種定義的參數(shù)關(guān)系式：a=2LL、C二三。多焦點圓定義中424包

3、含焦距，焦距為線段，是焦點環(huán)線的形狀。焦點環(huán)線為線段和多邊形同樣具有兩種屬性：（1）計量屬性，線段可測量和 計算，能夠?qū)E圓進(jìn)行具體分析。（2）圖形屬性，線段是幾何圖形，能夠利用焦 點環(huán)線的變形，衍生出各種不同的圖形。標(biāo)準(zhǔn)橢圓能夠根據(jù)形成原理建立參數(shù)與特征參數(shù)關(guān)系，對圖形進(jìn)行具體分析。1.1參數(shù)與特征參數(shù)關(guān)系設(shè)k為環(huán)線長與焦點環(huán)線長比值。k二Lo(1.1)對稱軸 h / Lo 二 2k -1 Lo2 2(1.2)寬:：=l2 -L Lo Vk2 -k Lo(1.3)1.2周長橢圓周長沒有初等函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)橢圓積分理論，橢圓周長（C）的無窮級數(shù)計算公式，與其他近似式相比是精確度相對較高的計算式

4、。級數(shù)表達(dá)式 1: C = a b 二 1 f，I（ 1.4）其中：k_L、長半軸 a=2LL。/1 l0、焦距 C= L_L0444o02 短半軸 b_ L L L。_ .kk1 l 2 2則：a b 二 口2 3 .Lo、 TOC o 1-5 h z 2k12 七kfk1)；a b 二Lo ；4246810.25，49，f. 0 464 256 16384 65536(1.5)則橢圓周長的無窮級數(shù)公式1為：c =2k 一2 k k L0 二1 f 4（1.5）式表明，周長與參數(shù)k L、L相關(guān)，是多焦點圓定義下兩焦點橢圓周 長無窮級數(shù)計算公式。1.3圖形特征參數(shù)（G）橢圓的圖形特征參數(shù)是指周

5、長與焦點環(huán)線長比值，表達(dá)式:G C橢圓周長 0(1.6)L0將（1.5）式代入（1.6）式得:G 竺=2k“ 2 k k -1 二.f（1.7）L04（1.7）式表明：G為無單位量；相同G值的橢圓是相似橢圓，其扁率、離心率 相等；G與k相關(guān)也，當(dāng)k為定值，G也為定值。因此，（1.6）、（ 1.7）兩式建立 了 k為定值時周長與焦點環(huán)線長之間的等式關(guān)系。橢圓的這一性質(zhì)，在多焦點圓的參數(shù)模擬計算中起到重要作用。14極值定式以長半軸為a、短半軸為b、焦距為2c的標(biāo)準(zhǔn)橢圓旋轉(zhuǎn)角度為a，OQ =c Si、AO =c con a，極大點坐標(biāo)為T （ U、V），見示意圖2。則其極值為定式為:V2 二b2 O

6、Q2V = b2O1O 2(1.8)U V =O1O AOO1O AO(1.9)2橢圓極值示意圖證明：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:2X12a2皆1，旋轉(zhuǎn)角度為八曲，罟、con罟通過旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)后的橢圓方程：X2 b2 OQ2 _2x y O1O AO y2 b2 AO2 -a2b2 =0（1.10）由（1.10）式，應(yīng)用一元二次方程求極大點 T的坐標(biāo)。根據(jù)求根公式:(1.11)x_2y OQ AO J(_2y OQ AO j _42 +OQ2 卜心2 十人。2 卜a2b2 】 X =2 b2 OQ2令厶=0，則:4y2 O1O2AO2-4y2 b2O1O2b2AO24a2b2 b2OQ2=0( 1.1

7、2)化簡得：yb2 O1O2則： y = . b2 OQ2（ 1.13）將（3.2）式代入（3.0）式，令厶=0，則：x=-1。A。-（ 1.14）Jb2 +OO2因此：xy=QOAO（1.15）/（1.13）、（ 1.15）兩式為橢圓的極值定式，極大點坐標(biāo)T pQ AO、b2+O1O2 少2 +OQ2極為方便地求解極值和極值點坐標(biāo)。多焦點圓的方法完全適合對兩焦點橢圓的圖形分析，并能使橢圓的定義擴(kuò) 展，使橢圓和多焦點圓統(tǒng)一起來。2棱形四焦點橢圓棱形四焦點橢圓是通過多焦點圓的方法獲得的一種新的標(biāo)準(zhǔn)橢圓類型，是兩焦點橢圓定義的擴(kuò)展。方法是將兩焦點橢圓的焦點閉合線段的中點拉開距離為 BC,形成焦點環(huán)

8、線形狀為棱形，見圖1 2。棱形四焦點橢圓的定義為：與棱形焦點四邊形形成的環(huán)線長為常數(shù)的點的軌 跡，稱做棱形四焦點橢圓。棱形是棱形四焦點橢圓的基本屬性。2.1棱形四焦點橢圓圖3棱形四焦點橢圓曲線示意圖根據(jù)定義作棱形四焦點橢圓曲線和各條邊的延長線與圓周曲線相交示意圖，見圖3。棱形四焦點橢圓是由六個橢圓的八段橢圓弧，通過對稱內(nèi)切連接，形成規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的組合曲線圖形。（參閱文庫橢圓組合曲線和圖形）因此，棱形四焦點圓，具有橢圓基本特征，符合多焦點圓形成原理，是標(biāo)準(zhǔn)橢圓的一種新的類型。棱形四焦點橢圓屬于分段函數(shù)，根據(jù)參數(shù)各段均可建立橢圓方程。（說明：長方形和六邊形的焦點多邊形橢圓曲線，不是規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)曲線）2.2

9、棱形四焦點橢圓的參數(shù)關(guān)系圖4為棱形四焦點橢圓示意圖，已知 ABDC為棱形四邊形、邊長AB-：。4設(shè)橢圓的長軸為長（H）,短軸為寬（），貝長：H . 2L - B2C二 L_； 一 2 L曲(2.1)(2.2)2L _Lo - AB2 _B02 二 L2 - LLo BC2 二.2 -丄。2 BC2解出（2.2）式 BC: BC - G2 LLo -L2 二：.：2 一L20（2.3）則：AD = .2AB2-BC2（2.4）圖4棱形四焦點橢圓示意圖根據(jù)上述關(guān)系式，即可進(jìn)行相關(guān)分析和參數(shù)計算。2.3棱形四焦點橢圓的圖形特征表1 相同長和寬的橢圓參數(shù)編號長寬L0KLBCADAB1108121.33

10、33160632108141.237117.31992.54956.51923.53108161.167318.67713.74177.071144108181.114920.0684.74347.64854.55108201.074521.48915.65698.246256108221.042622.93736.51928.865.57108241.017124.40977.34859.48686810825.6125125.61258106.4031242圖5相同參數(shù)不同形狀棱形四焦點橢圓示意圖棱形焦點多邊形具有量和形變化，焦點環(huán)線取值范圍：2 H2 ：2注。乞2 H2門2 o以長為10、寬為8的橢圓為例，焦點環(huán)線的取值范圍是 12 Lo 25.6125,分別?。?2、14、16、18、20、22、24 和 25.6125 不同數(shù)值。應(yīng)用（2.1） （ 2.4）式計算，得出相同特征參數(shù)（長和寬）不同 Lo 值橢圓的對應(yīng)k值以及相關(guān)參數(shù)，見表1。根據(jù)表1參數(shù)，作出對應(yīng)的棱形四焦 點橢圓圖形，見圖5o圖5說明，棱形四焦點橢圓是