歐式空間中線性變換和正交變換的關(guān)系

1、歐氏空間中線性變換和正交變換的關(guān)系摘要 對歐式空間中的線性變換與正交變換之間的關(guān)系進行討論關(guān)鍵詞：歐式空間線性變換正交變換線性變換和正交變換是歐氏空間的兩種重要變換。本文首先引入線性變換和正交變 換在歐氏空間中的定義，然后討論兩者之間的關(guān)系。為了閱讀方便，本文從最基本的概 念談起，即先定義線性空間、內(nèi)積、歐氏空間、線性變換和正交變換。定義1設(shè)V不是空集，P為一個數(shù)域，在V中定義加法和數(shù)量乘法（簡稱數(shù)乘）， 若對V以,P,勇 V, Vk, l e P，滿足：（1）以+ &e V，（關(guān)于加法封閉）（2）以+ 0 = 0+以，（交換律）（3）（以 + 0）+丫 =以+（0+丫），（結(jié)合律）（4）30

2、 e V,使以+ 0 =以，V以e V，（零元）（5）V以 e V，3（-a）e V，使以+（-以）=0，（負元）（6）k -a e V （關(guān)于數(shù)乘封閉）（7）1-a =a（8）k（la）=（kl）a（9）（k +1）a = ka + la（10）k（a + 0）= ka + k0則稱V為數(shù)域P上的線性空間。定義2設(shè)V是R上的一個線性空間，在V上定義了一個二元實函數(shù)，稱為內(nèi)積，記 為（a, 0），它具有以下性質(zhì)（a, 0，丫 e V,k e R）：（1）（a, 0） = （0 ,a）（2）（ka,0） = k（a,0）（3）（a + 0，丫） = （a,y） + （0，丫）（4）（a,a） 0

3、，當且僅當a = 0 時，（a,a） = 0。定義3定義2中的線性空間V就稱為歐幾里得空間，簡稱歐氏空間。定義4設(shè)V是一個線性空間，P為一個數(shù)域，對于Va, 0 e V, Vk e P，有（1）A（a + 0） = A（a） + A（0）（2）A（k-a） = kA（a）則稱A為V上的線性變換。定義5設(shè)A是歐氏空間V的一個變換，如果對于任意的a, 0e V,即保持內(nèi)積不變，都有:(A(以),A(P)=(以，P)。則稱A是正交變換。由上述定義可以得到如下命題：命題1正交變換A保持向量的長度不變。因為歐氏空間V的向量a的長度是|a| = J (a, a)，所以就有|A(a )| = ( A(a),

4、 A(a) =、：(a, a) = |a |。但是，歐氏空間中保持向量長度不變的變換不一定是一個正交變換。例如，在歐氏空間R2中，令向量a在直角坐標系下的表示為a =(氣,x2)，有A (a ) = A( x , x ) = (I x 1,1 x I)。 TOC o 1-5 h z 1212顯然A是R2的一個變換。且因為I A(x , x ) I=I (I x I,I x I) I= (I x |2 + I x |2，121212I (x , x ) I= k x2 + x2?？芍狝保持向量的長度不變。但A不是正交變換，因為對于任意的a = (x , x ), P = (y , y )1212

5、則有：x , x 1),(1 y I,|y I) = Ixy 1 + lx y2 1 r 1 r 1 12 2(A(a), A( P)=(a,p) = (x , x ),(y , y ) = xy + x y。12121 12 2二者未必相等。命題2正交變換A保持任意兩個向量的夾角不變。因為歐氏空間V的向量a、P的夾角Oe0,k的余弦可以表示為:cos 0 =(a,p)那么A(a )、A(P)的夾角0 的余弦是：cos0 = (A(a),A(P)=冬=cos0，iA(a)|A(p) ai-iPi故 0 = 0。但是，歐氏空間中保持任意兩個向量夾角不變的變換不一定是一個正交變換。例如，設(shè)A是歐氏

6、空間的一個變換，對于任意的a eV，有A(a) = ka，其中k e R。因為對于任意的以,P e V, A(a )、A(p)的夾角的余弦為:(ka,kP) _ k2(a,p) _ (a,p) 二 二 二 , |ka|kp| k 2 |a|p| |a|p|所以變換A保持了向量夾角。但是A不是正交變換，因為對于任意的a, Pe V,有：A(a, p) - (ka, kP) - k2(a, p)，這未必與(a, p)相等。這樣就容易得到一個可以判定正交變換的命題：命題3歐氏空間V的保持向量長度不變和任意兩個向量的夾角不變的變換A是 個正交變換。下面我們首先討論歐氏空間的正交變換和線性變換的關(guān)系。命

7、題4歐氏空間V的正交變換A一定是一個線性變換。證明任取a，peV，由于(A(a + p) - A(a) - A( p), A(a + p) - A(a) - A( p)=(A(a + p), A(a + p) - 2( A(a + p), A(a)-2( A( p), A(a + p) + (A(a), A(a)+2( A(a), A( p) + (A( p), A( p)(a + p, a + p) 2(a + p, a) 2( p, a + p)+(a, a) + 2(a, p) + (p, p) - 0故A(a + p) - A(a) - A( p) - 0艮 flA(a + p) -

8、A(a) + A( p)同理可證A(aa) - aA(a) - 0, a e R即A(aa) - aA(a)故A是線性變換。命題5歐氏空間V的保持向量長度不變的線性變換A一定是一個正交變換。證明 任取a，peV，由于A是保持向量長度不變的變換，即有(A(a), A(a) - (a, a),(A(p), A(p) - (p, p),(A(a + p), A(a + p) - (a + p ,a + p)。又因為A是一個線性變換，故有：(A(a + p), A(a + p) - (A(a), A(a) + 2(A(a), A(p) + (A( p), A(p),(a + p),(a + p) -

9、(a, a) + 2(a, p) + (p, p),故所以A 一定是一個正交變換。(A(以),A(P)=(以，P)。例如，在歐氏空間R2中，關(guān)于橫軸的對稱變換是一個正交變換。設(shè)任意向量在坐標系下的表示為a = (x1,x2)，A為關(guān)于橫軸的對稱變換，這樣就有：A(a) = A(xx2)=(氣,-x2)下面證明這是一個線性變換。因為：A(a + p) = A(x , x ) + (y , y ) = A(x + y , x + y ) = (x + y , -x - y )， TOC o 1-5 h z 121211221122A(a) + A(p) = A(x , x ) + A(y , y

10、) = (x , -x ) + (y , -y ) = (x + y , -x - y )，121212121122所以又因為:A(a + P) = A(a) + A(P)。A(ka ) = A(k(x , x ) = A(kx , kx ) = (kx , -kx ), 121212kA(a) = kA(x , x ) = k(x , 一x ) = (kx , -kx ),121212其中k e R。A(ka) = kA(a)。所以故A為線性變換。顯然對稱變換A又是保持長度的，因此根據(jù)命題5,它是一個正交變換。同樣，我們常見的歐氏空間R2的旋轉(zhuǎn)變換也是一個正交變換。設(shè)任意向量在坐標系下的表示

11、為a = (xi,x2)，A為逆時針方向旋轉(zhuǎn)9的變換，這樣就有： TOC o 1-5 h z A (a) = A( x , x ) = (x cos 9 - x sin 9, x cos 9 + x sin 9)。121221顯然這是個線性變換。因為：A(a + P) = A(x , x ) + (y , y ) = A(x + y , x + y )12121122=(x + y )cos 9 - (x + y )sin 9,(x + y )cos 9 + (x + y )sin 9)11222211A(a) + A( P) = A(x , x ) + A(y , y ) 1212=(x c

12、os 9 - x sin 9, x cos 9 + x sin 9) 1221+(y cos 9 - y sin 9, y cos 9 + y sin 9) 1221=(x + y )cos 9 - (x + y )sin 9,(x + y )cos 9 + (x + y )sin 9)11222211所以又因為：A(ka) = A(k (x , x ) = A(kx , kx ) = (kx cos 9 - kx sin 9, kx cos 9 + kx sin 9) 12121221=k (x cos 9 - x sin 9, x cos 9 + x sin 9) = kA(a) 1221

13、下面我們證明這個旋轉(zhuǎn)變換是一個保持長度的變換。因為：|A(a)| = |A(x ,x )| = 1(x cos9 -x sin9,x cos9 + x sin9)1121221二 J(x cos9 - x sin9)2 + (x cos9 + x sin9)21221A(a + P) = A(a) + A( P)=：x 2 + x 2 = |（x , x ） | = |所以，歐氏空間R2的旋轉(zhuǎn)變換是一個正交變換。命題6歐氏空間V的保持任意兩個向量夾角不變的線性變換A不一定是一個正交 變換。前面我們舉的例子：A是歐氏空間的一個變換，對于任意的 eV，有A（以）=k偵， 其中k e R。說明了盡管A保持了任意兩個向量夾角不變，但并不