正太分布的幾個(gè)重要概念

1、正太分布的幾個(gè)重要概念正太分布正態(tài)分布：若已知的密度函數(shù)（頻率曲線）為正態(tài)函數(shù)（曲線）則稱已知曲線 服從正態(tài)分布，記號(hào) 。其中p、02是兩個(gè)不確定常數(shù)，是正態(tài)分布的參數(shù)，不 同的p、不同的02對(duì)應(yīng)不同的正態(tài)分布。正態(tài)曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對(duì)稱，曲線與橫軸間的面積總等于1。 正態(tài)分布的特征：服從正態(tài)分布的變量的頻數(shù)分布由p、o完全決定。（1）p是正態(tài)分布的位置參數(shù)，描述正態(tài)分布的集中趨勢(shì)位置。正態(tài)分布以X=p為對(duì)稱軸，左右完全對(duì)稱。正態(tài)分布的均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)相同，均等于 p。（2）0描述正態(tài)分布資料數(shù)據(jù)分布的離散程度，o越大，數(shù)據(jù)分布越分散，o越小， 數(shù)據(jù)分布越集中。 也稱為是正態(tài)分

2、布的形狀參數(shù)， o越大，曲線越扁平，反之，o 越小，曲線越瘦高。正態(tài)曲線下面積分布1 .實(shí)際工作中，正態(tài)曲線下橫軸上一定區(qū)間的面積反映該區(qū)間的例數(shù)占總例數(shù) 的百分比，或變量值落在該區(qū)間的概率（概率分布）。不同 范圍內(nèi)正態(tài)曲線下的面積 可用公式計(jì)算。幾個(gè)重要的面積比例 軸與正態(tài)曲線之間的面積恒等于 1。正態(tài)曲線下，橫軸 區(qū)間（p-o，p+o）內(nèi)的面積為 68.268949%，橫軸區(qū)間（p-1.96o，p+1.96o ）內(nèi)的 面積為 95.449974%，橫軸區(qū)間（p-2.58o，p+2.58o ）內(nèi)的面積為 99.730020%。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線1 .標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是一種特殊的正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的

3、p和o2為0和1，通常用& （或Z）表示服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量，記為ZN （0，1）。標(biāo)準(zhǔn)化變換：此變換有特性：若原分布服從正態(tài)分布，則Z=（x- p）/oN（0, 1）就服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表就可以直接計(jì)算出原正態(tài)分布的概率值。故該變換被稱為標(biāo)準(zhǔn)化變換。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中列出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下從 到X（當(dāng)前值） 范圍內(nèi)的面積比例 。般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化由于一般的正態(tài)總體 其圖像不一定關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)于任一正態(tài)總體，其取值 小于x的概率。只要會(huì)用它求正態(tài)總體 在某個(gè)特定區(qū)間的概率即可。“小概率事件” 和假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想“小概率事件”通常指發(fā)生的概率小于

4、5%的事件，認(rèn)為在一次 試驗(yàn)中該事件是幾乎不可能發(fā)生的。這種認(rèn)識(shí)便是進(jìn)行推斷的出發(fā)點(diǎn)。關(guān)于這一點(diǎn)我 們要有以下兩個(gè)方面的認(rèn)識(shí)：一是這里的“幾乎不可能發(fā)生”是針對(duì)“一次試驗(yàn)”來(lái)說(shuō)的， 因?yàn)樵囼?yàn)次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的；二是當(dāng)我們運(yùn)用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理”進(jìn)行推斷時(shí)，我們也有5%的犯錯(cuò)誤的可能。一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)別與聯(lián)系正態(tài)分布也叫常態(tài)分布，是連續(xù)隨機(jī)變量概率分布的一種，自然界、人類社會(huì)、 心理和教育中大量現(xiàn)象均按正態(tài)形式分布，例如能力的高低，學(xué)生成績(jī)的好壞等都屬 于正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是正態(tài)分布的一種，具有正態(tài)分布的所有特征。所有正態(tài) 分布都可以通過(guò)Z分?jǐn)?shù)公式

5、轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。兩者特點(diǎn)比較：正態(tài)分布的形式是對(duì)稱的，對(duì)稱軸是經(jīng)過(guò)平均數(shù)點(diǎn)的垂線。中央點(diǎn)最高，然后逐漸向兩側(cè)下降，曲線的形式是先向內(nèi)彎，再向外彎。正態(tài)曲線下的面積為1。正態(tài)分布是一族分布，它隨隨機(jī)變量的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn) 差的大小與單位不同而有不同的分布形態(tài)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是正態(tài)分布的一種，其平均 數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差都是固定的，平均數(shù)為 0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。正態(tài)分布曲線下標(biāo)準(zhǔn)差與概率面積有固定數(shù)量關(guān)系。所有正態(tài)分布都可以 通過(guò)Z分?jǐn)?shù)公式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。主要特征1、集中性：正態(tài)曲線的高峰位于正中央，即均數(shù)所在的位置。2、對(duì)稱性：正態(tài)曲線以均數(shù)為中心，左右對(duì)稱，曲線兩端永遠(yuǎn)不與橫軸相交。3、均勻變動(dòng)性：正態(tài)曲

6、線由均數(shù)所在處開(kāi)始，分別向左右兩側(cè)逐漸均勻下降。4、正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即均數(shù)p和標(biāo)準(zhǔn)差6可記作N(p，a)：均數(shù)p決定 正態(tài)曲線的中心位置；標(biāo)準(zhǔn)差 a決定正態(tài)曲線的陡峭或扁平程度。a越小，曲線越陡 峭；a越大，曲線越扁平。5、u變換：為了便于描述和應(yīng)用，常將正態(tài)變量作數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。方差在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，方差(英文 Variance )用來(lái)度量隨機(jī)變量和其數(shù)學(xué)期望(即均值)之間的偏離程度。在許多實(shí)際問(wèn)題中，研究隨機(jī)變量和均值之間的偏離程 度有著很重要的意義。如下面的例子：已知某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果X 用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：- .= 4- = - 1甲儀

7、器測(cè)量結(jié)果：乙儀器測(cè)量結(jié)果：i兩臺(tái)儀器的測(cè)量結(jié)果的均值都是a。但是用上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣，很明顯，我們會(huì)認(rèn)為乙儀器的性能更好，因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近。由此可見(jiàn)，研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十分必要的.那么，用怎樣的量去 度量這個(gè)偏離程度呢？容易看到E(|X-E(X)|)能度量隨機(jī)變量與其均值E(X)的偏離程度.方差就是用：樣本值與平均值的差值的平方和，再除以樣本總個(gè)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation)，也稱均方差(mean square error)，是各數(shù)據(jù)偏離平均 數(shù)的距離的平均數(shù)，它是離均差平方和平均后的方根，用a表示。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平

8、方根。標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。簡(jiǎn)介(弋-行公式標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為 標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，公式如圖。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，標(biāo)準(zhǔn)差是一組數(shù)據(jù)平均值分散程度的一種度量。一個(gè)較大的標(biāo)準(zhǔn)差， 代表大部分?jǐn)?shù)值和其平均值之間差異較大；一個(gè)較小的標(biāo)準(zhǔn)差，代表這些數(shù)值較接近 平均值。例如，兩組數(shù)的集合0, 5, 9, 14和5, 6, 8, 9其平均值都是7，但第二 個(gè)集合具有較小的標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差可以當(dāng)作不確定性的一種測(cè)量。例如在物理科學(xué)中，做重復(fù)性測(cè)量時(shí)，測(cè) 量數(shù)值集合的標(biāo)準(zhǔn)差代表這些測(cè)量的精確度。當(dāng)要決定測(cè)量值是否符合預(yù)測(cè)值，測(cè)量 值的標(biāo)準(zhǔn)差占有決定性重要角色：如果測(cè)量平均值與預(yù)

9、測(cè)值相差太遠(yuǎn)（同時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)差 數(shù)值做比較），則認(rèn)為測(cè)量值與預(yù)測(cè)值互相矛盾。這很容易理解，因?yàn)槿绻麥y(cè)量值都 落在一定數(shù)值范圍之外，可以合理推論預(yù)測(cè)值是否正確。標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)用于投資上，可作為量度回報(bào)穩(wěn)定性的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越大，代表回 報(bào)遠(yuǎn)離過(guò)去平均數(shù)值，回報(bào)較不穩(wěn)定故風(fēng)險(xiǎn)越高。相反，標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越細(xì)，代表回報(bào) 較為穩(wěn)定，風(fēng)險(xiǎn)亦較小。例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)，A組的分?jǐn)?shù)為95、85、7 5、65、55、45，B組的分?jǐn)?shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70， 但A組的標(biāo)準(zhǔn)差為17.07分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差為2.37分（此數(shù)據(jù)時(shí)在R統(tǒng)計(jì)軟件中運(yùn) 行獲得），說(shuō)明A組學(xué)生

10、之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。如是總體，標(biāo)準(zhǔn)差公式根號(hào)內(nèi)除以 n如是樣本，標(biāo)準(zhǔn)差公式根號(hào)內(nèi)除以（n-1）因?yàn)槲覀兇罅拷佑|的是樣本，所以普遍使用根號(hào)內(nèi)除以（n-1）公式意義所有數(shù)減去其平均值的平方和，所得結(jié)果除以該組數(shù)之個(gè)數(shù)（或個(gè)數(shù)減一），再把所得值開(kāi)根號(hào)，所得之?dāng)?shù)就是這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差的意義標(biāo)準(zhǔn)差越高，表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)越離散，也就是說(shuō)越不精確反之,標(biāo)準(zhǔn)差越低，代表實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)越精確峰度與偏度峰度是描述總體中所有取值分布形態(tài)陡緩程度的統(tǒng)計(jì)量。這個(gè)統(tǒng)計(jì)量需要與正態(tài)分布相 比較，峰度為0表示該總體數(shù)據(jù)分布與正態(tài)分布的陡緩程度相同；峰度大于0表示該總體數(shù) 據(jù)分布與正態(tài)分布相比較為陡峭，為尖頂峰；峰度小于0表示該總體數(shù)據(jù)分布與正態(tài)分布相 比較為平坦，為平頂峰。峰度的絕對(duì)值數(shù)值越大表示其分布形態(tài)的陡緩程度與正態(tài)分布的差 異程度越大。偏度與峰度類似，它也是描述數(shù)據(jù)分布形態(tài)的統(tǒng)計(jì)量，其描述的是某總體取值分布的對(duì) 稱性。這個(gè)統(tǒng)計(jì)量同樣需要與正態(tài)分布相比較，偏度為0表示其數(shù)據(jù)分布形態(tài)與正態(tài)分布的 偏斜程度相同；偏度大于0表示其數(shù)據(jù)分布形態(tài)與正態(tài)分布相比為正偏或右偏，即有一條長(zhǎng) 尾巴拖在右邊，數(shù)據(jù)右端有較多的極端值；偏度小于0表示其數(shù)據(jù)分布形態(tài)與正態(tài)分布相比 為負(fù)偏或左偏，即有一條長(zhǎng)尾拖在左邊，數(shù)據(jù)左端有較多的極端值。偏度的絕對(duì)值數(shù)值越大 表示其分布形態(tài)的偏斜程度越大。