線性系統(tǒng)理論第四章線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性分解課件

1、第四章線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性 重慶大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院 柴毅 魏善碧2引言能控性和能觀測(cè)性是系統(tǒng)的兩個(gè)基本結(jié)構(gòu)特性能控性和能觀測(cè)性對(duì)于控制和估計(jì)問題的研究，有著很重要的意義。引言學(xué)習(xí)目標(biāo)把握能控性和能觀測(cè)性的概念正確理解線性定常和時(shí)變系統(tǒng)能控性和能觀測(cè)性并掌握其主要判據(jù)掌握能控性和能觀測(cè)性判據(jù)證明方法正確理解能控和能觀測(cè)規(guī)范型掌握結(jié)構(gòu)分解的基本概念和主要結(jié)論4引言主要內(nèi)容能控性和能觀測(cè)性的數(shù)學(xué)定義線性系統(tǒng)能控性和能觀測(cè)性的判別準(zhǔn)則完全能控、完全能觀測(cè)的規(guī)范型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解引言重點(diǎn)難點(diǎn)能控性和能觀測(cè)性的定義和判別準(zhǔn)則系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解6第4章 線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性 4.1 能控性和能觀測(cè)性的定義 4

2、.2 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù) 4.3 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù) 4.4 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性判據(jù) 4.5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性 4.6 對(duì)偶性原理 4.7 離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測(cè)性的條件 4.8 能控規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型 4.9 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解74.1 能控性和能觀測(cè)性的定義 能控性 可見系統(tǒng)的能控性反映了控制矢量u(t)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的控制性質(zhì)，與系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。 84.1 能控性和能觀測(cè)性的定義 能控性定義 對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng) 如果存在一個(gè)時(shí)刻 以及一個(gè)無約束的容許控制u(t) 使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=x0轉(zhuǎn)移到x(t1)

3、=0 ，則稱非零狀態(tài)X0在t0時(shí)刻為能控。 如果存在一個(gè)時(shí)刻t1J,t1t0,以及一個(gè)無約束的容許控制u(t)，tt0,t1,使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=0轉(zhuǎn)移到x(t1)=xf0，則稱非零狀態(tài)xf在t0時(shí)刻為能達(dá)。 能控性，能達(dá)性定義94.1 能控性和能觀測(cè)性的定義 系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性關(guān)系 對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性等價(jià)；對(duì)離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)，若系統(tǒng)矩陣為非奇異，則能控性和能達(dá)性等價(jià)；對(duì)連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性一般為不等價(jià)。 104.1 能控性和能觀測(cè)性的定義 定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng) 和指定初始時(shí)刻t0J ，如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)非零狀態(tài)或一個(gè)非空

4、狀態(tài)集合在時(shí)刻t0J為不能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為不完全能控/能達(dá)。 定義：若系統(tǒng)的能控/能達(dá)性與初始時(shí)刻t0的選取無關(guān)，或系統(tǒng)在任意初始時(shí)刻t0J均為完全能控/能達(dá)，則稱系統(tǒng)為一致完全能控/能達(dá)。 定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng) 和指定初始時(shí)刻t0J，如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時(shí)刻t0J都為能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為完全能控/能達(dá)。 114.1 能控性和能觀測(cè)性的定義 能觀測(cè)性 該系統(tǒng)是不完全能觀測(cè)的由于 可見系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)的能觀測(cè)性與x(t0)的能觀測(cè)性是等價(jià)的。124.1 能控性和能觀測(cè)性的定義 能觀測(cè)性定義 對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)和指定初始時(shí)刻t0J,如果存在一個(gè)時(shí)刻t1J

5、 ，t1t0，使系統(tǒng)以x(t0)=x0為初始狀態(tài)的輸出y(t)恒為零，即y(t) 0，tt0,t1，則稱非零狀態(tài)x0在時(shí)刻t0為不能觀測(cè)；如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時(shí)刻t0都不為不能觀測(cè)，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為完全能觀測(cè)；如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)非零狀態(tài)或一個(gè)非零狀態(tài)集合在時(shí)刻t0為不能觀測(cè)，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為不完全能觀測(cè)；如果系統(tǒng)對(duì)任意時(shí)刻均為完全能觀測(cè)，即能觀測(cè)性與初始時(shí)刻t0的選取無關(guān)，則稱系統(tǒng)為一致完全能觀測(cè)。 13第4章 線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性 4.1 能控性和能觀測(cè)性的定義 4.2 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù) 4.3 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù) 4.4 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系

6、統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性判據(jù) 4.5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性 4.6 對(duì)偶性原理 4.7 離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測(cè)性的條件 4.8 能控規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型 4.9 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解144.2 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù)證明: 充分性 為非奇異時(shí)，系統(tǒng)能控 根據(jù)能控性定義，系統(tǒng)是能控的 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)： 完全能控的充分必要條件是，存在時(shí)刻t10，使格拉姆矩陣 為非奇異。 采用構(gòu)造法：構(gòu)造相應(yīng)控制輸入u(t)為 結(jié)論1154.2 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù) 必要性：反證法。 是奇異的，且系統(tǒng)能控，看能否導(dǎo)出矛盾由于是奇異的，則存在一個(gè)非零狀態(tài)有 要使上式成立，只有

7、另外，由于系統(tǒng)完全能控，則有 可得 164.2 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù)由于可得即表明， 反設(shè)不成立，為非奇異。174.2 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù) 結(jié)論2對(duì)n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為能控性判別矩陣 滿秩，即rankQc=n 即，狀態(tài)空間 中至少存在一個(gè)非零狀態(tài)，使成立。184.2 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù) 證明： 先證充分性。已知 ，欲證系統(tǒng)完全能控。 采用反證法。反設(shè)系統(tǒng)不完全能控，則據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)知，格拉姆矩陣 為奇異。由此，可導(dǎo)出：將上式對(duì)時(shí)間變量 t 求導(dǎo)直至 (n-1) 次，再在導(dǎo)出結(jié)果中令t=0，可以得到進(jìn)而，表上述關(guān)系式組為：基此并

8、由 ，可知判別矩陣 行線性相關(guān)，即 。矛盾于已知 ，反設(shè)不成立，系統(tǒng)完全能控。充分性得證194.2 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù)再證必要性。已知系統(tǒng)完全能控，欲證 。采用反證法。反設(shè) ，即 行線性無關(guān)。這意味著，狀態(tài)空間 中至少存在一個(gè)非零狀態(tài)，使成立：考慮問題一般性，由上式可導(dǎo)出：再據(jù)凱萊-哈密爾頓定理知， 均可表為 的線性組合。由此，可將上式進(jìn)一步擴(kuò)展為這意味著格拉姆矩陣 奇異，即系統(tǒng)不完全能控。矛盾于已知系統(tǒng)完全能控，反設(shè)不成立，必有 。必要性得證。于是，對(duì)任意 ，可以得到或可導(dǎo)出4.2 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù)204.2 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù) n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全

9、能控的充分必要條件為： rankSI-AB=n,或?yàn)橄到y(tǒng)特征值 結(jié)論3證明：必要性。已知系統(tǒng)完全能控，欲證以上兩式成立。 采用反證法。反設(shè)對(duì)某個(gè)特征值i，有rankiI-A，B0，使格拉姆矩陣 為非奇異。 結(jié)論1384.3 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)證明：先證充分性。已知 非奇異，欲證系統(tǒng)完全能觀測(cè)采用構(gòu)造性方法。由 非奇異，可知逆 存在。因此，對(duì)區(qū)間0，t1上任意輸出y(t)，可以構(gòu)造：這表明，在 非奇異條件下，總可根據(jù)區(qū)間0，t1上任意輸出y(t)構(gòu)造出對(duì)應(yīng)非零初始狀態(tài)x0。根據(jù)定義，系統(tǒng)完全能觀測(cè)。充分性得證。4.3 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)再證必要性。已知系統(tǒng)完全能觀測(cè)，欲證

10、 非奇異。采用反證法。反設(shè) 奇異，即反設(shè)存在某個(gè)n 1非零狀態(tài) ，使成立這意味著據(jù)定義知，非零狀態(tài) 為狀態(tài)空間中一個(gè)不能觀測(cè)狀態(tài)，矛盾于已知系統(tǒng)完全能觀測(cè)。反設(shè)不成立， 非奇異。必要性得證。證明完成39404.3 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)結(jié)論2 對(duì)n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為能觀測(cè)性判別矩陣 滿秩，即 rank Qo=n 4.3 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)結(jié)論3n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件：或?yàn)橄到y(tǒng)特征值41424.3 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)結(jié)論4 對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為對(duì)角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能

11、觀測(cè)的充分必要條件是C陣中不包含零列向量。 結(jié)論5 對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是： 特征值互異的約當(dāng)塊第一列對(duì)應(yīng)的C陣中，該列元素不全為零。 特征值相同的約當(dāng)塊第一列對(duì)應(yīng)的C陣中，各列向量線性無關(guān)。434.3 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)定義：令 完全能觀測(cè)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能觀測(cè)性指數(shù)定義為使“rankQk=n”成立的最小正整數(shù)。 結(jié)論6 對(duì)完全能觀測(cè)單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，則能觀測(cè)性指數(shù)為=n。 能觀測(cè)性指數(shù) 444.3 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)結(jié)論7 對(duì)完全能觀測(cè)多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n

12、，輸入維數(shù)為q，設(shè)rankC=m，則 設(shè) 為矩陣A的最小多項(xiàng)式次數(shù)，則 結(jié)論8 對(duì)多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)rankC=m ，則系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是： 45第4章 線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性 4.1 能控性和能觀測(cè)性的定義 4.2 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù) 4.3 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù) 4.4 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性判據(jù) 4.5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性 4.6 對(duì)偶性原理 4.7 離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測(cè)性的條件 4.8 能控規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型 4.9 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解46線性時(shí)變系統(tǒng)在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是

13、下列格蘭姆矩陣為非奇異矩陣 結(jié)論1（能控性判據(jù)） 4.4 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性判據(jù) 4.4 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性判據(jù)證明 充分性 為非奇異時(shí)，系統(tǒng)能控 說明系統(tǒng)是能控的 484.4 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性判據(jù)反證法 必要性 是奇異的，且系統(tǒng)能控，看能否導(dǎo)出矛盾由于是奇異的，則存在一個(gè)非零狀態(tài)有 因此可以導(dǎo)出 另外，由于系統(tǒng)完全能控，則有 494.4 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性判據(jù)可得 即有 表明與反設(shè)條件矛盾。即 非奇異。因?yàn)?所以 504.4 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性判據(jù)結(jié)論2 （能控性判據(jù)） n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)

14、變系統(tǒng) 設(shè)A(t),B(t)對(duì)t為n-1階連續(xù)可微，定義 則系統(tǒng)在時(shí)刻t0J 完全能控的一個(gè)充分條件為，存在一個(gè)有限時(shí)刻t1J，t1t0，使 514.4 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性判據(jù)為非奇異矩陣 能觀測(cè)性判據(jù) 結(jié)論1 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是，存在時(shí)刻t10，使格拉姆矩陣 524.4 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性判據(jù)n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)設(shè)A(t),C(t)對(duì)t為n-1階連續(xù)可微，定義 則系統(tǒng)在時(shí)刻t0J完全能觀測(cè)的一個(gè)充分條件為，存在一個(gè)有限時(shí)刻t1J，t1t0，使 結(jié)論2 53第4章 線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性 4.1 能控性和能觀測(cè)性的定

15、義 4.2 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù) 4.3 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù) 4.4 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性判據(jù) 4.5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性 4.6 對(duì)偶性原理 4.7 離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測(cè)性的條件 4.8 能控規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型 4.9 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解544.5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性定義 離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng) 如果對(duì)初始時(shí)刻 hJk 和任意非零初始狀態(tài) X(h)=X0 都存在時(shí)刻 lJk, l h 和對(duì)應(yīng)輸入 u(k) ,使輸入作用下系統(tǒng)狀態(tài)在時(shí)刻 lJk 達(dá)到原點(diǎn)，即有 X(l)=0 ,則稱系統(tǒng)在時(shí)刻 h 完全能控； 如果

16、對(duì)初始時(shí)刻 h 和任意非零狀態(tài) Xl，都存在時(shí)刻lJk,lh和對(duì)應(yīng)輸入 u(k)，使輸入作用下由初始狀態(tài) X(h)=0 出發(fā)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻 lJk 達(dá)到 Xl ，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻 h 完全能達(dá)。 時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性判據(jù)554.5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性結(jié)論1 離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能達(dá)的充分必要條件為，存在時(shí)刻lJk,l h，使格蘭姆矩陣 為非奇異 564.5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性結(jié)論2 若系統(tǒng)矩陣G(k)對(duì)所有 kh,l-1 非奇異，則離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻hJk完全能控的充分必要條件為，存在時(shí)刻lJk,lh，使格蘭姆矩陣 為非奇異 若系統(tǒng)矩陣G

17、(k)對(duì)一個(gè)或一些kh,l-1奇異。格蘭姆矩非奇異為系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能控的一個(gè)充分條件。 若系統(tǒng)矩陣G(k)對(duì)所有kh,l-1非奇異，則系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價(jià)。 若離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的時(shí)間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。574.5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性結(jié)論3 系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為，存在時(shí)刻l 0，使格蘭姆矩陣 為非奇異。若系統(tǒng)矩陣 G 非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為存在時(shí)刻 l 0，使格蘭姆矩陣 為非奇異。若系統(tǒng)矩陣 G 奇異，則上述格蘭姆矩陣非奇異為系統(tǒng)完全能控的充分條件。 時(shí)不變系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù)離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) 584

18、.5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性結(jié)論4 n維離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) 系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為矩陣 滿秩 若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為 rankQkc=n 。若系統(tǒng)矩陣G奇異，rankQkc=n 為系統(tǒng)完全能控的一個(gè)充分條件若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價(jià)。若離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。594.5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性例設(shè)單輸入線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試判斷系統(tǒng)的能控性，若初始狀態(tài) x(0)=2,1,0T，確定使 x(3)=0 的控制序列 u(0)，u(1)

19、，u(2) 。 解： 系統(tǒng)是能控的 604.5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性令614.5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性結(jié)論6 離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻hJk完全能觀測(cè)的充分必要條件為，存在一個(gè)離散時(shí)刻lJk,l h,使格蘭姆矩陣 為非奇異 時(shí)變系統(tǒng)的能觀性判據(jù)結(jié)論7 離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為，存在一個(gè)離散時(shí)刻l 0,使格蘭姆矩陣 為非奇異 時(shí)不變系統(tǒng)的能觀性判據(jù)624.5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性結(jié)論8 n 維離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為 滿秩 結(jié)論9 若單輸出離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)，則利用n步輸出值就可構(gòu)造出相應(yīng)的

20、初始狀態(tài) 63第4章 線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性 4.1 能控性和能觀測(cè)性的定義 4.2 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù) 4.3 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù) 4.4 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性判據(jù) 4.5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性 4.6 對(duì)偶性原理 4.7 離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測(cè)性的條件 4.8 能控規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型 4.9 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解644.6 對(duì)偶性原理能控性判據(jù)能觀測(cè)性判據(jù)654.6 對(duì)偶性原理定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng) 其對(duì)偶系統(tǒng)定義為如下形式的一個(gè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)其中，狀態(tài)X為n維行向量,協(xié)狀態(tài)為n維行向量 輸入u為p維列向量,輸

21、入為q 維行向量 輸出Y為q維列向量,輸出為p 維行向量 結(jié)論1 原構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 與對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 之間滿足如下關(guān)系 4.6 對(duì)偶性原理 原系統(tǒng)和對(duì)偶系統(tǒng)d的系數(shù)矩陣之間具有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系 d系統(tǒng)矩陣 系統(tǒng)矩陣的轉(zhuǎn)置d輸入矩陣 輸出矩陣的轉(zhuǎn)置d輸出矩陣輸入矩陣的轉(zhuǎn)置B(t)C(t)A(t)+uxy線性時(shí)變系統(tǒng)BT(t)CT(t)AT(t)+TTT對(duì)偶系統(tǒng)66674.6 對(duì)偶性原理結(jié)論2 設(shè)為原構(gòu)線性系統(tǒng)，d為對(duì)偶線性系統(tǒng)，則有 完全能控 d 完全能觀測(cè) 完全能觀測(cè) d 完全能控 證 不失普遍性，考慮連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)。對(duì)此，利用格拉姆 矩陣判據(jù)，并利用 和 的系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)關(guān)系，

22、即可證得：68第4章 線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性 4.1 能控性和能觀測(cè)性的定義 4.2 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù) 4.3 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù) 4.4 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性判據(jù) 4.5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性 4.6 對(duì)偶性原理 4.7 離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測(cè)性的條件 4.8 能控規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型 4.9 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解694.7 離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測(cè)性的條件 設(shè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) 對(duì)應(yīng)的時(shí)間離散化系統(tǒng) 其中A的特征值 704.7 離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測(cè)性的條件結(jié)論1 如果連續(xù)系統(tǒng)（A,B,C）不能控（不

23、能觀測(cè)），則對(duì)任意采樣周期T離散化后的系統(tǒng)（G,H,C）也是不能控（不能觀測(cè)）的。 證明：用反證法 設(shè)連續(xù)系統(tǒng)不能控，而對(duì)于某采樣T離散化后的系統(tǒng)卻是能控的。則rankH,GH,G2H,Gn-1H=n 714.7 離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測(cè)性的條件容易驗(yàn)證 為可交換陣，故 由于eAiT可用I、A、A2、An-1線性表示，故 連續(xù)系統(tǒng)是能控的，矛盾。本定理也可敘述為： 如果離散化后的系統(tǒng)是能控（能觀測(cè)）的，則離散化前的連續(xù)系統(tǒng)一定是能控（能觀測(cè)）的。724.7 離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測(cè)性的條件結(jié)論2 設(shè)連續(xù)系統(tǒng)（A,B,C）能控（能觀測(cè)），則離散化后的系統(tǒng)也能控（能觀測(cè)）的必要條件

24、是： 不是A的特征值。其中k為非零整數(shù) 結(jié)論3 對(duì)時(shí)間離散化，使采樣周期T的值 則時(shí)間離散化系統(tǒng)能控的充分必要條件是 eATB 為行線性無關(guān) 734.7 離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測(cè)性的條件結(jié)論4 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，其時(shí)間離散化系統(tǒng)保持完全能控/完全能觀測(cè)的一個(gè)充分條件為，采樣周期 T 滿足如下條件：對(duì)A的任意兩個(gè)特征值1、2，不存在非零整數(shù)k，使成立對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，本定理是充分必要的。74 4.1 能控性和能觀測(cè)性的定義 4.2 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù) 4.3 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù) 4.4 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性判據(jù) 4.5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的

25、能控性和能觀測(cè)性 4.6 對(duì)偶性原理 4.7 離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測(cè)性的條件 4.8 能控規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型 4.9 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解第4章 線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性754.8 能控規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型定義 一個(gè)單輸入系統(tǒng)，如果其A、b陣具有如下形式： 則系統(tǒng)一定能控。這種形式的A、b陣稱為能控標(biāo)準(zhǔn)形 能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形：SISO情形764.8 能控規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型結(jié)論1 對(duì)完全能控n維單輸入單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) 則通過變換矩陣 774.8 能控規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型可將系統(tǒng)變換成能控規(guī)范形，即導(dǎo)出 784.8 能控規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型定義 一個(gè)單輸出系統(tǒng)，如果

26、其A、c陣具有如下形式： 則系統(tǒng)一定能觀測(cè)，此時(shí)的A、c陣稱為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形 794.8 能控規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型其中結(jié)論2 對(duì)完全能觀測(cè)的n 維單輸入單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，其能觀測(cè)規(guī)范形可基于線性非奇異變換 可導(dǎo)出 804.8 能控規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型旺納姆能控規(guī)范形，旺納姆能觀測(cè)規(guī)范形龍伯格能控規(guī)范形，龍伯格能觀測(cè)規(guī)范形 能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形：MIMO情形81第4章 線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性 4.1 能控性和能觀測(cè)性的定義 4.2 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù) 4.3 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù) 4.4 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性判據(jù) 4.5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的

27、能控性和能觀測(cè)性 4.6 對(duì)偶性原理 4.7 離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測(cè)性的條件 4.8 能控規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型 4.9 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解4.9 線性連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解系統(tǒng)：不完全能控、不完全能觀測(cè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分為：能控、不能控部分，能觀測(cè)、不能觀測(cè)部分，或分為能控且能觀測(cè)、能控不能觀測(cè)、不能控能觀測(cè)、不能控不能觀測(cè)深刻了解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性揭示狀態(tài)空間描述和輸入輸出描述間的關(guān)系834.9 線性連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性在線性非奇異變換下保持不變。能控性指數(shù)，能觀測(cè)性指數(shù)也保持不變。 能控性和能觀測(cè)性在坐標(biāo)變換下的特性結(jié)論844.9 線性連續(xù)時(shí)

28、不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解設(shè)不能控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 x為n維狀態(tài)向量，能控性判別矩陣的秩rankQc=rn。Qc=B|AB|An-1B任意選出其中r個(gè)線性無關(guān)列，記為q1,q2,qr。再在n維實(shí)數(shù)空間任意選取n-r個(gè)列向量，使其和q1,q2,qr為線性無關(guān)，構(gòu)成非奇異變換T-1T-1=P=q1,q2,qr | Qr+1,qn 系統(tǒng)按能控性分解854.9 線性連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解 對(duì)不完全能控系統(tǒng)，經(jīng)非奇異變換 后，可導(dǎo)出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性分解的動(dòng)態(tài)方程 于是可得能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程 不能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程 結(jié)論 864.9 線性連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解例：已知 試按能控性進(jìn)行規(guī)范分解. 解： 系統(tǒng)不完全

29、能控，取 874.9 線性連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 不能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 88設(shè)不能觀測(cè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 4.9 線性連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解 系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解x為n維狀態(tài)向量，能觀測(cè)性判別矩陣的秩rank Qo =mn。從Qo任意選出其中m個(gè)線性無關(guān)行，記為h1,h2,hr 。再在n維實(shí)數(shù)空間任意選取n-r個(gè)列向量，使其和h1,h2,hr 為線性無關(guān)，構(gòu)成非奇異變換T-14.9 線性連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解 對(duì)不完全能觀測(cè)系統(tǒng)，經(jīng)非奇異變換 后，可導(dǎo)出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能觀測(cè)性分解的動(dòng)態(tài)方程 結(jié)論 能觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 不能觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程 894.9 線性連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解設(shè)系統(tǒng)（A,B,C）不能控、不能觀測(cè)，可先對(duì)系統(tǒng)按能控性分解，即令 再分別對(duì)能控子系統(tǒng)、不能控子系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解 得到 系統(tǒng)按能控性和能觀測(cè)性的分解914.9 線性連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解經(jīng)T-1變換后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 924.9 線性連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解能控、能觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：能控、不能觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 不能控、能觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 不能控、不能觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 934.9 線性連續(xù)時(shí)不