空間夾角和距離的計(jì)算.課件

1、第7課時(shí)空間夾角和距離的計(jì)算1利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系若直線l，l1，l2的方向向量分別為v，v1，v2，平面，的法向量分別為n1，n2，利用向量證明空間中平行關(guān)系與垂直關(guān)系的基本方法列表如下：平行垂直直線與直線l1l2v1v2v1v2(為非零實(shí)數(shù))l1l2v1v2v1v20直線與平面(1)lvn1vn10(2)lvxayb其中a，b為平面內(nèi)不共線向量，x，y均為實(shí)數(shù)lvn1vn1(為非零實(shí)數(shù))平面與平面n1n2n1n2(為非零實(shí)數(shù))n1n2n1n202.利用空間向量求空間角(1)直線間的夾角當(dāng)兩條直線l1與l2共面時(shí)，我們把兩條直線交角中不超過(guò)90的角叫做當(dāng)直線l1與l2是異面直線時(shí)

2、，在直線l1上任取一點(diǎn)A作ABl2，我們把直線l1和直線AB的夾角叫做 其夾角.兩直線的夾角異面直線l1與l2的夾角(2)平面間的夾角兩個(gè)平面所成的二面角的平面角的大小就是這其夾角0，平面1和2的法向量為n1和n2，MRN為兩個(gè)平面二面角的平面角，它由n1，n2確定s1，s2 s1，s2 兩個(gè)平面的夾角n1，n2 n1，n2 (3)直線與平面的夾角平面外一條直線與它在平面內(nèi)的夾角叫做該直線與此平面的夾角其夾角 .已知直線的方向向量s與平面的法向量n，當(dāng)s，n時(shí)，則=；當(dāng)s，n時(shí)，則.投影3利用空間向量求空間距離(1)空間一點(diǎn)A到直線l的距離的算法框圖如圖d . (2)空間一點(diǎn)A到平面的距離的算

3、法框圖如圖d . 1已知平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)M(1，1,2)，平面的一個(gè)法向量為n(6，3,6)，則下列點(diǎn)P中，在平面內(nèi)的是()AP(2,3,3)BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)答案：A2已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為()A45 B135C45或135 D90答案：C答案：C答案：45如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AA12，則二面角C1ABC的余弦值為_(kāi)利用向量的夾角來(lái)求異面直線的夾角時(shí)，注意區(qū)別：當(dāng)異面直線的向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是該異面直線的夾角；當(dāng)異面直線的向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是異面直線的

4、夾角(2010天津卷)如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求異面直線EF與A1D所成角的余弦值；(2)證明：AF平面A1ED.利用向量法求線面角的方法一是分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；二是通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角【變式訓(xùn)練】2.如圖(1)，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2.將ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到幾何體DABC，如圖(2)所示(1

5、)求證：BC平面ACD；(2)求BC與平面ABD所成角的正弦值利用空間向量方法求二面角，可以有兩種辦法：一是分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找到一個(gè)與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大??；二是通過(guò)平面的法向量來(lái)求：設(shè)二面角的兩個(gè)面的法向量分別為n1和n2，則二面角的大小等于n1，n2(或n1，n2)【注意】利用空間向量方法求二面角時(shí)，注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱垂直于底面， BAC90，ABAA12，AC1，M、N分別 是A1B1、BC的中點(diǎn)(1)證明：MN平面ACC1A1；(2)求二面角MANB的余弦值解析：依條件可知

6、AB、AC、AA1兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.【變式訓(xùn)練】3.如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE平面BCC1，(1)證明：ABAC；(2)設(shè)二面角ABDC為60，求B1C與平面BCD所成的角的大小利用空間向量解決探索性問(wèn)題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜繁難的作圖、論證、推理，只須通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷，在解題過(guò)程中，往往把“是否存在”問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，可以使問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)單、有效、應(yīng)善于運(yùn)用這一方法 如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，BCAC，BCAC2，D為AC的中點(diǎn)(1)求證

7、：AB1面BDC1；(2)若AA13，求二面角C1BDC的余弦值；(3)若在線段AB1上存在點(diǎn)P，使得CP面BDC1，試求AA1的長(zhǎng)及點(diǎn)P的位置解析：(1)證明：如圖，連結(jié)B1C，交BC1于點(diǎn)O，連結(jié)OD，則O為B1C的中點(diǎn)，D為AC中點(diǎn)，ODAB1，又AB1平面BDC1，OD平面BDC1，AB1平面BDC1.(2)AA1平面ABC，BCAC，AA1CC1，CC1平面ABC，則BC平面AA1C1C，CC1AC.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則C1(3,0,0)，B(0,0,2)，D(0,1,0)，C(0,0,0)，1用向量知識(shí)證明立體幾何問(wèn)題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運(yùn)算進(jìn)

8、行判斷；另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量，共分三步：(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量(或坐標(biāo))表示問(wèn)題中所涉及的點(diǎn)、線、面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系；(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來(lái)解釋相關(guān)問(wèn)題2若利用向量求角，各類(lèi)角都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角來(lái)運(yùn)算(1)求兩異面直線a、b的夾角，須求出它們的方向向量a，b的夾角，則cos |cosa，b|.(2)求直線l與平面所成的角可先求出平面的法向量n與直線l的方向向量a的夾角則sin |cosn，a|.(3)求二面角l的大小，可先求出兩個(gè)平面的法向量n1，n2所成的角，則n1，n2或n1，n2從近兩年的高考試題來(lái)看，利用空間向量證明平行與垂直，以及求空間角是高考的熱點(diǎn)，題型主要為解答題，難度屬于中等偏高，主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量的平行與垂直的充要條件，如何用向量法解決空間角等，同時(shí)注重考查學(xué)生空間想象能力、運(yùn)算能力【閱后報(bào)告】本題考查了面面垂直及直線PB和平面PCD所成的角，求空間角的主要方法是利用空間坐標(biāo)系，求解時(shí)應(yīng)注意向量的夾角并不一定是所求空間角，應(yīng)結(jié)合圖形的特點(diǎn)來(lái)確定解析：(1)如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB、AD、AP分別為