電磁場與電磁波簡明教程4：第4章時變電磁場課件

1、4.1 波動方程 問題的提出 麥克斯韋方程：一階矢量微分方程組，描述電磁場 的相互作用關(guān)系 麥克斯韋方程組 波動方程。 波動方程：二階矢量微分方程，揭示電磁場的波動性。1同理，從第2方程出發(fā)可得 推證 問題: 若為有源空間，如何？ 若為導(dǎo)電媒質(zhì)，如何？ 無源區(qū)的電磁場波動方程 對線性、各向同性、無損耗的無源均勻媒質(zhì)空間，2引入位函數(shù)描述時變電磁場，可簡化分析。 引入位函數(shù)的意義 位函數(shù)的定義4.2 電磁場的位函數(shù)3 位函數(shù)的不確定性 滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù) 和 能描述同一電磁場問題。于是 上式表明，對給定的電磁場可用不同的位函數(shù)描述?？赏ㄟ^規(guī)定A 的散度使位函數(shù)滿足的方程簡化, 常用洛侖

2、茲條件為任意可微函數(shù)4 應(yīng)用洛侖茲條件的特點： 位函數(shù)滿足的方程形式上對稱，簡單，易求解； 解的物理意義非常清楚，明確反映出電磁場的傳遞速度； 矢量位只決定于J，標(biāo)量位只決定于，這對求解方程 特別有利。只需解出A，無需解出，就可求出電場和磁場。 5 位函數(shù)的微分方程6同樣7 進入體積V的能量體積V內(nèi)增加的能量體積V內(nèi)損耗的能量電場能量密度：磁場能量密度：電磁能量密度：空間區(qū)域V中的電磁能量： 特點：當(dāng)場隨時間變化時，空間各點的電磁場能量密度也要隨 時間改變，從而引起電磁能量流動。 電磁能量守恒關(guān)系： 電磁能量及守恒關(guān)系4.3 電磁能量守恒定律 8其中： 單位時間內(nèi)體積V 中所增加 的電磁能量。

3、 單位時間內(nèi)電場對體積V中的電流所做的功； 在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率。 通過曲面S 進入體積V 的電磁功率。 表征電磁能量守恒關(guān)系積分形式： 坡印廷定理微分形式：9在線性和各向同性的媒質(zhì)中，當(dāng)參數(shù)都不隨時間變化時，則有將以上兩式相減，得到由 推證10即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式：在任意閉曲面S 所包圍的體積V上，對上式兩端積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式 物理意義：單位時間內(nèi)，通過曲面S 進入體積V的電磁能量等于 體積V 中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。11 定義： ( W/m2 ) 物理意義： 的方向 電磁能量傳輸?shù)姆较?的大小 通過垂直

4、于能量傳輸方 向的單位面積的電磁功率 描述時變電磁場中電磁能量傳輸?shù)囊粋€重要物理量 坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）12 例4.3.1 同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a 、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U ，導(dǎo)體中流過的電流為I 。（1）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計算同軸線中傳輸?shù)墓β剩唬?）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，計算通過內(nèi)導(dǎo)體表面進入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率。同軸線13 解：（1）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場和磁場只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場無切向分量，只有電場的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場和磁場分別為

5、內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量14電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動，即由電源流向負載，如圖所示。穿過任意橫截面的功率為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況）15 （2）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場內(nèi)根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場的切向分量連續(xù)，即因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場為內(nèi)磁場則仍為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）16式中 是單位長度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見，進入內(nèi)導(dǎo)體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。由此可見，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如圖所示。進入每單位長度內(nèi)導(dǎo)

6、體的功率為 以上分析表明電磁能量是由電磁場傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起著定向引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，進入導(dǎo)體中的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）17 如場源以一定角頻率隨時間正弦（或余弦）變化，則產(chǎn)生的場也以同樣角頻率隨時間正弦變化。這種場稱為正弦電磁場。 工程應(yīng)用最多的就是正弦電磁場。廣播、電視和通信 的載波都是正弦電磁場。任意的時變場在一定的條件下可通過傅里葉分析方法展開為不 同頻率、不同相位、不同幅度正弦場的疊加。 4. 5 正弦電磁場 18 正弦電磁場用復(fù)數(shù)方法表示，可使許多問題分析研究大大簡化。 設(shè) 是一個

7、以角頻率 隨時間t 正弦變化的場量，它可是電場和磁場的任一個分量，也可是電荷或電流等變量，它與時間的關(guān)系可以表示成其中時間因子空間相位因子 利用三角公式式中的A0為振幅、 為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。實數(shù)表示法或瞬時表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅4.5.1 正弦電磁場的復(fù)數(shù)表示19 復(fù)數(shù)表達式不代表真實場。真實場（即瞬時表達式）是復(fù)數(shù)表 達式的實部。照此法，矢量場的各分量Ei（i 表示x、y 或 z）可表示成 各分量合成以后，電場強度為 復(fù)矢量 由于時間因子是默認的，有時不用寫出來，只用與坐標(biāo)有的部 分就可表示復(fù)矢量。關(guān)20 例4.5.1 將下列場矢量的瞬時值形式寫為復(fù)數(shù)形式（2）解：（1）由于（1）所以

8、21（2）因為 故 所以 22 例4.5.2 已知電場強度復(fù)矢量解其中kz和Exm為實常數(shù)。寫出電場強度的瞬時矢量23以電場旋度方程 為例，代入相應(yīng)場量的矢量，可得 將 、 與 交換次序，得上式對任意 t 均成立。令 t0 ，得4.5.2 復(fù)矢量的麥克斯韋方程令t/2 ，得即24 例題：已知正弦電磁場的電場瞬時值為式中 解：（1）因為故電場的復(fù)矢量為試求：（1）電場的復(fù)矢量;（2）磁場的復(fù)矢量和瞬時值。25從形式上講，只要把微分算子 用 代替，就可以把時諧電磁場的場量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量的麥克斯韋方程 略去“.”和下標(biāo)m26（2）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場的

9、復(fù)矢量磁場強度瞬時值27實際的介質(zhì)都存在損耗： 導(dǎo)電媒質(zhì)當(dāng)電導(dǎo)率有限時，存在歐姆損耗。 電介質(zhì)受到極化時，存在電極化損耗。 磁介質(zhì)受到磁化時，存在磁化損耗。 損耗的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時間變化的頻率有關(guān)。一些媒質(zhì) 的損耗在低頻時可忽略，高頻時不能忽略。4.5.3 復(fù)相對介電常數(shù)和復(fù)磁導(dǎo)率 導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)其中c= j/、稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)。 對于介電常數(shù)為 、電導(dǎo)率為 的導(dǎo)電媒質(zhì)，有28 電介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù) 同時存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì) 磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率 對于存在電極化損耗的電介質(zhì)，有 ，稱為復(fù)介電常數(shù)。其虛部為大于零的數(shù)，表示電介質(zhì)的電極化損耗。在高頻情況下，實部和虛部都是頻

10、率的函數(shù)。 對于同時存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復(fù)介電常數(shù)為 對于磁性介質(zhì)，復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為 ，其虛部為大于零的數(shù)，表示磁介質(zhì)的磁化損耗。29 損耗角正切 導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電性能的相對性電介質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)磁介質(zhì) 弱導(dǎo)電媒質(zhì)和良絕緣體 一般導(dǎo)電媒質(zhì) 良導(dǎo)體 工程上通常用損耗角正切來表示介質(zhì)的損耗特性，其定義為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)磁導(dǎo)率的虛部與實部之比，即有 導(dǎo)電媒質(zhì)的導(dǎo)電性能具有相對性，在不同頻率情況下，導(dǎo)電媒質(zhì)具有不同的導(dǎo)電性能。30導(dǎo)電媒質(zhì)理想介質(zhì)4.5.4 亥姆霍茲方程 正弦變化情況下，將 、 ，即可得到復(fù)矢量的波動方程，稱為亥姆霍茲方程。瞬時矢量復(fù)矢量314.5.5 正弦場的位函數(shù) 在正弦情況下，矢量

11、位和標(biāo)量位以及它們滿足的方程都可以表示成復(fù)數(shù)形式。洛侖茲條件達朗貝爾方程瞬時矢量復(fù)矢量324.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量 二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示，其中的場量必須是實數(shù)形式，不能將復(fù)數(shù)形式的場量直接代入。 設(shè)某正弦電磁場的電場強度和磁場強度分別為 電磁場能量密度和能流密度的表達式中都包含了場量的平方 關(guān)系，這種關(guān)系式稱為二次式。 時諧場中二次式的表示方法33則能流密度為 如把電場強度和磁場強度用復(fù)數(shù)表示，即有先取實部，再代入 使用二次式時需要注意的問題 二次式只有實數(shù)的形式，沒有復(fù)數(shù)形式。 場量是實數(shù)式時，直接代入二次式即可。 場量是復(fù)數(shù)式時，應(yīng)先取實部再代入，即“先取實后相乘

12、”。 如復(fù)數(shù)形式的場量中沒有時間因子，取實前先補充時間因子。34 二次式的時間平均值 時諧電磁場，常常關(guān)心二次式在一個時間周期 T 中的平均值，即平均能流密度矢量平均電場能量密度平均磁場能量密度 時諧電磁場二次式的時間平均值可直接由復(fù)矢量計算，35則平均能流密度矢量為 如果電場和磁場都用復(fù)數(shù)形式給出，即有 時間平均值與時間無關(guān) 例如某正弦電磁場的電場強度和磁場強度都用實數(shù)形式給出36 具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場，也適用于其他 時變電磁場；而 只適用于時諧電磁場。 在 中， 和 都是實數(shù)形式且是 時間的函數(shù)，所以 也是時間的函數(shù)，反映的是能流密度 在某一個瞬時的取值；而 中的 和 都是復(fù)矢量，與時間無關(guān)，所以 也與時間無 關(guān)，反映的是能流密度在一個時間周期內(nèi)的平均取值。 利用 ，可由 計算 ，但不能直 接由 計算 ，也就是說 關(guān)于 和 的幾點說明37 解：（1）由得（2）電場和磁場的瞬時值為 例4.5.4已知無源的自由空間中，電磁場的電場強度復(fù)矢量為 ，其中k 和 E0 為常數(shù)。求：（1）磁場強度復(fù)矢量 ；（2）瞬時坡印廷矢量 ；（3）平均坡印廷矢量 。38 （3）平均坡印廷矢量為或直接積分，得