“等時圓”模型的基本規(guī)律及應(yīng)用

1、等時圓”模型的基本規(guī)律及應(yīng)用一、何謂“等時圓”2004年高考試題：如圖1所示，ad、bd、cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為最低點。每根桿上都套有一個小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0），用-、t2、t3依次表示各滑環(huán)到達(dá)d所用的時間，則（）A.t1t2t2t3C.t3t1t2D.t1=t2=t3解析：選任一桿上的環(huán)為研究對象，受力分析并建立坐標(biāo)如圖所示，設(shè)圓半徑為R,由牛頓第二定律得,mgcos0=ma再由幾何關(guān)系，細(xì)桿長度L=2Rcose設(shè)下滑時間為，則L二2at2由以上三式得，t=2可見下4滑時間與細(xì)桿傾

2、角無關(guān)，所以D正確。由此題我們可以得g出一個結(jié)論。結(jié)論：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點的時間相等。推論：若將圖1倒置成圖2的形式，同樣可以證明物體從最高點由靜止開始沿不同的光滑細(xì)桿到圓周上各點所用的時間相等。（1）物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點時間均相等，且為t=2、jR（如圖甲所示）岸（如圖乙所示）.（2）物體沿著位于同一豎直圓上的所有過頂點的光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周低端時間相等為t=2等時圓模型（如圖所示）AABB圖a圖b像這樣的豎直圓我們簡稱為“等時圓”。關(guān)于它在解題中的應(yīng)用，我們看下面的例子：二、等時圓規(guī)律：1、小球從圓

3、的頂端沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到弦軌道與圓的交點的時間相等。（如圖a）2、小球從圓上的各個位置沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到圓的底端的時間相等。（如圖b）3、沿不同的弦軌道運(yùn)動的時間相等，都等于小球沿豎直直徑（d）自由落體的時間，即t02d（式中R為圓的半徑。）三、等時性的證明設(shè)某一條弦與水平方向的夾角為d,圓的直徑為d（如右圖）。根據(jù)物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，加速度為a=gsina，位移為s=dsina,所以運(yùn)動時間為A2s2dsina2dt=0agsinag即沿各條弦運(yùn)動具有等時性，運(yùn)動時間與弦的傾角、長短無關(guān)。規(guī)律AB、AC、AD是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，A、B、C、D位

4、于同一圓周上，A點為圓周的最高點，D點為最低點每根桿上都套著一個光滑的小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)分別從A處由靜止開始釋放，到達(dá)圓周上所用的時間是相等的，與桿的長度和傾角大小都無關(guān).推導(dǎo)設(shè)圓環(huán)沿細(xì)桿AB滑下，過B點作水平線構(gòu)造斜面，并設(shè)斜面的傾角為8，如圖2所示，連接BD.根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律有環(huán)的加速度a=gsin0，由幾何關(guān)系有AB=x=2Rsin0，由運(yùn)動學(xué)公式有x=12at2,解得：環(huán)的運(yùn)動時間t=2Rg，與傾角、桿長無關(guān)，所以環(huán)沿不同細(xì)桿下滑的時間是相等的說明1如果細(xì)桿是粗糙的，環(huán)與細(xì)桿間的動摩擦因數(shù)都為|J，由運(yùn)動學(xué)公式有2Rsin0=12（gsin0pgcos0）t2，解得t=

5、2Rsin8gsin8pgcos8=2Rgpgcot8，e增大，時間t減小，規(guī)律不成立.A.2：1B.1：1C.3:1D.1：2例4：圓0和圓02相切于點P,O、02的連線為一豎直線，如圖8所示。過點P有兩條光滑的圖8二、“等時圓”的應(yīng)用,巧用等時圓模型解題對于涉及豎直面上物體運(yùn)動時間的比較、計算等問題可考慮用等時圓模型求解1、可直接觀察出的“等時圓”例1：如圖3,通過空間任一點A可作無限多個斜面，若將若干個小物體從點A分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時滑下，那么在同一時刻這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是（）A.球面B.拋物面C.水平面D.無法確定解析：由“等時圓”可知，同一時刻這些小物體應(yīng)在

6、同一“等時圓”上，所以A正確?！咀兪接?xùn)練1】如圖所示，AB和CD是兩條光滑斜槽，它們各自的兩端分別位于半徑為R和r的兩個相切的豎直圓上，并且斜槽都通過切點P.設(shè)有一個重物先后沿斜槽從靜止出發(fā)，從A滑到B和從C滑到D,所用的時間分別等于t1和t2，則t1和t2之比為（）軌道AB、CD,兩個小物體由靜止開始分別沿AB、CD下滑，下滑時間分別為-、t2,則-、t2的關(guān)系是（）A.t1t2B.t=t2C.t1tba自由落體運(yùn)動t=：竺；而d球滾下是一個單擺模型，擺長為JgR，c做圖4所以c正確。解【析】如圖所示，令圓環(huán)半徑為R則c球由C點自由下落到M點用時滿足R=|gt2,t=c2R1;對于a球令A(yù)M

7、與水平面成3角，則a球下滑到M用時滿足AM=2Rsin0=2gsin也,即t=2aR;同理b球從B點下滑到M點用時也滿足tb=2、;；g(r為過B、M且與水平面相切于所以M點的豎直圓的半徑，rR).綜上所述可得匚tt.bac三個相同小球從a點沿ab、ac、ad三條光滑軌道從靜止釋放，哪個小球先運(yùn)動到最低點？解析：設(shè)斜面?zhèn)冗呴L為l，傾角為，則物體沿光滑斜面下滑時加速度為a=gsin9，物體的位移為x=V:sin9。物體由斜面頂端由靜止開始運(yùn)動到底端，由運(yùn)動學(xué)公式得爲(wèi)=2gsin912得t=，l、g一定，所以9越大時，下滑所用時間越短gsin29從一道高考題得到的一個重要結(jié)論及其應(yīng)用圖2圖2004

8、年高考試題：如圖1所示，ad、bd、cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為最低點。每根桿上都套有一個小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0），用-、t2、t3依次表示各滑環(huán)到達(dá)d所用的時間，則（）A.t1t2t2t3C.t3t1t2D.t1=t2=t3解析：選任一桿上的環(huán)為研究對象，受力分析并建立坐標(biāo)如圖2，由牛頓第二定律得mgcos9=ma由幾何關(guān)系，細(xì)桿長度L二2Rcos9設(shè)下滑時間為f，則L=at2由以上三式得，t=2可見下滑時間與細(xì)桿傾角無關(guān)，所以D正確。.g若將圖1倒置成圖3的形式，同樣可以證明物體從最高點由

9、靜止開始沿不同的光滑細(xì)桿到圓周上各點所用的時間相等。結(jié)論：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點的時間相等。物體沿著位于同一豎直圓上的過頂點的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周低端的時間相等。我們把這兩種圓叫做“等時圓”，下面舉例說明“等時圓”的應(yīng)用。例1：如圖4所示，通過空間任一點A可作無限多個斜面，若將若干個小物體從點A分別沿這些傾角圖4各不相同的光滑斜面同時滑下，那么在同一時刻這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是（）A.球面B.拋物面C.水平面D.無法確定解：由“等時圓”可知，同一時刻這些小物體應(yīng)在同一“等時圓”上，所以A正確。例2：兩光滑斜面的高度都為h甲、乙兩斜面的總長

10、度都為1,只是乙斜面由兩部分組成，如圖5所示，將兩個相同的小球從斜面的頂端同時由靜止釋放，不計拐角處的能量損失，問哪一個球先到達(dá)斜面底端？解：構(gòu)想一輔助圓如圖6所示：在AF上取一點O,使OA=OC,以O(shè)點為圓心，以O(shè)A為半徑畫圓，此圓交AD于E點。由“等時圓”可知，t二t，由機(jī)械能守恒定律可知：vv，v=v，所ACAECEBDs以vv。又因為兩斜面的總長度相等，所以ss，根據(jù)v=-得，tt，BCEDBCDEtBCED所以有：0,即乙球先到達(dá)斜面底端。甲乙卩圖62在離坡底B為10cm的山坡面上豎直地固定一根直桿，桿高OA也是10cm。桿的上端A到坡底B之間有鋼繩,穿心于鋼繩上的物體（如圖11）從

11、A點由靜止開始沿鋼繩無摩擦地滑下，求它在鋼繩上滑行時間（g=10m/s2）答案：如圖12,把AO延長到C,使OC=OA=10cm,則點O到A、B、C三點的距離相等。以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，則B、C一定在該圓的圓周上，圖11圖12由結(jié)論可知，物體從A到B的時間與從A到C的時間相等，即t=t=J2AC/g=七；2x20/10=2s。ABAC時【例1】傾角為30的長斜坡上有C、O、B三點，CO=OB=10m,在C點豎直地固定一長10m的直桿AOoA端與C點間和坡底B點間各連有一光滑的鋼繩，且各穿有一鋼球（視為質(zhì)點）,圖將兩球從A點由靜止開始、同時分別沿兩鋼繩滑到鋼繩末端，如圖1所示，則小球在鋼繩

12、上滑行的時間tAC和tAB分別為（取g=10m/s2）A2s和2sB.2s和2sC.p2s和4sD.4s和2s解析：由于CO=OB=OA，故A、B、C三點共圓，O為圓心。又因直桿AO豎直，A點是該圓的最高點，如圖2所示。兩球由靜止釋放，且光滑無摩擦，滿足“等時圓”條件。設(shè)鋼繩AB和AC與豎直方向夾角分別為a、a2，該圓半徑為r,則對鋼球均有D2rcosa=2gcosa12圖2解得：t=j蘭,鋼球滑到斜坡時間t跟鋼繩與豎直方向夾角a無關(guān)，且都等于由A到D的自由落體運(yùn)動時間。代g入數(shù)值得t=2s，選項A正確。2、運(yùn)用等效、類比自建“等時圓”例3：如圖5所示，在同一豎直線上有A、B兩點，相距為h,B

13、點離地高度為H,現(xiàn)在要在地面上尋找一點P,使得從A、B兩點分別向點P安放的光滑木板，滿足物體從靜止開始分別由A和B沿木板下滑到P點的時間相等,求O、P兩點之間的距離OP。解析：由“等時圓”特征可知，當(dāng)A、B處于等時圓周上，且P點處于等時圓的最低點時，即能滿足題設(shè)要求。如圖6所示，此時等時圓的半徑為：所以O(shè)P=：R2-(2)2巳H(H+h)h1例2：如圖2，在斜坡上有一根旗桿長為L，現(xiàn)有一個小環(huán)從旗桿頂部沿一根光滑鋼絲AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小環(huán)從A滑到B的時間?！窘馕觥浚嚎梢砸設(shè)為圓心，以L為半徑畫一個圓。根據(jù)“等時圓”的規(guī)律可知從A滑到B的時間等于從A點沿直徑到底端D的時間，所以有

14、tAB例2、在一豎直墻面上固定一光滑的桿AB,如圖所示，BD為水平地面，ABD三點在同一豎直平面內(nèi)，且連線AC=BC=0.1m小球套在桿上自A端滑到B端的時間為：（B）A0.1sB0.2sC“D云10解析：以C為圓心作一個參考園。由結(jié)論知，小球自A到B運(yùn)動的時間與自A到B自由落體運(yùn)動的時間相等。即AE=2R=0.2mAE=jgt2t=0.2s4、如圖4所示，在離坡底15m的山坡上豎直固定一長15m的直桿AO，A端與坡底B間連有一鋼繩，一穿于鋼繩上的小球從A點由靜止開始沿鋼繩無摩擦地滑下，求其在鋼繩上滑行的時間t。例5、圖甲是某景點的山坡滑道圖片，為了探究滑行者在滑道直線部分AE滑行的時間.技術(shù)

15、人員通過測量繪制出如圖乙所示的示意圖.AC是滑道的豎直高度，D點是AC豎直線上的一點，且有AD=DE=10m,滑道AE可視為光滑，滑行者從坡頂A點由靜止開始沿滑道AE向下做直線滑動，g取10m/s2，則滑行者在滑道AE上滑行的時間為()A.sB.2sC.sD.2s【解析】AE兩點在以D為圓心、半徑為R=10m的圓上，在AE上的滑行時間與沿AD所在的直徑自由下落的時間相同，選B.例4、如圖所示，圓弧AB是半徑為R的4圓弧，在AB上放置一光滑木板BD，質(zhì)量為m的小物體在BD板的D端由靜止下滑，然后沖向水平面BC,在BC上滑行L后停下不計小物體在B點的能量損失，已知小物體與水平面BC間的動摩擦因數(shù)為

16、.求：小物體在BD上下滑過程中重力做功的平均功率.【解析】由動能定理可知小物體從D到C有WGmgL=0,所以WG=pmgL4R即為t=由等時圓知識可知小物體從D到B的時間等于物體從圓周的最高點下落到B點的時間所以小物體在木板BD上下滑過程中，重力做功的平均功率為P=WQ=umgL.gt=2一R.例3：如圖7,質(zhì)點自傾角為Q的斜面上方的定點O沿光滑斜槽OP從靜止開始下滑，為使質(zhì)點從O點滑到斜面的時間最短，則斜槽與豎直方向的夾角0應(yīng)為多大？解:如圖7,作以O(shè)P為弦的輔助圓，使圓心O/與O的連線在豎直線上，且與斜面相切于P點。由“等時圓”可知,唯有在O點與切點P點架設(shè)的斜槽滿足題設(shè)條件，質(zhì)點沿其它斜

17、槽滑至斜面的時間都大于此時間。由圖可知，aZPOA=a,又00op為等腰三角形，所以卩=例4：如圖7,AB是一傾角為8的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚(yáng)，在P與AB輸送帶間建立一管道（假使光滑），使原料從P處以最短的時間到達(dá)輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為多大?8OC解析：借助“等時圓”可以過P點的豎直線為半徑作圓，要求該圓與輸送帶AB相切，如圖所示，C為切點，O為圓心。顯然，沿著PC弦建立管道，原料從P處到達(dá)C點處的時間與沿其他弦到達(dá)“等時圓”的圓周上所用時間相等。因而，要使原料從P處到達(dá)輸送帶上所用時間最短，需沿著PC建立管道。由幾何關(guān)系可得：PC與豎直方向間的夾角等于8/2。

18、【例4】如圖7所示，在同一豎直平面內(nèi)，從定點P到固定斜面（傾角為8）搭建一條光滑軌道PM,使物體從P點釋放后，沿軌道下滑到斜面的時間最短，則此軌道與豎直線的夾角a為多少？解析：先用解析法求解。從定點P向斜面作垂線，垂足為D,如圖8所示，設(shè)P到斜面距離為h則軌道長度為PMhcos-a)物體沿軌道下滑的加速度a二gcosa由于pM=2at2i2h聯(lián)立解得：t=.gcosacos(6-a)令根式中分母y=cosacos(0-a),利用積化和差得y=Los0+cos(2a-9),02圖8定，當(dāng)a=|時，分母y取得最大值，物體沿軌道下滑的時間t最小。再用“等時圓”作圖求解。以定點P為“等時圓”最高點，作

19、出系列半徑r不同（動態(tài)的）“等時圓”，所有軌道的末端均落在對應(yīng)的“等時圓”圓周上，如圖9中甲所示，則軌道長度均可表示為PM=2Rcosa物體沿軌道下滑的加速度a=gcosa由于pM=2at2,故得:圖9欲t最小，則須“等時圓”的半徑r最小。顯然，半徑最小的“等時圓”在圖中與斜面相切于M2點，如圖9中乙所0示。再根據(jù)幾何關(guān)系可知：a=。在這里，用了轉(zhuǎn)化的思想，把求最短時間轉(zhuǎn)化為求作半徑最小的“等時圓”，避免了用解析法求解的復(fù)雜計算。例4：如圖5所示，在傾角為a的傳送帶的正上方，有一發(fā)貨口A。為了使貨物從靜止開始，由A點沿光滑斜槽以最短的時間到達(dá)傳送帶，則斜槽與豎直方向的夾角0應(yīng)為多少？【解析】如

20、圖6所示，首先以發(fā)貨口A點為最高點作一個圓0與傳送帶相切,A切點為B,然后過圓心O畫一條豎直線AB/，而連接A、B的直線，就是既過發(fā)貨口A,又過切點B的惟一的弦。根據(jù)“等時圓”的規(guī)律，貨物沿AB弦到達(dá)傳送帶的時間最短。因此，斜槽應(yīng)沿AB方向安裝。卩=aAB所對的圓周角0為圓心角的一半，而圓心角又等于a，所以2。如圖3所示，在一個坡面與水平面成B=40。角的山坡AB的腳下A處有一個高塔，為防止意外，需要在塔頂O與山坡之間搭一個滑道，以便塔上的人能盡快沿滑道滑到山坡上假設(shè)滑道光滑，試求滑道與山坡坡面AB的夾角多大？解析如圖4所示，過O點作一條水平線與山坡交于B點，過B點作ZABO的角平分線，交過O

21、點作的豎直線于點C,以點C為圓心、OC為半徑作圓與山坡相切于點D，連接OD、CD.根據(jù)上述結(jié)論可知：人從O點出發(fā)沿滑道到達(dá)圓上的時間是相等的，沿滑道O已到達(dá)山坡，沿其他滑道還要再走一段距離才能到達(dá)山坡，所以人沿滑道OD到達(dá)山坡所用時間最短，此時夾角e=900=70.另解如圖5所示，過點O作山坡的垂線OD，設(shè)其長度為x.過點O畫直線OE，作為滑道，設(shè)其與豎直方向的夾角為0.由幾何知識可知滑道的長度OE=xcos（a0），由牛頓第二運(yùn)動定律得人運(yùn)動的加速度為a=gsin（900），由運(yùn)動學(xué)公式有xcos（a0）=12gcos0t2，解得t=2xgcos0cos（a0），其中cos0cos（a0）=

22、12cosa+cos（20a），所以當(dāng)20=a=40。時，時間取得最小值，此時夾角=900=70.三、“形似質(zhì)異”問題的區(qū)分如圖1所示，ad、bd、cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為最低點。每根桿上都套有一個小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0）,用_、2、3依次表示各滑環(huán)到達(dá)d所用的時間，則（）A.t1t2t2t3C.t3t1t2D.t1=t2=t3解析：選任一桿上的環(huán)為研究對象，受力分析并建立坐標(biāo)如圖所示，設(shè)圓半徑為R,由牛頓第二定律得,再由幾何關(guān)系，細(xì)桿長度L=2RcosOmgcosO=ma設(shè)下滑時間為t，

23、則L=2at2由以上三式得，t=2；-可見下4滑時間與細(xì)桿傾角無關(guān)，所以D正確。g可以得出一個結(jié)論。結(jié)論：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點的時間相等。推論：若將圖1倒置成圖2的形式，同樣可以證明物體從最高點由靜止開始沿不同的光滑細(xì)桿到圓周上各點所用的時間相等。象這樣的豎直圓我們簡稱為“等時圓”。關(guān)于它在解題中的應(yīng)用，我們看下面的例子：【例1】還是如圖1的圓周，如果各條軌道不光滑，它們的摩擦因數(shù)均為|J，小滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0）到達(dá)圓環(huán)底部的時間還等不等？t=：4RC0S=2J-bdgcos0-pgsin0gpgtan9可見t與0有關(guān)。解析：bd的長

24、為2Rcos0，bd面上物體下滑的加速度為a=gcos0-pgsin0，【例2】如圖3所示，Oa、Ob、Oc是豎直平面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，0、a、b、c四點位于同一圓周上，d點為圓周的最高點，c為最低點，每根桿上套著一個小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)都從圖中0點無初速釋放，用t2、t3、依次表示滑到a、b、c所用的時間，則A.t=t=tB.ttt123123Ctttt123312解析：如果不假思索，套用結(jié)論，就會落入“陷阱”，錯選A。必須注意，“等時圓”的適用條件是：光滑斜面上初速為零的勻加速直線運(yùn)動，且運(yùn)動起點（或終點）應(yīng)在“等時圓”的最高（或最低）點。題圖中0不是最高點，題設(shè)圓不是“等時

25、圓”?，F(xiàn)以0點為最高點，取合適的豎直直徑Oe,作“等時圓”交Ob于b,如圖4所示，顯然，0到f、b、g、e才是等時的，比較圖示位移OaOf,OcVOg,故可推知ttt，正確的選123項是B。【例3】如圖5所示，在豎直面內(nèi)有一圓，圓內(nèi)OD為水平線，圓周上有三根互成300的光滑桿OA、OB、OC,每根桿上套著一個小球（圖中未畫出）。現(xiàn)讓一個小球分別沿三根桿圖6頂端無初速下滑到0,所用的時間分別為t、t、t，則()ABCAt二t二tBttttD無法確定ABCABCABC解析：題設(shè)圖中O點不在圓的最低點，故不是“等時圓”延長OA,過B作B丄BO，則O、B、B/在同一圓周上,B/處自由下落到O的時間和小

26、球沿光滑桿由B無初速滑到O的時間相同。同理，過C作C/C丄CO,貝9O、C、C在同一圓周上，G處自由下落到O的時間和小球沿光滑桿由C無初速滑到O的時間相同。C、B/、A自由下落到O的時間依次遞減，故選項B正確。3延伸如圖6所示，AB、AC、AD是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，A、B、C、D位于同一圓周上，O點為圓周的圓心，A點不是圓的最高點每根桿上都套著一個光滑小滑環(huán)(圖中未畫出)，三個滑環(huán)分別從A處從靜止開始釋放,用tl、t2、t3依次表示滑環(huán)到達(dá)B、C、D所用的時間，則三個時間的關(guān)系是什么？解析A不在圓的最高點，前面的結(jié)論直接用是不行的可以采用如下的方法解決.如圖7所示，過點A作豎直線交AB

27、的垂直平分線于點O1,以O(shè)1為圓心、O1A為半徑畫圓交AB于B、分別交AC、AD的延長線于Cl、D1.在圓ABC1D1中用前面的結(jié)論可知，所以t1t2.不可以根據(jù)CC1另解假設(shè)圓的半徑為R,建立如圖8所示的直角坐標(biāo)系連接AO并假設(shè)其與x軸的夾角為a,則A點的坐標(biāo)為(Rcosa,Rsina).設(shè)直線AB與x軸的夾角為0，則直線AB的斜率為k=tan0，直線AB的方程為ysina=tan0(xcosa),整理變形有xtan0y+sinatan0cosa=0，由數(shù)學(xué)知識可知，坐標(biāo)原點到直線AB的距離為OE=lsinatan0cosaI1+tan20,由幾何知識解得BE2=R2(1sin2a+tan2

28、0cos2a2sinacosatan01+tan20),整理得BE=(cos0cosa+sinasin0)R,由牛頓第二運(yùn)動定律有環(huán)的加速度a=gsin0,由運(yùn)動學(xué)公式有2BE=12gsin0t2,解得小環(huán)運(yùn)動時間為t=4R(cosacos0+sinasin0)gsin0=4Rg(cosacot8+sina),所以e增大，時間減小，t1t2t3.當(dāng)式中a=90。時，t=2Rg，與傾角、桿長無關(guān)，就是前面推導(dǎo)的等時圓規(guī)律.說明2如果細(xì)桿是粗糙的，環(huán)與細(xì)桿間的動摩擦因數(shù)都為|J環(huán)處于加速下滑的條件是p2BE=12(gsinepgcose)t2，解得環(huán)運(yùn)動時間t=4R(cosacose+sinasi

29、ne)gsinepgcose，變形為t=4Rg(cosatan0p+sina1ptan0),由此式可知：e增大，時間t減小，即t1t2t3.當(dāng)式中a=90?；騛=90、p=0時，時間t=2Rg可見等時圓規(guī)律適用的條件是：細(xì)桿光滑、A點為圓周的最高點或最低點.四、比較應(yīng)用等時圓模型解典型例題PC；E0：/4bI一丫g如圖9，底邊為定長b的直角斜面中，球從光滑直角斜面頂端由靜止滑到底端，至少需要多圖9少時間？答案：用作圖求解。如圖10，以b為半徑、O為圓心作一個圓，作出圓的一條豎直切線MN,于圓切于D點。A點為所作圓的最低點。由圖可看出：從MN上不同的點由靜止滑到A點，以DA圖10時間為最短。（由

30、“等時圓”可知，圖中E/、D、C/各點到達(dá)A的時間相等。）所以小球從底邊b為定長的光滑直角斜面上滑下時以45的時間為最少，而且此時間與球從P點自由下落到圓最低點的時間相等。所以t.min2.有三個光滑斜軌道1、2、3,它們的傾角依次是600,45。和300,這些軌道交于O點.現(xiàn)有位于同一豎直線上的3個小物體甲、乙、丙，分別沿這3個軌道同時從靜止自由下滑，如圖，物體滑到O點的先后順序是BA.甲最先，乙稍后，丙最后B.乙最先，然后甲和丙同時到達(dá)C.甲、乙、丙同時到達(dá)D.乙最先，甲稍后，丙最后解析：設(shè)斜面底邊長為l，傾角為0，則物體沿光滑斜面下滑時加速度為a=gsin9，物體的位移為x=V:cos9

31、。物體由斜面頂端由靜止開始運(yùn)動到底端，由運(yùn)動學(xué)公式得缶=2gsin9t2得t=耳匚工gsin0cos0gsin20l、g一定，所以當(dāng)9=45。時，tmin2、如圖9,圓柱體的倉庫內(nèi)有三塊長度不同的滑板aO、bO、cO,其下端都固定于底部圓心O,而上端則擱在倉庫側(cè)壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為30。、45。、60。若有三個小孩同時從a、b、c處開始下滑（忽略阻力），則（）A、a處小孩最先到O點B、b處小孩最先到O點C、c處小孩最先到O點D、a、c處小孩同時到O點解析：三塊滑塊雖然都從同一圓柱面上下滑，但a、b、c三點不可能在同一豎直圓周上，所以下滑時間不一定相等。R14R設(shè)圓柱底面半徑為R,貝

32、9=gsinet2,t2=，當(dāng)8=450時，t最小，當(dāng)e=300和600時，sin20的值相cos02gsin20例3：如圖3，在設(shè)計三角形的屋頂時，為了使雨水能盡快地從屋頂流下，并認(rèn)為雨水是從靜止開始由屋頂無摩擦地流動。試分析和解：在屋頂寬度（21）一定的條件下，屋頂?shù)膬A角應(yīng)該多大？雨水流下的最短時間是多少?【解析】方法一：如圖所示，設(shè)斜面底邊長為1，傾角為0，則雨滴沿光滑斜面下淌時加速度為a=gsin0，雨滴的位移為x=I;cos0。雨滴由斜面頂端由靜止開始運(yùn)動到底端，由運(yùn)動學(xué)公式得-=1gsin0t2，cos02得t=；21=：41，1、g一定，所以當(dāng)045時，_4i_gsin0cos0

33、gsin20tmin一g方法二（等時圓）：如圖4所示，通過屋頂作垂線AC與水平線BD相垂直；并以L為半徑、O為圓心畫一個圓與AC、BC相切。然后，畫傾角不同的屋頂AB、AB、AB.123圖4；2x2L2Lg_Vg從圖4可以看出：在不同傾角的屋頂中，只有A2B是圓的弦，而其余均為圓的割線。根據(jù)“等時圓”規(guī)律，雨水沿A2B運(yùn)動的時間最短，且最短時間為tmg-芒而屋頂?shù)膬A角則為tanaL1L【例6】在豎直平面內(nèi)，固定一個半徑為R的大圓環(huán)，其圓心為O,在圓內(nèi)與圓心O同一水平面上的P點搭一光滑PM=yd2+R2一2dRcosa設(shè)軌道pm與水平面夾角為e，則物體沿軌道下滑的加速度a=gsin0由正弦定理得：$込（0a廠sin（兀一0）又pM=2at2聯(lián)立以上四個方程，有a、e、PM、a和t五個變量，可以建立起下滑時間t與OM傾角a之間的函數(shù)關(guān)系，再利用數(shù)學(xué)工具求極值，但計算相當(dāng)復(fù)雜。如果改用“等時圓”作圖求解，以定點P為最高點，可作出系列半徑r不同（動態(tài)的）“等時圓”，所有軌道的末端均落在對應(yīng)的“等時圓”圓周上。其中，剛好與大環(huán)內(nèi)切的“等時圓”半徑最小，如圖14所示，該“等時圓”的圓心O/滿足OM=OOP，且在OM連線上。該圓就是由P到定圓的半徑