高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)與習(xí)題內(nèi)附答案

1、數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)必記1,函數(shù)的平均變化率是什么？答：平均變化率為 _y _ff(x2)f (Xi) fixx)f (Xi) TOC o 1-5 h z X XX2 XiX注1：其中X是自變量的改變量，可正，可負(fù)，可零。注2:函數(shù)的平均變化率可以看作是物體運(yùn)動(dòng)的 平均速度。2、導(dǎo)函數(shù)的概念是什么？答：函數(shù)y f(X)在x %處的瞬時(shí)變化率是limlimf0X)f(Xo),則稱 x 0 x x 0 x函數(shù)y f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做y f(x)在xo處的導(dǎo)數(shù)，記作f (xo)或 y lxx0,即 f(x0)=lim,lim f(Xo X)f(Xo). x 0 x x

2、 0 x3.平均變化率和導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？答：函數(shù)的平均變化率的幾何意義是割線的斜率；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線 的斜率。4導(dǎo)數(shù)的背景是什么？答：(1)切線的斜率；(2)瞬時(shí)速度；(3)邊際成本。5、常見(jiàn)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)和積分公式有哪些？函數(shù)導(dǎo)函數(shù)不定積分y cy 0n*y x n Nn 1y nxn 1xndx n 1y ax a 0,a 1yax ln aX x.aa dx ln aX y e1_xy eXXe dx ey loga x a 0,a 1,x 0y十 x ln ay ln x1y一 X1 .dx ln x Xy sin xy cosxcosxdx sin xy cosxy si

3、n xsin xdx cosx1 / 251 / 256、常見(jiàn)的導(dǎo)數(shù)和定積分運(yùn)算公式有哪些？答：若f x , g x均可導(dǎo)(可積)，則有:和差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算1一一f(x) g(x) f (x) g (x)積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算1f(x) g(x) f (x)g(x) f (x)g (x)特別地：Cf x Cf x商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算3 f(x)g(x) f(x)g(x)(g(x) 0) g(x)g(x)特別地：,g0)g xg x復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)yxyu b微積分基本定理bf x dx(其中 F x f x )a和差的積分運(yùn)算bbbf(x)f2(x)dxf(x)dxf2(x)dxaaabbkf(x)dx k f(x)

4、dx(k 為常數(shù))物力1地：aa積分的區(qū)間可加性bcbf (x)dx f (x)dx f(x)dx (其中a c b) aac6.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是什么?答：求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)令f(x)0,解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.令f(x) 100!8 / 258 / 25(9)曲線 y 1x33A. 19.填空題.垂直于直線x在點(diǎn)1,43B .-9處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為(2x+6y+ 1=0且與曲線3 x2 2x+ 5,當(dāng) x2D.-3y = x 3+3x5相切的直線方程1,2時(shí)，f ( x ) 0)上恒有f (x) wx成立，求m的取 值范圍.7.設(shè)函數(shù)f(x)

5、ax3 bx c (a 0)為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)(1, f (1)處的切線與直 線x 6y 7 0垂直，導(dǎo)函數(shù)f(x)的最小值為12.(I )求a , b , c的值；(H)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù) “*)在1,3上的最大值和最小10 / 2510 / 25高二數(shù)學(xué)理導(dǎo)數(shù)測(cè)試題 2第I卷(選擇題，共 60分)在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分,一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將所選答案寫在答題卡上1 x t1 .設(shè) y ,貝 U ysin x2、2xsin x (1 x )cosx2、2xsin x (1 x )cosx_ 2 sin x2、2

6、xsin x (1 x )sin x2、C 2xsinx (1 x )sin x2,設(shè) f(x)ln Vx2 1 ,f(2)B.C.3.已知f(3)2, f(3)B.4.曲線C.5.已知函數(shù)2x則 lim一x 3xC. 8x3在點(diǎn)(2,8)處的切線方程為(6x8xf(x)12103,2ax bxcxB.D.D.不存在12x 162x 32d的圖象與x軸有三個(gè)不同交點(diǎn)(0,0),(Xi,0) , (x2,0),x 2時(shí)取得極值，則x1X2的值為()C. 6D.不確定1 36.在R上的可導(dǎo)函數(shù)f (x)- x31 2 一 ax22bxc,當(dāng)x(0,1)取得極大值，當(dāng)x (1,2)取得極小值，則b2

7、的取值范圍是a(4,1 11)B . g，1)C.(1 1) 2Z/ 1 1、D.(,)2 27.函數(shù)f(x)7)C. 1,D. (1,1)8.積分x2dx12B. aC. a29.由雙曲線2 x-2 ay b,yb圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為（）ab2a2b- a2b3- ab23210.由拋物線y2x與直線yx 4所圍成的圖形的面積是（A. 1838B .316C.3D. 1611.設(shè)底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V ,則其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為（A. 3，V由六段全等的正弦曲線弧 y sin x（0 x）組成，其中曲線的六個(gè)交點(diǎn)正好是一個(gè)正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn),則這個(gè)C.

8、3 4V.某人要剪一個(gè)如圖所示的實(shí)心紙花瓣，紙花瓣的邊界紙花瓣的面積為（6 3.3 2 c 3 3212 2262D.第n卷（非選擇題，共 90分）二、填空題（每小題4分，共16分。請(qǐng)將答案填在答題卷相應(yīng)空格上。）.曲線y x3在點(diǎn)（a,a3）（a 0）處的切線與x軸、直線x a所圍成的三角形的面積為一 1 3”.一點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)t秒后的位移是 S t4 -t3 2t2,那么速度45為零的時(shí)刻是12 / 2512 / 2515.lim (n n2 1n222416.0(|x 1| |x 3|)dx三、解答題：(本大題共 5小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

9、(17)(本小題滿分10分)已知向量a (x2,x 1),b (1 x,t),若函數(shù)f(x) a b在區(qū)間(1,1)上是增函數(shù),求t的取值范圍。(18)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f (x)ax3 bx23x在x1處取得極值.(1)討論f(1)和f ( 1)是函數(shù)f (x)的極大值還是極小值；(2)過(guò)點(diǎn)A(0,16)作曲線y f(x)的切線，求此切線方程(19)(本小題滿分14分)設(shè)0 x a,求函數(shù)f (x) 3x4 8x3 6x2 24x的最大值和最小值。(20)(本小題滿分12分)的扇形，制成一個(gè)圓錐形容器，扇形的圓用半徑為R的圓形鐵皮剪出一個(gè)圓心角為心角 多大時(shí)，容器的容積最大？13

10、/ 2513 / 25(21)(本小題滿分12分)直線y kx分拋物線y x x2與x軸所圍成圖形為面積相等的兩個(gè)部分，求k的值.(22)(本小題滿分14分)2已知函數(shù) f (x) ln x, g(x) - ax bx,a 0。(1)若b 2,且函數(shù)h(x) f (x) g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求 a的取值范圍。(2)設(shè)函數(shù)f (x)的圖象C1與函數(shù)g(x)的圖象C2交于點(diǎn)P,Q ,過(guò)線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線分別交 C1、C2于點(diǎn)M , N。證明：C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的 切線不平行。一、選擇題(本大題共有10小題，每小題5,共50分) 3一，f(x)= x , f(x0)=6,

11、則xo=()(A)6(B)五(C)尬 (D) 12,若函數(shù)f(x)=2x 2+1,圖象上P(1,3)及鄰近上點(diǎn)Q(1 + A x,3+ Ay),則二 x()A 4 B 4 Ax C 4+2 Ax D 2 Ax3.若f x2,則lim f x k5的值為()，k 0 2kA. -2 B. 2 C.-1 D. 14、曲線y=x3+x-2在點(diǎn)P0處的切線平行于直線y=4x,則點(diǎn)P0的坐標(biāo)是()A . (0,1)B.(1,0)C.(-1,-4)或(1,0)D.(-1,-4)14 / 2514 / 255.函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值與最小值分別是A .5 , -15B.5,4C

12、.-4 , -15D.5 , -16.設(shè)y=x-lnx ,則此函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)為()A .單調(diào)遞增，B 、有增有減C 、單調(diào)遞減，D 、不確定.已知 f(x)= Vx - sinx，則 f (1)=()A . 1 +cos1B. 1 sin1+cos1C. 1 sin1-cos1333D.sin1+cos1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a , b)內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為正，且f(b) 0 B f(x) 0 C f(x) = 0 D無(wú)法確定.拋物線y=(1-2x) 2在點(diǎn)x=3處的切線方程為(2D . y=0或者8xy8=0 TOC o 1-5 h z A. y =0 B .8 x-y-8=0C.x =

13、112x2 1.函數(shù)y ln 2x2 1的導(dǎo)數(shù)是（）A.B.2x2 14x4xC. 2 D.22x2 1 ln102x2 1 log 2 e二、填空題(每小題5分，共20分).若f(x)=x 3+3ax2+ 3(a+2)x + 1有極大值和極小值，則 a的取值范圍是.若函數(shù)y x3 3x2 a在1,1上有最大值3,則該函數(shù)在1,1上的2最小值是.函數(shù) y=(1 sinx) 2的導(dǎo)數(shù)是 y .設(shè)有長(zhǎng)為a,寬為b的矩形，其底邊在半徑為 R的半圓的直徑所在的直線 上，另兩個(gè)頂點(diǎn)正好在半圓的圓周上，則此矩形的周長(zhǎng)最大時(shí)，a _ b15 / 2515 / 25三、解答題：本大題6小題，共80分，解答寫出

14、文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算 步驟)。.(本題滿分12分)設(shè)f(x)=x 3+3求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及其極值；x16.(本題滿分12分)求證：若x0,則ln(1 + x) x1 x.(本題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=4x 3+ax2+bx+5在x=1與x=3處有極值。2(1)寫出函數(shù)的解析式；(2)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)求f(x)在卜1,2上的最值。.(本題滿分14分)做一個(gè)圓柱形車爐，容積為 V,兩個(gè)底面的材料每單位面 積的價(jià)格為20元，側(cè)面的材料每單位面積價(jià)格為 15元，問(wèn)鍋爐的底面直徑與 高的比為多少時(shí)，造價(jià)最低？.(本題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=ax 4+bx3+cx2+ d

15、x + e是偶函數(shù)，它的圖象 過(guò)點(diǎn)A(0,-1)，且在x=1處的切線方程是2x+y 2=0,求函數(shù)f(x)的表達(dá)式。.(本題滿分14分)如圖，由y=0, x=8, y=x2圍成的曲邊三角形，在曲線弧 OB上求一點(diǎn)M使彳導(dǎo)過(guò)M所作的y=x2的切線PQ與OA AB圍成的三角形PQAS 積最大。16 / 2516 / 25高二數(shù)學(xué)理導(dǎo)數(shù)測(cè)試題1參考解答.BBDDD CDDA TOC o 1-5 h z .1、y=3x-5 2、m7 3、4 -114、18, 35、(，0)6121,)7、(, 1) (2,) 8 0-,)3231 .解：(I )由f (x)的圖象經(jīng)過(guò)P ( 0 , 2),知d=2,所

16、以 f(x) x3 bx2 cx 2, f (x) 3x2 2bx c.由在 M ( 1, f ( 1)處的切線方程是6x y 7 0 知 6 f ( 1) 7 0,即“ 1) 1, f ( 1) 6.3 2b c 6, 1 b c 2f(x) x3 3x2 3x 2.(2 ) f (x) 3x2Xi 12x2 1 .2.即2b c 3解得bc1. b c 0,3.故所求的解析式是6x 3.令 3x2 6x 30,即x2 2x 1 0.解得1 V2x 1 %;，2Bt, f (x) 0.故 f(x) x3在(1 2,1 J2)內(nèi)是減函數(shù)，在(1四,當(dāng) x 1 J2,或x 1 W2時(shí)，f (x)

17、 0; 當(dāng)3x2 3x 2在(,1 C)內(nèi)是增函數(shù)，)內(nèi)是增函數(shù).3a 2b 3 3a 2b 3二 f (x) x3 令 f (x) 0, 若x (, 故f仁)在(1).)上是增函數(shù).2.(I)解：f (x) 3ax2 2bx 3,依題意，f (1) f ( 1) 0,即 0,解得 a 1, b 0.0.3x, f (x) 3x2 3 3(x 1)(x 得 x 1, x 1 .1) (1,), M f (x) 0,1)上是增函數(shù)，f(x)在(1,若x (1, 1),則f(x) 0 ,故f(x)在(1, 1)上是減函數(shù).所以，f( 1) 2是極大值；f(1)2是極小值.(H)解：曲線方程為y x

18、3 3x ,點(diǎn)A(0, 16)不在曲線上.設(shè)切點(diǎn)為M(x0, y0),則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足yx3 3x0.因 f(x0) 3(x2 1),故切線的方程為 y y 3(x2 1)(x x)注意到點(diǎn) A (0, 16)在切線上，有 16 (x3 3x0) 3(x2 1)(0 Xo) 化簡(jiǎn)得x38,解得xo2 .所以，切點(diǎn)為M ( 2,2),切線方程為9x y 16 0.17 / 2517 / 25 TOC o 1-5 h z .解：(1) f(x) 3ax2 3(a 2)x 6 3a(x -)(x 1), f (x)極小值為 f (1)-a2(2)若a 0,則f(x) 3(x 1)2, f(x)的圖像

19、與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；若a 0, f(x)極大值為f(1) a 0, Q f(x)的極小值為f(2) 0, 2af(x)的圖像與x軸有三個(gè)交點(diǎn)；若0 a 2, f(x)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；若a 2,則f(x) 6(x 1)2 0, f(x)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；若a 2,由(1)知f(x)的極大值為f(2)4(1-)230, f(x)的圖a a44像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；綜上知，若a 0, f(x)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；若a 0, f(x)的圖像與x軸有三個(gè)交點(diǎn)。.解(I) f (x) 3mx2 6(m 1)x n因?yàn)閤 1是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以 f (1) 0,即 3m

20、6(m 1) n 0 ,所以 n 3m 62一 一2(II )由(I )知，f (x) 3mx 6(m 1)x 3m 6 =3m(x 1) x 1 一m2當(dāng)m 0時(shí)，有1 13，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f (x)的變化如下表：mx,1 2 m1 2 m121 m11,f (x)00000f(x)調(diào)調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減2故有上表知，當(dāng)m 0時(shí)，f(x)在 ,1 -單調(diào)遞減, m，2 在(1 ：,1)單調(diào)遞增，在(1,)上單調(diào)遞減.(III )由已知得 f (x) 3m,即 mx2 2(m 1)x 2 018 / 2518 / 25又m 0所以x2 -(m m設(shè) g(x) x2 2(1

21、 )x m TOC o 1-5 h z 2_222i1)x0即 x(m1)x0,x1,1mmm22 ,其函數(shù)開口向上，由題意知式包成立，m4m又 m 03所以-m 03即m的取值范圍為4 035.解：(I ) f (x) 6x2 6ax 3b ,因?yàn)楹瘮?shù)”*)在乂 1及x2取得極值，則有f (1) 0 , f (2) 0 .6 6a 3b 0, 24 12a 3b 0.解得a 3, b 4 .(n)由(i)可知, f (x) 6x2 18x 12 當(dāng) x (01)時(shí),f (x) 當(dāng) x (1,2)時(shí)，f (x)32f (x) 2x3 9x2 12x 8c, 6(x 1)(x 2).0；0；當(dāng)

22、x (2,3)時(shí)，f (x) 0 .所以，當(dāng)x 1時(shí)，f(x)取得極大值f (1) 5 8c,又f(0) 8c, f (3)則當(dāng)x 0,3時(shí)，f(x)的最大值為f (3) 9 8c .因?yàn)閷?duì)于任意的x 0,3 ,有f(x) c2包成立,所以 9 8c c2,解得 c 1或c 9 ,因此c的取值范圍為(，1)U(9,).6 .解：(I ) f (x) 3ax2 2bx c ,由已知 f (0)c 0c 0即c 0，解得 33a 2b c 0, b a.2f (1) 0,2f (x) 3ax 3ax ,(H )令 f (x) x ,即f 13a 3a 3242 22x3 3x2 x0,0&xw 或

23、 x1.2 1 又f(x)Wx在區(qū)可0, m上包成立，0 mW 219 / 2519 / 25(I) f(x)為奇函數(shù)，. f ( x) f (x)即 ax3 bx cax3 bx c c 0f (x) 3ax2 b的最小值為 12 b 12又直線x 6y 7 0的斜率為16因此，f(1) 3ab 6 a 2, b 12, c 0.(H) f(x) 2x3 12x.f(x) 6x2 12 6(x 企)(x 虎)，列表如下:x(,柩企(72,72)友(72,)f(x)00f(x)Z極大極小Z所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(，J2)和(J2) f ( 1) 10 , f (后8, f(3) 18

24、TOC o 1-5 h z f(x)在1,3上的最大值是f(3) 18,最小值是fG/2)8注、選擇題：(本大題共 10小題，每小題5分，共50分。)123456789101112BCABBCABBACB TOC o 1-5 h z 二、填空題：(本大題共 4小題，每小題4分，共16分)1 . C一(13)、1(14)、 t 0(15)、 -ln 2(16)、10 2三、解答題：(本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)(17)(本小題滿分10分)解：由題意知：f(x) x2(1 x) t(x 1)x3 x2 tx t ,則- , 、 一 2 一f(x) 3x 2x

25、t (3 分)20 / 2520 / 25f (x)在區(qū)間(1,1)上是增函數(shù)，f(x) 0即t 3x2 2x在區(qū)間(1,1)上是恒成立， TOC o 1-5 h z 21、21設(shè) g(x) 3x2 2x,則 g(x) 3(x -)2 ,于是有 33t g (x) max g( 1)5當(dāng)t 5時(shí)，f (x)在區(qū)間(1,1)上是增函數(shù) 、c 2c1、214又當(dāng) t 5時(shí)，f(x)3x22x53(x-)2,在(1,1)上，有f(x) 0,即t 5時(shí)，f (x)在區(qū)間(1,1)上是增函數(shù)當(dāng)t 5時(shí)，顯然f (x)在區(qū)間(1,1)上不是增函數(shù)t 5(18)(本小題滿分12分)解：(1) f(x) 3a

26、x 2bx 3,依題息，3a 2b 3 0,f(1)f( 1) 0,即解得 a 1,b 03a 2b 3 0.2f(x) x3 3x , f(x) 3x2 3 3(x 1)(x 1)令 f (x)0 ,得 x 1,x 1若 x (, 1) (1,)，則 f(x) 0故f(x)在(，1)和(1,)上是增函數(shù)；若 x ( 1,1),則 f(x) 0故f (x)在(1,1)上是減函數(shù)；所以f( 1) 2是極大值，f (1)2是極小值。 (5分)(8分)(10 分)(3分)(6分)3(2)曲線方程為y x 3x,點(diǎn)A(0,16)不在曲線上。3設(shè)切點(diǎn)為 M(x0,yO),則 V。Xo3xo. 一一 2由

27、f(x。) 3(x01)知，切線方程為21 / 2521 / 25 TOC o 1-5 h z 2y V。 3(X01)(x Xo) (9 分)32又點(diǎn) A(0,16)在切線上，有 16 (x03x0) 3(x01)(0 x0)3 一 .一_化簡(jiǎn)得x08,解得x02所以切點(diǎn)為 M ( 2, 2),切線方程為9x y 16 0 (12分)(19)(本小題滿分14分)解：f(x) 12x3 24 x2 12x 24 12(x 1)(x 1)( x 2)令 f(x) 0,得：x11,x21,x3 2 (2分)當(dāng)x變化時(shí)，f(x), f(x)的變化情況如下表：x (0,1)1(1,2)2(2,)f(x

28、)0-0f(x) 單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值為f (1) 13,極小值為f(2) 8又f(0) 0,故最小值為0。 (6分)最大值與a有關(guān)：(1)當(dāng)a (0,1)時(shí)，f (x)在(0, a)上單調(diào)遞增，故最大值為：_ 4_3_2_f (a) 3a4 8a3 6a2 24a (8 分)一432(2)由 f(x) 13,即：3x 8x 6x24x 13 0 ,得：22,12,10(x 1) (3x 2x 13) 0, . x 1或 x 3 TOC o 1-5 h z 1 2.10,又 x 0, x 1或 x (10 分)31 2 . 10, 一 一一，一， 一.當(dāng) a 1 , 1時(shí)

29、，函數(shù) f(x)的最大值為：f(1) 13- (12 分)31 2 10, 一(3)當(dāng)a ( 1 2,)時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值為:22 / 2522 / 25(14 分)f(a) 3a4 8a3 6a2 24a（20）（本小題滿分12分）解：設(shè)圓錐的底面半徑為 r ,高為h ,體積為V ,則由h2 r2 R2,所以12122V - r h (R h )h 331213-R h - h , (0 h R)331 oo3V - R2h2 ,令 V 0得 h R33(6分)易知:,3 一 ，一，R是函數(shù)V的唯一極值點(diǎn)，且為最大值點(diǎn)，從而是最大值點(diǎn)。 332226把h R代入h r R ,得 r R

30、 33,2 6由R 2 r得 3。26，口，即圓心角 時(shí)，容器的容積最大。 3答：扇形圓心角2、. 6時(shí)，容器的容積最大。(8分)(11 分)(12 分)（21）（本小題滿分12分）y kx 2、一，一，解：解方程組2得：直線y kx分拋物線y x x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為y x x TOC o 1-5 h z x 0 和 x 1 k （4 分）2 ,拋物線y x x與x軸所圍成圖形為面積為121213 11(6分)S (x x2)dx (-x2 gx3)|0 6由題設(shè)得S 1 k21 k一 (x x )dx kxdxo 0023 / 2523 / 25k(xkx)dx(1 k)3(10 分)k)31.一,從而得:2(12 分)(22)(本小題滿分14分)解：(1) b2時(shí)，函數(shù)h(x)lnx lax2h(x)1cax