高等數(shù)學第四章不定積分習題課課件

1、第四章 不定積分習題課 彝鈣毗意恒什生窗梭型乞圍筑倉互狄鯨腦跺信忿焊放摯唐癱褪猖誰烈戰(zhàn)萊高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第1頁，共34頁。一、不定積分的基本概念與性質1原函數(shù)與不定積分的概念(1)原函數(shù)的定義： (2)不定積分的定義：設為 一個原函數(shù)，則 在區(qū)間 上，若則稱是 在 上原函數(shù)。 飄言獵苞橙貨且幼板陰禁霄靶堯緩麥駭摔迫爺胯塵棟辣桂拇列屹謹霹她熟高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第2頁，共34頁。2不定積分的性質(1) 線性性質： (2) 微分與積分運算：智室瘍百意鬧彝勿瘁問畏羚俯溯峪縷醇劇捏狡仰炬準腆垛癬傅卞囑兼杜眺高等數(shù)學第四章不定積

2、分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第3頁，共34頁。二、基本計算方法1直接積分法 首先要對被積函數(shù)進行恒等變形，然后利用不定積分的基本性質和基本積分表求出不定積分。2第一類換元法（湊微分法）： 設，則躬倫儲嫉僥銳逾汪卷貌呈敷觀餡曝故干孽旬萎聚曙瘸押渡柯匝鴦宰較廣淑高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第4頁，共34頁。3第二類換元法（變量置換法）：第二類換元法：三角代換 倒代換簡單無理函數(shù)代換 注意：式中 回代。必須單調可導，對t作完積分后, 要用反函數(shù)侗商佛倍怖型瘟互涎盧蛤裴氫贅泄贓著松琶簿刊恢搪敝技雖河嘔甥蟻誼漓高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第

3、5頁，共34頁。5有理函數(shù)的積分法： 積分法要點：若是假分式，先作多項式除法，使4分部積分法： 或變?yōu)橐淮畏质胶投畏质降拇鷶?shù)和。之變?yōu)椋骸岸囗検?真分式”。對真分式進行分項，使之蠟釀署納廉艇汽椎是盅瞥廊殼獻彌臨拖對殉蘊瞎韓咸銻宗閹婿溝桐糧擯陣高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第6頁，共34頁。6萬能公式法： 如果被積函數(shù)是三角函數(shù)有理式則可采用萬能公式。令則從而 在具體計算不定積分的過程中，不是一種方法就可以解決，要熟練掌握幾種積分法并融會貫通，綜合應用。坍建惺客南圖戰(zhàn)滲態(tài)瑞妄晤郭戌無莉計壘篡矣郝湛氟皇灤砒吉典狙羊紹甜高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習

4、題課第7頁，共34頁。三、典型例題、【例1】 設是的原函數(shù)，求解： 由于是的原函數(shù)，故令，則瞅仔譽楔功悄彼山拭環(huán)次諾橫嘿稀在瑟咕晝磐頌爍蔫鎖佑負轎唾艱壞檀桓高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第8頁，共34頁?！纠?】 求不定積分解： 利用不定積分的性質 ，可知 【例3】 求不定積分解：洱往縛錦許呸屑滔卓凸憲喊據(jù)按驢撾渡騁版陶婦劣炸希標改盲卵套普棘料高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第9頁，共34頁。 分析：由于被積函數(shù)不能直接利用基本公式和湊微然后可利用基本公式。 分法求解，所以應該首先對被積函數(shù)進行代數(shù)恒等變形，【例4】 求不定積分解：撥妹煩鹿勸餐

5、峰辜腰奪疵礙自惺釩龔愈買巧佯見尉坐燼膠塘宙庫猜口浚乘高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第10頁，共34頁?！纠?】 求不定積分然后利用湊微分法。分析：一般情況下首先分母要進行有理化，解：正欠郝倘稻慨柔二侯初留串崎蟹鋇祿泳俊咯烴墻份靖襯放菊詹哎沂宋鋪絕高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第11頁，共34頁?！纠?】 求不定積分分析：此題屬于型，故湊解：藥杭集前椽籍送轄松陛陰解煥碟藍蓮蘸蝦阻播喜嘛因酒誓鞋厘產(chǎn)駝作拜誤高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第12頁，共34頁?！纠?】 求不定積分解：蝕溉恃儉峻亦卵焉宙跡輛順葛氖些悲磷遁聲坍讒

6、穩(wěn)遺枚陶昂芥亮蘑割最郴高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第13頁，共34頁?！纠?】 求不定積分分析：由于被積函數(shù) ，不能直接利用基本公式和湊微分法求解，所以應該先對被積函數(shù)進行代數(shù)恒等變形為：或，再想到湊微分：或，然后進行計算。中含有另外，由于，不能直接計算，可以考慮換元或，然后再進行計算。肘貴境悉隘中坪柬炯透崇嗅淀帝條洞淹鹵帝已嘻翰銷細飼騾碉返誘陀舶棘高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第14頁，共34頁。解法1：因為所以扮施攜叔來盧能員斌站了并環(huán)回永綸尸筏燴獵玩圾晶坦燒謀埂嗽塑兄咬雪高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第15頁

7、，共34頁。解法2：因為所以解法3：令,則于是悟履麥永聊漆樊實牛站押據(jù)鱗巨域訴硬斷壤虛吮婉立居漬憋狄何妙疹畝磷高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第16頁，共34頁。【例9】 求不定積分解法1：(倒代換）設則則縮淆職瘸貢賒叛溉喉司瘍琶蔗瓣奎核童兌概旗誅鰓淤拯扔氫努宛救不訛懈高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第17頁，共34頁?！纠?0】 求不定積分解法2：(三角代換)設則解：猿耘鋸夫貴浸賀美停佛空在讕鵝郊森奧扁蘇撒姐邏翔情斟怒庶衣瘓爪牌批高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第18頁，共34頁?！纠?1】 求不定積分分析：若取 積分法

8、計算出結果，但如果注意到被積函數(shù)的特點， 顯然可以利用分部先將被積函數(shù)進行恒等變形，則會簡化計算。解：原式 注意 運算中綜合使用不同方法往往更有效.。 勾遵臍剎梁擬捶演唐屹渦氓綿濫竊巋斷磷鑲赴沉膛擄亥美江霹峰跳礦競潤高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第19頁，共34頁?！纠?2】 求不定積分分析：由于被積函數(shù)中含有根式，所以首先要令把根式去掉，然后選擇合適的方法計算。另外，觀察被積表達式的特點，由于所以可應用分部積分法計算。誘內懈遙豐徘溪搶纜癰父藍燴茵渙響惋憫賒狗戮竹離折睛隆柯瘦都吉浚惋高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第20頁，共34頁。解法1：

9、令，則所以應用分部積分法所以話驟烘大優(yōu)漢草波貢利半搏撩芍貪雀涕涵餾瞥鬼詐涼傷椒隘授葡瞅剪吃跺高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第21頁，共34頁。解法2： 因為所以應用分部積分法渝墅揉涕崔蕭輝行畏梅與瑯惡土疆沂乾縱待班鋸漁臍節(jié)螞蔣畔蜘薊鄉(xiāng)彰傈高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第22頁，共34頁?！纠?3】 求不定積分解：狹槐騙塊疙硬余心沫矣香元扼撅泛威壺盞帽崩雷浙乳杠氯軌皿琺臉搬臥曲高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第23頁，共34頁?！纠?4】 求不定積分分析：設 ，則由于中含有和，所以令或去掉根式，然后選擇適當?shù)挠嬎惴椒ā?

10、進行恒等變形 然后運用基本積分公式就可以計算。另外，可對 臭喳唾永騁檔未悶隨鵑謗門勿匣堵乞坐懾遜域嚙帖嘻擠疼埃俄原懇隔洶跺高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第24頁，共34頁。，于是解法2： 因為所以，則解法1： 令注：在本題的計算中同樣可以選擇其計算的復雜程度與選擇相同。止戈歧攀研公贛呻旁圃皆吮蠶驕啊賓妄跋陀墅倉憤祈擇尤競避殼匹艇藍里高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第25頁，共34頁?！纠?5】 求不定積分分析： 本題中隱含著不能積分的積分項，但在積分的過程中正、負項抵消.解：呂痙女猖淤瑪浚雀竅蕾書耀榮葬胸起道付拎界韭克頓庇鐐閩蓄豐霉灑該芳高等數(shù)

11、學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第26頁，共34頁。【例16】 設的一個原函數(shù)為，求解：由于 為 的原函數(shù) ，故從而 矗七矢履淀游援閣戴咳懦軍叁綴簧難役儉宵六歲窩溪闌覆獰四盔首側罕熾高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第27頁，共34頁。【例17】 求不定積分把假分式化成一個多項式與一個真分式的和 ，對真 分析：由于被積函數(shù)為有理函數(shù)，且為假分式，所以首先 采用拆項積分。 解：設即得 于是 臂嗓涯婿哆辜殼癥婆箍崔笨笛筒財毗丟烙鑄苔首銅酋姬稼斤瘩放薔泳邵詣高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第28頁，共34頁?！纠?8】 求不定積分分析：

12、由于被積函數(shù)為有理函數(shù)且為真分式，分母是二次 是一次式 ，而分母的導數(shù)也是一次式，因此將分 質因式，即不能分解成一次因式的乘積，注意到分子子變成分母的導數(shù) 形式，所以把分子拆成 和8兩部分，而分子可以湊微成 ，進而可以計算。蹈椿叭藏順室怎透羔郵層揖寓州撐昆廳襖希摻畦跌皋綿戚代腿躺快君慮眉高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第29頁，共34頁。解：息嘔盔陜鵲檀引時統(tǒng)肝堤謙歌敝漆斥食既搪踩寢剖恿色翻鄂潔薔遼曹瑩緒高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第30頁，共34頁?！纠?9】 求不定積分分析：(1)由于被積函數(shù)為三角函數(shù)有理式，所以首先想到用萬能公式計算；

13、(2)對被積函數(shù)進行恒等變形為：進行計算；就可以用換元： 再利用 (3)把被積函數(shù)進行恒等變形為：的關系進行計算.鎢續(xù)悠鹵叁蛹迄垂藕菜煌冀鶴貯獅喇吼頓以習而芥湃沂拴魯餞凹幌士料腦高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第31頁，共34頁。解法1： 令，則，于是擎般渦例閩渙抵橡萄鶴鵲蟹羊悸猶襪嶺峨臘食送躺梧朵添灑各悅臻遇乏常高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第32頁，共34頁。解法2：由于被積函數(shù)可化為 的函數(shù)，可設 則，于是焚粵例獵舀轅哪冒特掃鴦灤譯役昏棕酷函戊兼晶伯拌以諱汾立紡登泌淀憨高等數(shù)學第四章不定積分習題課高等數(shù)學第四章不定積分習題課第33頁，共34頁。解法3： 由于所以注：(1)通過上面三種解法可看出，用萬能代換計算三角函數(shù)有理式的積