電路分析基礎：第7章 一階電路和二階電路的時域分析 上

1、第7章 一階電路和二階電路的時域分析目錄特殊 激勵響應一階電路三種響應初值求解7.1動態(tài)電路的方程及其初始條件7.3一階電路的零狀態(tài)響應一階電路的零輸入響應7.27.4一階電路的全響應二階電路的零輸入響應7.57.6二階電路的零狀態(tài)響應和全響應7.7一階電路和二階電路的階躍響應二階電路三種響應1. 動態(tài)電路基本概念7.1動態(tài)電路的方程及其初始條件 問題的引出0實際生活中的物理現(xiàn)象1、汽車：靜止狀態(tài)40km/h勻速行駛加速過程穩(wěn)態(tài)1穩(wěn)態(tài)1過渡過程2、照相機：物體慣性閃光燈利用電容存儲能量電磁慣性充電過程過渡過程含有動態(tài)元件(電容和電感)的電路稱為動態(tài)電路定義換路電路結(jié)構(gòu)、狀態(tài)發(fā)生變化支路接入或斷

2、開電路參數(shù)變化 t = 0與t = 0的概念若認為換路在t = 0時刻進行換路t=0忽略開關(guān)動作時間換路前一瞬間記為0 t = 0-換路后一瞬間記為0 t = 0 當動態(tài)電路結(jié)構(gòu)發(fā)生改變時需要經(jīng)歷一個變化過程才能達到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個變化過程稱為電路的過渡(暫態(tài))過程。特點0ti電阻電路+-usR1R2（t = 0）i沒有過渡期電阻元件是耗能元件，其電壓、電流在任一瞬間均遵循歐姆定律的即時對應關(guān)系。因此，電阻元件上不存在暫態(tài)過程。 S接通電源后很長時間，電容充電完畢，電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài):S未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)電容電路 (t )+uCUsRCi+-i = 0 ，uC = 0i = 0，u

3、C= UsS+uCUsRCi (t = 0)+-12初始穩(wěn)態(tài)新穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)電路之間過渡過程uct0初始穩(wěn)態(tài) 過渡過程新穩(wěn)態(tài)t1US?S+uCUsRCi (t = 0)+-12電容電路電容元件是儲能元件，其電壓、電流在任一瞬間也遵循微分(或積分)的動態(tài)關(guān)系。它儲存的電能：因為能量的存儲和釋放需要一個過程，所以有電容的電路存在過渡過程。電感電路S+uLUsRi (t = 0)+-L (t )+uLUsRi+- S接通電源后很長時間，電感充磁完畢，電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài): uL= 0, i=Us /RS未動作前，電路處于初始穩(wěn)定狀態(tài): i = 0 , uL = 0電感電路初始穩(wěn)態(tài) 過渡過程新穩(wěn)態(tài)t1US

4、/RiLt0?S+uLUsRi (t = 0)+-L電感元件是儲能元件，其電壓、電流在任一瞬間均遵循微分(或積分)的動態(tài)關(guān)系。它儲存的磁能：因為能量的存儲和釋放需要一個過程，所以有電感的電路存在過渡過程。 (t )+uLUsRi+-k未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：uL= 0, i=Us /Rk斷開瞬間i = 0 , uL = 工程實際中在切斷電容或電感電路時會出現(xiàn)過電壓和過電流現(xiàn)象。注意k (t )+uLUsRi+-3、動態(tài)電路在換路時能量發(fā)生變化，而能量的儲存和釋放都需要一定的時間來完成。實質(zhì)：電路的能量從一種分布狀態(tài)到另一種分布狀態(tài)的變化過程過渡過程產(chǎn)生的原因1、電路內(nèi)部含有動態(tài)儲能元件 L

5、、C（內(nèi)因）2、換路：電路結(jié)構(gòu)、狀態(tài)發(fā)生變化（外因）2. 動態(tài)電路的方程動態(tài)電路 描述方程是微分方程S+uCUsRCi (t = 0)+-12 (t 0)+uCUsRCi+- 應用KVL：電容的VCR：電阻電路 描述方程是代數(shù)方程+-UsR1R2（t = 0）it 0（靜態(tài)電路）動態(tài)電路 描述方程是微分方程動態(tài)電路的階數(shù)能夠用一階微分方程描述的電路：一階電路能夠用n階微分方程描述的電路：n階電路S+uCUsRCi (t = 0)+-12 (t 0)+LUsRi+-CuC能夠用二階微分方程描述的電路：二階電路動態(tài)電路微分方程的階數(shù)取決于獨立動態(tài)元件個數(shù)動態(tài)電路分析方法經(jīng)典法：根據(jù)KCL、 KVL

6、、元件VCR建立以時間為自變量的線性常微分電路方程，求解方程。是一種在時間域中進行的分析方法。復頻域分析法時域分析法經(jīng)典法數(shù)值法狀態(tài)變量法拉普拉斯變換法傅里葉變換法穩(wěn)態(tài)分析和動態(tài)分析的區(qū)別穩(wěn)態(tài)動態(tài)換路發(fā)生很長時間后狀態(tài)微分方程的特解恒定或周期性激勵換路發(fā)生后的整個過程微分方程的通解任意激勵直流時3.電路的初始條件 求解微分方程確定積分常數(shù)的邊界條件： 電路變量的初始值。定義換路前一瞬間0 換路后一瞬間0 電路的初始條件(初始值):所求變量(u ，i) 及其 1(n-1)階導數(shù)在t = 0時的值。0f(t)00t換路t = 0時刻進行uC(0+)、 iL(0+) :獨立初始條件 ,其余為非獨立初

7、始條件t0=0-，t=0+代入：換路定則q(0+) = q(0-)uC(0+) = uC(0-)電容的初始條件iucC+-0-到0+瞬間，iC為有限值時，積分為000結(jié)論：換路瞬間，若電容電流保持為有限值， 則電容電壓（電荷）換路前后保持不變電感的初始條件0iLuL+-t0=0-，t=0+代入：00-到0+瞬間，uL(t)為有限值時，積分為0Y(0+) = Y (0-)iL(0+) = iL (0-)結(jié)論：換路瞬間，若電感電壓保持為有限值， 則電感電流（磁通鏈）換路前后保持不變說明換路定律反映了能量不能躍變： 電荷守恒定律的體現(xiàn)，磁鏈守恒定律的體現(xiàn)獨立初始條件 uC(0+)、 iL(0+) 可

8、由換路定則求得，其余非獨立初始條件由獨立初始條件求得電容電流和電感電壓為有限值是換路定則成立的條件。(2)由換路定則 uC (0+) = uC (0)=8V(1) 由換路前0電路求 uC(0)uC(0)=8V(3) 由換路后0+等效電路求iC(0+)iC(0)=0 iC(0+)電路原已穩(wěn)定 t=0打開S,求iC(0+)+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效電路+-10ViiC10k例ic=0電容相當于開路電容用電壓源替代iL(0+)= iL(0) =2At = 0時閉合S,求uL(0+)iL+uL-L10VS14+-iL10V14+-2A+uL-1

9、0V14+-例(1) 由0電路求 iL(0)uL=0電感相當于短路(2)由換路定則 (3) 由0+等效電路求uL (0+)電感用電流源替代求初始值的步驟:1.由換路前0-電路（穩(wěn)定狀態(tài)）求uC(0)和iL(0)；直流激勵：電容相當于開路，電感相當于短路2.由換路定則得 uC(0+) 和 iL(0+)。3.畫換路后0+等效電路。4.由0+電路求所需各變量的0+值。電容（電感）用電壓源（電流源）替代換路后的電路（取0+時刻值，方向與原假定的電容電壓、電感電流方向相同）。小結(jié)例7-1:當電路中的電壓和電流恒定不變時打開開關(guān)S。試求uC(0+)，iL(0+)、iC(0+)、uL(0+)和uR2(0+)

10、R2U0R1iLLuCiCS(t=0)(1) 由換路前0電路求 uC(0)、 iL(0)R2U0R1iLuC(2)由換路定則 電容相當于開路電感相當于短路(3) 由換路后0+等效電路求iC(0+)、 uL (0+)、 uR2(0+)R2uL(0+)iC(0+)非獨立初始條件電容用電壓源替代電感用電流源替代R2U0R1iLLuCiCS(t=0)求k閉合瞬間流過它的電流值確定0-值由0等效電路求ikiL+20V-10+uC1010iL+20V-Lk10+uC1010C1A10V+uLiC+20V-10+1010例換路定則確定0+值習題7-1、7-2(a),(b)7.2一階電路的零輸入響應 動態(tài)電路

11、換路后外加激勵為零，僅由動態(tài)元件初始儲能(0)產(chǎn)生的響應1.RC電路的零輸入響應S閉合前，電壓已經(jīng)恒定不變： uC (0)=U0uR= Ri零輸入響應S閉合后由KVL:SR+-uC(t=0)i+-uRU0SR+-uC(t0+)i+-uRU0特征根：特征方程：RCp+1=0方程通解：由換路定則得初始值: uC (0+)=uC(0)=U0A=U0SR+-uC(t0+)i+-uRU0一階齊次常微分方程:SR+-uC(t0+)i+-uRU0根據(jù)電容VCR計算電容放電電流：tU0uC， uR0令 =RC ,稱為一階RC電路的時間常數(shù)響應均為隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；響應與初始狀態(tài)相關(guān)，其衰減快慢取

12、決于RC;表明連續(xù)函數(shù)ti0躍變時間常數(shù) 的大小反映了電路過渡過程時間的長短 = RC 大過渡過程時間長 小過渡過程時間短電壓初始值一定：R 大（ C一定） P=u2/R 放電電流小消耗功率小放電時間長U0tuc0 小 大C 大（R一定） W=Cu2/2 儲能大物理含義常用于延時電路：聲控電燈等時間常數(shù) 是uc衰減到原來電壓36.8%所需的時間。在理論上，要經(jīng)過無限長時間uC才能衰減到0；而工程上認為, 經(jīng)過 35 , 過渡過程結(jié)束。U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0 t0 2 3 5U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 說明 t

13、2 t1 t1時刻對應uc點的切線斜率等于uc的微分在該點的值t2U0tuc0t1次切距的長度時間常數(shù) 的幾何意義（求解方法）：幾何意義: uc曲線上任意一點的切線所得的次切距(曲線上任意一點，如果以該點的斜率為固定變化率衰減，經(jīng)過 時間為0值)切點在定直線(通常為x軸)上的垂足,到切線與定直線交點間的距離畫切線使其與t軸相交求得直線的斜率能量關(guān)系放電過程中, C釋放儲存的能量全被R 吸收，并轉(zhuǎn)換成熱能消耗掉uC(0+)=U0電容放出能量電阻吸收（消耗）能量SR+-uC(t0+)i+-uRU0初始儲能試求t0時的i(t)。2WSR2+-(t=0)+-uC4WR14WC1F12R10Vi例是求一

14、階RC 零輸入響應問題，有：求uC(0+)根據(jù)換路定則： uC(0+) = uC(0-) = 4 Vt = ReqC = 2 s2WSR2+-(t=0)+-u C4WR14WC1F12R10ViR2+-uC4W4WC1Fit0SR1換路后，C 通過(R1/R2)放電：Req= R1/R2 = 2W。求時間常數(shù)t引用典型電路結(jié)果：2. RL電路的零輸入響應SR+-(t=0)R0L12uL+-iU0開關(guān)閉合前，電流電壓已經(jīng)恒定不變: iL (0)=U0/ R0R(t0)LuL+-iS2+-uR開關(guān)閉合后由KVL:uR= Ri得一階齊次微分方程:特征根：特征方程：Lp+R=0方程通解：由換路定則得初

15、始值: iL (0+)=iL(0)= U0/ R0A= U0/ R0= I0R(t0)LuL+-iS2+-uR根據(jù)電感VCR計算電感電壓：R(t0)LuL+-iS2+-uR令 = L/R ,稱為一階RL電路的時間常數(shù)響應均為隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；響應與初始狀態(tài)相關(guān)，其衰減快慢與L/R有關(guān);表明連續(xù)函數(shù)躍變-RI0uLt0tI0iL0時間常數(shù) 的大小反映了電路過渡過程時間的長短 = L/R 大過渡過程時間長 小過渡過程時間短電流初始值一定：R ?。?L一定） P=Ri2 放電過程消耗能量小I0tiL0 小 大L 大（R一定） W=LiL2/2 初始儲能大物理含義放電慢，大能量關(guān)系L不斷

16、釋放能量被R吸收, 直到全部轉(zhuǎn)換成熱能消耗掉iL(0+)=I0電感放出能量電阻吸收（消耗）能量初始儲能R(t0)LuL+-iS2+-uR例7-2試求：t i(0+)和i() i(t)和uV (t) ；uV (0+)。VS+-RL+-URVuVi0.189W0.398H5kW35V一臺300kW汽輪發(fā)電機勵磁回路的電路模型,電壓表量程50VuV= -RV i= -5103 185.2 e-12560t = -926 e-12560t kVt0+RU=0.18935=185.2 A i(0-) =i(0+)= i(0-) =185.2 A i()=0 A VS+-RL+-URVuVi0.189W0

17、.398H5kW35V電壓表的量程才50V，會造成電表損壞。 由uV= -926 e-12560t kVt0+實踐中，切斷電感電流，必須考慮磁場能量的釋放問題知電壓表電壓初始值 uV(0+) = 926 kV !電流初始值也很大 i(0+) =185.2 A！ S+-RLUi（數(shù)控機床、家用電器保護電路）例7-3：求t0+ 時的電流i(t)（含受控源）S3W6W12-+9V2W+-2i0.25F6W(t=0)i求初始值uC(0+)換路后為求解一階RC電路零輸入響應問題：換路前電路達到穩(wěn)態(tài)：根據(jù)換路定則： uC(0+) = uC(0-) = 6 V求時間常數(shù)t=ReqCS6W22W+-2i0.2

18、5F(t=0)i-+u6W2W+-2iii1i2t=ReqC=10.25=0.25s求時間常數(shù)t=ReqCS6W22W+-2i0.25F(t=0)i求uC(t) uC(0+) = 6 V一階電路零輸入響應求解步驟:由0-電路求uC(0)和iL(0)；由換路定則得獨立初始條件uC(0+) 和 iL(0+)。求0+電路的時間常數(shù)（衰減快慢取決于 ）小結(jié)RC：uC (0+) = uC (0)RL：iL(0+)= iL(0) 零輸入響應是僅由儲能元件初值引起的響應, 都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。RC : = Req CRL: = L/ReqReq為與動態(tài)元件相連的一端口電路等效電阻。同一電路中

19、所有響應具有相同的時間常數(shù)。由求其余響應；或根據(jù)uC(0+) 和 iL(0+)求其余待求響應的初始值，再由響應解的形式求解：習題7-4、7-5、7-7、 7-8 動態(tài)元件初始能量為零,由t 0電路中外施激勵引起的響應。1.RC電路的零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應iS(t=0)US+uRC+uCRuC (0)=0+7.3一階電路的零狀態(tài)響應 S閉合前，電容電壓處于零初始狀態(tài)： uC (0)=0S閉合后接入US，由KVL:SUS+-(t0+)+-uCRC+-uRi一階非齊次常微分方程與外施激勵的變化規(guī)律有關(guān)變化規(guī)律取決于特征根(由電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)決定)的通解對應齊次方程通解非齊次方程特解的特解解答形式為：（強

20、制分量）（自由分量）全解uC (0+)=A+US= 0 A= US由初始條件 uC (0+)=0 定積分常數(shù)A從上式可得：-USuC”uCUStuC , i0電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；電容電壓由兩部分構(gòu)成：強制分量自由分量+表明iS(t=0)US+uRC+uCRuC (0)=0+穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量（穩(wěn)態(tài)分量）（瞬態(tài)分量）響應變化的快慢，由時間常數(shù)RC決定； 大，充電慢， 小充電就快。響應與外加激勵相關(guān)；能量關(guān)系電容儲存能量：電阻消耗能量： 電源提供的能量只有一半轉(zhuǎn)換成電場能量儲存在C中,另一半消耗在電阻上,充電效率總是50%。SUS+-(t0+)+-uCRC+-uRiRC+-U

21、S電源提供能量：表明t=0開關(guān)S打開，求t 0后uC和is發(fā)出功率S+CRisR+uuCS打開后, 外施激勵is接入,這是一個RC電路零狀態(tài)響應問題由0+電路求uC()電容相當于開路由0+電路求 = ReqC=(R+R)C=2RCC+RisR+uuCiC(t)S打開前, is被短路:uC (0+) = uC (0)=0,C初始儲能為0例求uC (t)C+RisR+uuCiC(t)求is發(fā)出功率電流源兩端電壓:電流源發(fā)出功率:t=0時,開關(guān)S閉合，已知 uC(0)=0，求uC80V時的充電時間 。(1)這是一個RC電路零狀態(tài)響應問題：(2)設經(jīng)過t1秒，uC80V50010F+-100VS+uC

22、i例2. RL電路的零狀態(tài)響應iLS(t=0)US+uRL+uLR+S閉合前，電感電流處于零初始狀態(tài)： iL(0)=0S閉合后由KVL得一階非齊次微分方程:iLUS+uRL+uLR+將初始條件 iL (0+)= iL(0)=0帶入,定積分常數(shù)AiLUS+uRL+uLR+tiL0iL”iLuLUSt0t=0開關(guān)S打開，求t 0后iL、uL的變化規(guī)律。t 0iLS+uL2HR8010A200300iL+uL2H10AReq例S打開前, is被短路:iL (0+) = iL (0)=0,L初始儲能為0S打開后, 外施激勵is接入,這是一個RL電路零狀態(tài)響應問題：由0+電路求iL()電感相當于短路由0

23、+電路求iL+uL2H10AReq一階電路零狀態(tài)響應求解步驟由0+電路求響應的最終穩(wěn)態(tài)值iL() 、uC()求0+電路的時間常數(shù)小結(jié) 零狀態(tài)響應是僅由外施激勵產(chǎn)生的響應RC : = Req CRL: = L/ReqReq為與動態(tài)元件相連的一端口電路等效電阻。同一電路中所有響應具有相同的時間常數(shù)。由求其余響應；零輸入響應是僅由動態(tài)元件初始儲能引起的響應零狀態(tài)響應是僅由外施激勵產(chǎn)生的響應ty(0+)0t0習題7-10、7-11、7-12電路的動態(tài)元件初值不為零，同時又有外施激勵源作用時電路中產(chǎn)生的響應。以RC電路為例：1. 全響應微分方程全響應7.4一階電路的全響應S閉合前，電容已具有電壓： uC

24、 (0)=U0SUS+-(t0+)+-uCRC+-uRiiS(t=0)US+uRU0+uCRS閉合后接入US由KVL:一階非齊次微分方程解答為： uC(t) = uC + uC特解 uC = US通解 = RCuC (0+)= uC (0)=U0U0 = A+US A=U0 - US由初始值定積分常數(shù)AuC在t0時的全響應2. 全響應的兩種分解方式著眼于電路的兩種工作狀態(tài)物理概念清晰uC-USU0暫態(tài)解uCUS穩(wěn)態(tài)解tuc0全響應自由分量(暫態(tài)解)強制分量(穩(wěn)態(tài)解)U0uc全 解 = + = +SUS+-(t0+)+-uCRC+-uRi著眼于因果關(guān)系便于疊加計算S(t=0)USC+RuC (0

25、)=U0=S(t=0)USC+RuC (0)=U0全響應零狀態(tài)響應零輸入響應 = + = +S(t=0)USC+RuC (0)= 0+tuc0US零狀態(tài)響應 全響應 零輸入響應U0t=0 開關(guān)S打開，求t 0后的iL、uL。RL電路全響應問題：零輸入響應：零狀態(tài)響應：全響應：iLS(t=0)+24V0.6H4+uL8例電感電流初始條件t=0開關(guān)閉合，求t 0后的iC、uC及電流源兩端的電壓。RC電路全響應問題：強制分量(穩(wěn)態(tài)解)：+10V1A1+uC1+u1例自由分量(暫態(tài)解)：全響應：+10V1A1+uC1+u1 A= 10V3. 三要素法分析一階電路一階電路的數(shù)學模型是一階線性微分方程：特

26、解通解直流激勵時,其解答一般形式為：令 t = 0+A用0+等效電路求解三要素正弦激勵下(不作要求)：三要素分析一階電路問題轉(zhuǎn)為求解電路的三要素問題iS(t=0)US+uRU0+uCR以RC一階全響應為例說明一階電路的響應:三要素表示含源 電阻 電路 一個動態(tài)元件僅含一個動態(tài)元件(C或L)的一階線性電路，其余部分可以用戴維寧或諾頓定理等效變換，然后求解。注意三要素法不僅可以求一階RC電路的uC ,RL電路的iL，它可以求解一階電路的其他任何響應（ic, iR, uL, uR等）。三要素法適用于一階電路任何響應（全響應，零輸入響應、零狀態(tài)響應）。例7-4求S閉合后iL和iiL(0-)= -IS= -2A 一個動態(tài)元件，其余部分求解戴維寧等效電路:SUs+-(t=0)iLRLiIsab10V4H2W2A?Uoc+-(t0+)iLReqLab=10-22=6 VUoc=Us-RisReq = R = 2W全響應問題,求iL的三個要素：初始值:iL(0+)=iL(0-) = -2A特解(穩(wěn)態(tài)解):iL() = Uoc