量綱分析與輪廓模型

1、 數(shù)學(xué)建模的基本步驟：1、問題分析2、模型假設(shè)3、模型建立4、模型求解5、分析檢驗6、論文寫作7、應(yīng)用實際1 二十一世紀(jì)的工作者 需要具有以下能力1.抽象思維能力 2.邏輯推理能力3.數(shù)學(xué)運算能力 4.空間想象能力5.數(shù)學(xué)建模能力 6.數(shù)值計算與數(shù)據(jù)處理能力7.使用數(shù)學(xué)軟件的能力 8.更新知識的能力2主要學(xué)習(xí)內(nèi)容： 1、量綱分析 2、集合分析 3、微分方程 4、差分方程 5、差值與擬合 6、MATLAB 7、概率分布 8、數(shù)理統(tǒng)計 9、回歸分析 10、線性規(guī)劃 11、整數(shù)規(guī)劃 12、非線性規(guī)劃 13、動態(tài)規(guī)劃3初等分析方法： 所用的數(shù)學(xué)知識和方法都是初等的，在解決實際問題的過程中，往往主要是看

2、解決問題的效果和應(yīng)用的結(jié)果如何，而不在于用了初等的方法還是高等的方法。4 初等分析建模方法 常用的方法有： 類比分析法、幾何分析法、 邏輯分析法、量綱分析發(fā)、 集合分析法等。5 量綱分析與輪廓模型6量綱分析建模 一、單位與量綱1、單位 數(shù)學(xué)建模的目的是解決實際問題，而實際問題中的量都有相應(yīng)的單位。數(shù)學(xué)中純粹的數(shù)在實際問題中不具有明確的含義。如在實際問題中談某個長度量，在關(guān)注其數(shù)值的同時還必須關(guān)注其單位，否則，我們便沒有把這個量完全弄清楚。但實際問題中的諸多量并非全是相互獨立的，其中一些量能起到基本量的作用，其它量是這些基本量的符合某種規(guī)律的組合，如速度是長度與時間這兩個基本量的一種規(guī)定的組合。

3、如果規(guī)定了基本量的單位，其它量的單位也隨之確定。7定義：一組物理量，若彼此相互獨立，且其它物理量均是這些物理量的合乎某種規(guī)律的組合，則稱這些物理量為基本物理量。物理量量綱單位符號長度L米m質(zhì)量M千克kg時間T秒s電流強(qiáng)度I安培A溫度開爾文K光強(qiáng)J坎得拉cd物質(zhì)的量N摩爾mol基本量信息表2、基本物理量83、量綱定義：一物理量與基本物理量之間的規(guī)定關(guān)系，稱為該量的量綱。這種規(guī)定關(guān)系常以基本物理量的冪指乘積形式表示，因此也稱為量綱積。即任一物理量的量綱皆可表示成94、量綱與單位的關(guān)系1）、量綱和單位都在反映物理量的特征，反映該物理量與基本物理量間的關(guān)系。2）、任何物理量的量綱是唯一的，但單位可以有

4、多個。3）、有的量可以沒有量綱，但它可能有單位。如角度4）、物理量的量綱及其相互關(guān)系反映了各量之間的內(nèi)在屬性，這是量綱關(guān)系能用于建立數(shù)學(xué)模型的理論基礎(chǔ)。10二、量綱齊次性定理定理：11 例 1 建模描述單擺運動的周期 問題：質(zhì)量為m的小球系在長度 為 l的線的一端, 鉛垂懸掛。小 球稍稍偏離平衡位置后將在重 力的作用下做往復(fù)的周期運動。 分析小球擺動周期的規(guī)律。 xlm12假設(shè)： 1. 忽略空氣阻力； 2. 忽略可能的磨擦力； 3. 平面運動，忽略地球自轉(zhuǎn)； 4. 忽略擺線的質(zhì)量和變形。13 分析建模 10. 列出有關(guān)的物理量 運動周期 t，擺線長 l，擺球質(zhì)量 m，重力加速度 g，振幅 .

5、20. 寫出量綱 t=T，l=L，m=M，g=LT-2，=1. 30. 寫出規(guī)律 F(t, l, m, g, )= 0. 40. 寫出規(guī)律中加項 的形式 =t 1 l 2 m 3 g 4 514 50. 計算 的量綱 = T1L2M3( LT-2)4 = T1-24L2 + 4M 3 60. 應(yīng)用量綱齊次原理 由 = 1, 可得關(guān)于i (i 1, , 5)的方程組 1 - 24 = 0 2 + 4 = 0 3 = 0 5 任意15 70. 解方程組解空間的維數(shù)是二維。對自由變量(4， 5)選取基底(1, 0)和(0, 1)。關(guān)于 1, 2, 3 求解方程組可得基礎(chǔ)解系16 80. 求 將方程的

6、解代入加項 的表達(dá)式，可得 1 = t2 l-1 g = t2 g / l ， 2 = . 90. 建模 單擺運動的規(guī)律應(yīng)為 f (1, 2) = 0， 解出 1 可得 1 = k1(2) ，即 t2 g / l = k1() ，17 100. 檢驗 周期與 質(zhì)量 m m=390g m=237gl = 276cm 3.327s 3.350sl = 226cm 3.058s 3.044s 周期與振幅 (l=276cm, m=390g) (0) 8.34 13.18 18.17 23.31 28.71 33.92 39.99 46.62 k() 6.35 6.35 6.354 6.354 6.38

7、8 6.388 6.471 6.524 150 時, k( ) 2 。 k() 與 有關(guān)。18 布金漢（Buckingham）定理 對于某個物理現(xiàn)象或過程，如果存在有n個變量互為函數(shù)關(guān)系， f(a1,a2, an)=0而這些變量含有m個基本量綱，可把這n個變量轉(zhuǎn)換成為有(n-m)=i個無量綱量的函數(shù)關(guān)系式 F(1,2, n-m)=0這樣可以表達(dá)出物理方程的明確的量間關(guān)系，并把方程中的變量數(shù)減少了m個，更為概括集中表示物理過程或物理現(xiàn)象的內(nèi)在關(guān)系。19量綱分析法的一般步驟：1、將于問題有關(guān)的物理量（變量和常量）收集起來，記為q1,q2,qm,根據(jù)問題的物理意義確定基本量綱，記為x1,x2,xn(

8、nm)。 2、寫書qj的量綱qj=Xjaij(j=1,2,m)。3、設(shè)q1,q2,qm滿足關(guān)系=qjyj,其中yj為待定的，為無綱的量。204、解方程組aijyj=0 (i=1,2,n),系數(shù)矩陣A=(aij)nm ,rank(A)=r,則方程組有m-r個基本,yk=(yk1,yk2,ykm)T,（k=1,m-r）。5、記k=qjykj ,則k(k=1,2,m-r)為無量綱的量。6、由 F(1 ,2 ,m-r)=0 解出物理規(guī)律。21相關(guān)因素：因素的量綱：齊次關(guān)系：22 從該例題看出，利用定理，可以在僅知與物理過程有關(guān)物理量的情況下，求出表達(dá)該物理過程關(guān)系式的基本結(jié)構(gòu)形式。用量綱分析法所歸納出

9、的式子往往還帶有待定的系數(shù)，這個系數(shù)要通過實驗來確定。而量綱分析法求解中已指定如何用實驗來確定這個系數(shù)。因此，量綱分析法也是流體力學(xué)實驗的理論基礎(chǔ)。23三. 量的比例關(guān)系與輪廓模型1. 量的比例關(guān)系 10. 模型表達(dá)了不同量綱的量之間的轉(zhuǎn)換規(guī)律. 20. 由量綱分析原理可知:不同量綱的量的乘冪之間一定存在比例關(guān)系。 30. 在同一模型中，若量 y1和 y2的量綱分別為 y1 = X和 y2 = X ，則定有 y1=k y2 / 24 輪廓模型(pro) 直接利用不同量綱的量之間的比例關(guān)系所得到的模型稱之為輪廓模型。25 模型舉例 例 2. 幾何體中的長度、面積和體積 正立方體 棱長 l0=a，

10、底面周長 l1 = 4a，底面對角線 長 對角線長 表面積 S1 = 6a2，底面面積 S2 = a2， 對角面面積 體積 V1 = a3，四棱錐體積 V2 = a3/326 結(jié)論在簡單的幾何體中， 相應(yīng)部位的面積與相應(yīng)部位長度的平方呈正比； 相應(yīng)部位的體積與相應(yīng)部位長度的立方呈正比； 相應(yīng)部位的體積與相應(yīng)部位面積的3/2次方呈正比； Si = k1 Lj2，V i= k2Lj3，Vi = k3Sj3/2。27 長方體 I 有棱長 (a, b, c) 總棱長L1=2(a+b+c), 底面周長 L2=2(a+b), 對角線長 表面積 S1=2(ab+bc+ca), 底面面積 S2= ab, 體積

11、 V1=abc, 四棱錐體積 V2=1/3 abc.28 若長方體 II 有棱長(a*, b*, c*), 且 a*/a = b*/b = c*/c = m.則有L1*= mL1, L2*=mL2, L3*= mL3; S1*= m2S1, S2*= m2S2; V1*= m3V1, V2*= m3V2.于是可得 Si*/Lk*2=Si/Lk2; Vi*/Lk*3=Vi/ Lk3; Vi*/Sk*3/2=Vi/Sk3/2.即 S=k1L2, V=k2L3, V=k3S3/2.29 結(jié)論在相似的幾何體中，相應(yīng)部位的面積與相應(yīng)部位長度的平方呈正比； 相應(yīng)部位的體積與相應(yīng)部位長度的立方呈正比；相應(yīng)部

12、位的體積與相應(yīng)部位面積的3/2次方呈正比； Si = k1 Lj2，Vi = k2Lj3，Vi = k3Sj3/2。30例3. 生活中的長度、面積和體積。10. 一種動物的體重W和體長L W(ozs) 17 16 17 23 26 27 41 49 L(in) 12.50 12.63 12.63 14.13 14.50 14.50 17.25 17.75 L3 1953 2015 2015 2821 3049 3049 5133 5592 W/L3 .0087 .0079 .0084 .008 .0085 .0089 .008 .0088 3132 20. 人的體重W和身高LW(kg) 12

13、17 22 35 48 54 66 75L(cm) 86 108 116 135 155 167 178 185L3(103cm3) 636 1260 1560 2460 3724 4657 5640 6332 W/L3 .0189 .0135 .0141 .0142 .0129 .0116 .0117 .0118 333430 蜥蜴的體長和體重 小蜥蜴體長15cm,體重為15g, 當(dāng)它長到20cm長時體重為多少? (20g, 25g, 35g, 40g) 35 例4. 商品的包裝與成本 商 品 價格 含量 價格 含量高露潔牙膏 15.7元/190g 5.8元/ 60g 詩芬洗發(fā)液 35.9元

14、/400ml 23.1元/200ml富麗餅干 8.8元/450g 3.0元 / 150g 奇寶餅 5.9元/250g 4.3元 / 150g 單價8.3元/100g9元/100ml1.9元/100g2.3元/100g單價9.7元/100g11.5元/100ml2元/100g2.87元/100g建模分析為什么小包裝的商品比大包裝的要貴一些?36 假設(shè): 10. 不考慮利潤及其他因素對商品價格的影響。 20.包裝只計裝包工時和包裝材料。 30.不同規(guī)格的商品裝包時工作效率相同。 40.不同規(guī)格的商品包裝外觀相似，包裝材料相似，至少在價格上沒有太大的差異。. 37 參量與變量 A: 每件商品中產(chǎn)品的

15、成本, W:每件商品中產(chǎn)品的含量, B: 每件商品的包裝成本, B1: 裝包工時投入, B2: 包裝材料成本 S: 包裝材料用量, C(W): 總成本, c(W): 單位商品平均成本.38 模型 C(W) = A + B1 + B2 A = a1W, B1 = a2W, B2 = a3S = a4w2/3. C(W)= k1W + k2W2/3c(W) = k1 + k2W-1/339應(yīng)用: 1. 價格預(yù)測 康爾乃奶粉 32.4元 400g; 67.1元 900g. 4 k1 + 42/3 k2 = 32.4 9 k1 + 92/3 k2 = 67.1 解得: k1 = 5.3791, k2

16、= 4.3192 模型: C(W)=5.3791 W + 4.3192 W2/3. 預(yù)測: W=1800, C(W) = 126.49. W=2500, C(W) = 154.36檢驗 實際: W=1800, C(W)=115.9 W=2500, C(W)=146.8540 可賽礦泉水 1.70元 0.6升； 2.20元 1.0升 0.6 k1+ 0.62/3k2 = 1.7 1.0 k1+1.02/3 k2 = 2.2 解得： k1 = -1.21， k2 = 3.41 預(yù)測：W=1.5，C(W)= 2.65檢驗 實際: W=1.5, C(W)= 3.4541 分析 10. 不宜于預(yù)報新商品

17、的價格(?) 20. 成本的降低率 r(W)=|dc/dw| = 1/3 k2W-4/3.是商品量的減函數(shù). 30. 支出的節(jié)省率 S(W) = W r(W) = 1/3 k2W-1/3.也是商品量的減函數(shù). 購買小包裝的商品不合算，購買特大包裝的商品也不合算！ 42 例5. 劃艇比賽的成績 問題1. 劃艇按艇上槳手的人數(shù)分為單人、雙人、四人和八人艇四種， 賽程 2000m, 稱劃行時間為比賽成績。 試組建模型描述劃艇的比賽成績與艇上運動員人數(shù)的關(guān)系。43 假設(shè)： 10. 運動員體重 W 相等，每人輸出功率 P 不變, 20. 艇身相似， 30. 艇速 v 定常，阻力 F 且與體重 W 呈正比

18、。艇重 U 與槳手人數(shù) n 呈正比。F 與 Sv2 呈正比，S 為浸沒面積。44 參量、變量n: 人數(shù)， W: 體重，P: 輸出功率,U: 艇重，v: 艇速，F(xiàn): 劃艇受到的阻力，S: 浸沒面積, V：排水體積，D: 比賽距離，T: 比賽成績(時間).45 模型 由假設(shè)可知 P=k1W, F=k2Sv2. 由物理知識可知,槳手輸出的功完全用于劃艇克服阻力產(chǎn)生定常的速度。因此有 n P = k4 F v，則 k1 n W = k4 k2 S v3， v = k (nW/S)1/3.46 由阿基米德原理可知劃艇排水的體積V與載人艇的總重量呈正比, 且 U=k3n V = k5(U+nW) = nk5(k3+W) = k6n。浸沒面積與排水體積之間有關(guān)系S=k7V2/3=k8n2/3。代入速度的模型，可得 v=k (nW/n2/3)1/3=kn1/9最后得到比賽成績的模型 T=D/v=kn-1/9.47 檢驗：劃艇四次比賽的成績 種類 成績(劃2000米時間(分) 平均 單人 7.16 7.25 7.28 7.