三次函數(shù)與四次函數(shù)

1、、學(xué)習(xí)目標(biāo)2.13三次函數(shù)與四次函數(shù)三次函數(shù)已經(jīng)成為中學(xué)階段一個(gè)重要的函數(shù)，在高考和一些重大考試中頻繁出現(xiàn)有關(guān)它的單獨(dú)命題。近年高考中，在江蘇卷、浙江卷、天津卷、重慶卷、湖北卷中都出現(xiàn)了這個(gè)函數(shù)的單獨(dú)命題，不僅僅如此，通過(guò)深化對(duì)三次函數(shù)的學(xué)習(xí)，可以解決四次函數(shù)問(wèn)題。近年高考有多個(gè)省份出現(xiàn)了四次函數(shù)高考題，更應(yīng)該引起我們的重視。單調(diào)性和對(duì)稱性最能反映這個(gè)函數(shù)的特性。下面我們就來(lái)探討一下它的單調(diào)性、對(duì)稱性以及圖象變化規(guī)律。二、知識(shí)要點(diǎn)：W第一部分：三次函數(shù)的圖象特征、以及與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(根的個(gè)數(shù))、極值情況三次函數(shù)圖象a對(duì)圖象的影響說(shuō)明可以根據(jù)極限的思想去分析當(dāng)a0時(shí)，在x+8右向上伸展，X-8

2、左向下伸展。當(dāng)aVO時(shí)，在x+8右向下伸展，X-8左向上伸展。與x軸有三個(gè)交點(diǎn)若b2一3ac0，且f(X)f(X)0,且f(X)f(X)0，既有一12個(gè)極值為0,圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)1。存在極值時(shí)即b2一3ac0，且f(x)f(x)0，既兩個(gè)極12值同號(hào)，圖象與X軸有一個(gè)交點(diǎn)。2。不存在極值，函數(shù)是單調(diào)函數(shù)時(shí)圖象也與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。1.f(X)0根的個(gè)數(shù)三次函數(shù)f(x)=ax3bx2cxd導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)：f/(x)=3ax22bxc(a,0),二次函數(shù)的判別式化簡(jiǎn)為：=,若,則f(x)=0恰有一個(gè)實(shí)根；若b23ac0，且，則f(x)=0恰有一個(gè)實(shí)根；若b23ac0，且，則f(x)=0有兩個(gè)不

3、相等的實(shí)根；若b23ac0，且，則f(x)=0有三個(gè)不相等的實(shí)根.說(shuō)明(1)(2)f(x)=0含有一個(gè)實(shí)根的充要條件是曲線y=f(x)與X軸只相交一次，即f(x)在R上為單調(diào)函數(shù)(或兩極值同號(hào))，所以b23ac0(或b23ac0，且f(x)-f(x)0).12f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根的充要條件是曲線y=f(x)與X軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以b2一3ac0，且f(x)-f(x)=0.12(4)f(x)=0有三個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是曲線y=f(x)與X軸有三個(gè)公共點(diǎn)，即f(x)有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值，且兩極值異號(hào)所以b23ac0且f(x)-f(x)0),導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)f/(x)

4、=3ax22bxc(a0)，二次函數(shù)的判別式化簡(jiǎn)為：二4b2-12ac=4(b2-3ac)，若，則f(x)在(-,)上為增函數(shù)；若，則f(x)在(y,x)和(x,)上為增函數(shù)，f(x)在(x,x)上為減函數(shù)，其中1212-b-b2-3ac-bb2-3acx=,x=.13a23a三次函數(shù)f(x)=ax3bx2cxd(a0),若b2-3ac0，則f(x)在R上無(wú)極值；(2)若b2-3ac0，則f(x)在R上有兩個(gè)極值；且f(x)在x=x處取得極大值，在x=x處取得極小值.12由此三次函數(shù)的極值要么一個(gè)也沒(méi)有，要么有兩個(gè)。課前檢測(cè):1.(09安徽理)設(shè)aVb,函數(shù)y(x-a)2(x-b)的圖像可能是

5、x一9都相切，則a=2.3-(09重慶文)把函數(shù)f(x)x3-3x的圖像Ci向右平移u個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移v個(gè)單位長(zhǎng)度后得到圖像C2若對(duì)任意的U0，曲線Ci與C2至多只有一個(gè)交點(diǎn)，則V的最小值為(09江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)p在曲線C:y=x3-10 x,3上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(09福建卷理)若曲線f(x)ax3,Inx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a取值范圍是.四.典型例題；例1.討論關(guān)于x的方程3x3+2C-必2-ax-3=0根的個(gè)數(shù).例2：設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)x3-x2-x,a.求f(x)的極值；當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲

6、線y=f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn).例3.已知x=3是函數(shù)fx)=aln(1,x+x2-10 x的一個(gè)極值點(diǎn)。(1)求a；求函數(shù)f(x的單調(diào)區(qū)間；若直線y=b與函數(shù)y=f(x的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍。第二部分：在四次函數(shù)中的應(yīng)用由于四次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為三次函數(shù)，所以四次函數(shù)的問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)問(wèn)題19例4：已知函數(shù)f(x)=x4+x3-x2+cx有三個(gè)極值點(diǎn)。42(I)證明：27c0)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間；若函數(shù)yf(x)的圖像與直線y1恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.只要我們掌握了三次函數(shù)的這些性質(zhì)，在高考中無(wú)論是主觀題還是客觀題，都能找到明確的解題思路，解題過(guò)程也簡(jiǎn)明扼要。四次

7、函數(shù)問(wèn)題，應(yīng)該先求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)問(wèn)題，一般通過(guò)極值等手段解決，這些對(duì)大家來(lái)講都是很容易的。五當(dāng)堂檢測(cè)1(09北京文)(本小題共14分)設(shè)函數(shù)f(x)x33ax+b(a豐0).(I)若曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(x)處與直線y8相切，求a,b的值；(II)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).2(09江西文)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)x3對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,f(x)m恒成立，求m的最大值；若方程f(x)，0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍.(09全國(guó)理)本小題滿分12分。(注意：在試題卷上作答無(wú)效)設(shè)函數(shù)f(x，X3+3bx2+3cx在兩個(gè)極值點(diǎn)X、X，且XG一1，,xG1,21212(I)求b、c滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫(huà)出滿足這些條件的點(diǎn)(