中考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)15《全等三角形》知識講解+鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)版）（含答案）

1、PAGE 中考總復(fù)習(xí)：全等三角形知識講解【考綱要求】1. 掌握全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準確地辨認全等三角形中的對應(yīng)元素；2探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進行證明，掌握綜合法證明的格式；3. 善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對頂角等，靈活選擇適當?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚€三角形全等.【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】考點一、基本概念1.全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性質(zhì)（1）全等三角形對應(yīng)邊相等；（2）全等三角形對應(yīng)角相等.要點詮釋：全等三角形的周長、面積相等；對應(yīng)的高線，中線，角平分線相等.3.全等三角形的判定方法（1）三邊對應(yīng)相等的兩個三

2、角形全等(SSS)；（2）兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（ASA）；（3）兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(AAS)；（4）兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SAS)；（5）斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(HL).考點二、靈活運用定理三角形全等是證明線段相等，角相等的最基本、最常用的方法，這不僅因為全等三角形有很多重要的角相等、線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來應(yīng)用三角形全等的判別方法注意以下幾點：1. 條件充足時直接應(yīng)用判定定理要點詮釋：在證明與線段或角相等的有關(guān)問題時，常常需要先證明線段或角所在的兩個三

3、角形全等.這種情況證明兩個三角形全等的條件比較充分，只要認真觀察圖形，結(jié)合已知條件分析尋找兩個三角形全等的條件即可證明兩個三角形全等2. 條件不足，會增加條件用判定定理要點詮釋：此類問題實際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補充三角形全等的條件解這類問題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，即從求證入手，逐步分析，探索結(jié)論成立的條件，從而得出答案3. 條件比較隱蔽時，可通過添加輔助線用判定定理要點詮釋：在證明兩個三角形全等時，當邊或角的關(guān)系不明顯時，可通過添加輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順利運用全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等常見的幾種

4、輔助線添加： 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”；遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”；遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理；過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”；截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作

5、法，適合于證明線段的和、差、倍、分之類的題目【典型例題】類型一、全等三角形1如圖，BD、CE分別是ABC的邊AC和AB上的高，點P在BD的延長線上，BP=AC，點Q在CE上，CQ=AB求證：（1）AP=AQ；（2）APAQ【思路點撥】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題【答案與解析】證明：（1）BD、CE分別是ABC的邊AC和AB上的高， 1+CAE=90，2+CAE=90 1=2,在AQC和PAB中， AQCPAB AP=AQ. (2) AP=AQ，QAC=P， PAD+P=90， PAD+QAC=90，即PAQ=90 APAQ【總結(jié)升華】在確定全等條件時，注意隱含條件的尋找.舉一反三：

6、【高清課堂：全等三角形 例8】【變式】 （2015永州）如圖，在四邊形ABCD中，A=BCD=90，BC=DC延長AD到E點，使DE=AB（1）求證：ABC=EDC；（2）求證：ABCEDC【答案與解析】（1）證明：在四邊形ABCD中，BAD=BCD=90，90+B+90+ADC=360，B+ADC=180，又CDE+ADC=180，ABC=CDE，（2）連接AC，由（1）證得ABC=CDE，在ABC和EDC中，ABCEDC（SAS）類型二、靈活運用定理2如圖，已知AD為ABC的中線，且12,34,求證：BECFEF.【思路點撥】將所求的線段轉(zhuǎn)移到同一個或相關(guān)聯(lián)的三角形中進行求解【答案與解析】

7、證明：延長ED至M，使DM=DE，連接 CM，MF,在BDE和CDM中， BDECDM（SAS）BE=CM. 又12，34 ， 1234180， 32=90，即EDF90， FDMEDF 90在EDF和MDF中 EDFMDF（SAS）, EFMF （全等三角形對應(yīng)邊相等）, 在CMF中，CFCMMF（三角形兩邊之和大于第三邊）, BECFEF.【總結(jié)升華】當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中.舉一反三：【變式】如圖所示，AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求證：AC=BF.【答案】證明：延長AD到H，使得DH

8、=AD，連結(jié)BH， D為BC中點， BD=DC，在ADC和HDB中， ADCHDB(SAS)， AC=BH, H=HAC， EA=EF， HAE=AFE，又 BFH=AFE， BH=BF， BF=AC3如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分BAD，ABAD，試判斷AB-AD與CD-CB的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論【思路點撥】解答本題的關(guān)鍵是熟練運用三角形中大邊對應(yīng)大角的關(guān)系【答案與解析】AB-ADCD-CB；證明：在AB上取一點E，使得AE=AD，連結(jié)CE AC平分BAD， 1=2 在ACE和ACD中， ACEACD CD=CE 在BCE中，BECE-CB， 即AB-AECE-CB， AB-A

9、DCD-CB【總結(jié)升華】本題也可以延長AD到E，使得AE=AB，連結(jié)CE涉及幾條線段的大小關(guān)系時，用“截長補短”法構(gòu)造全等三角形是常用的方法舉一反三：【變式】如圖所示，已知ABC中ABAC，AD是BAC的平分線，M是AD上任意一點，求證：MBMCABAC【答案】證明：ABAC，在AB上截取AEAC，連接ME在MBE中，MBMEBE（三角形兩邊之差小于第三邊）在AMC和AME中，AMCAME（SAS）MCME（全等三角形的對應(yīng)邊相等）又BEABAE，BEABAC，MBMCABAC4如圖，在ABC中，ABC=60，AD、CE分別平分BAC、ACB，求證：AC=AE+CD 【思路點撥】在AC上取AF

10、=AE，連接OF，即可證得AEOAFO，得AOE=AOF；再證得COF=COD，則根據(jù)全等三角形的判定方法AAS即可證FOCDOC，可得DC=FC，即可得結(jié)論【答案與解析】在AC上取AF=AE，連接OF，AD平分BAC、EAO=FAO，在AEO與AFO中，AEOAFO（SAS），AOE=AOF；AD、CE分別平分BAC、ACB，ECA+DAC=（180-B）=60則AOC=180-ECA-DAC=120；AOC=DOE=120，AOE=COD=AOF=60，（對頂角相等）則COF=60，COD=COF，又FCO=DCO，CO=CO，F(xiàn)OCDOC（ASA），DC=FC，AC=AF+FC，AC=A

11、E+CD【總結(jié)升華】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及到三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵類型三、綜合運用5 （2015泰安）如圖，ABC是直角三角形，且ABC=90，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點，BD平分ABC，點F在AB上，且BF=BC求證：（1）DF=AE；（2）DFAC【思路點撥】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可寫出結(jié)論（2）要證明以上結(jié)論，需創(chuàng)造一些條件，首先可從ABC中分出一部分使得與ACF的面積相等，則過A作AMFC交BC于M，連接DM、EM，就可創(chuàng)造出這樣的條件，然后再證其它的面積也相等即可【答案與解析】證明：（1）延長DE交AB于點G，連接A

12、D四邊形BCDE是平行四邊形，EDBC，ED=BC點E是AC的中點，ABC=90，AG=BG，DGABAD=BD，BAD=ABDBD平分ABC，ABD=BAD=45，即BDE=ADE=45又BF=BC，BF=DE在AED與DFB中，AEDDFB（SAS），AE=DF，即DF=AE；（2）設(shè)AC與FD交于點O由（1）知，AEDDFB，AED=DFB，DEO=DFGDFG+FDG=90，DEO+EDO=90，EOD=90，即DFAC【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l

13、件舉一反三：【高清課堂：全等三角形 例9】【變式】如圖，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90,四邊形ACDE是平行四邊形，連結(jié)CE交AD于點F，連結(jié)BD交CE于點G，連結(jié)BE. 下列結(jié)論中： CE=BD； ADC是等腰直角三角形； ADB=AEB； CDAE=EFCG；一定正確的結(jié)論有( ) A1個 B2個 C3個 D4個ABCDEFG【答案】D.6如圖，已知ABC.（1）請你在BC邊上分別取兩點D、E(BC的中點除外)，連結(jié)AD、AE，寫出使此圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形；（2）請你根據(jù)使(1)成立的相應(yīng)條件，證明AB+ACAD+AE【

14、思路點撥】考查了三角形面積的求法，全等三角形的判定以及三角形三邊的關(guān)系本題（2）中通過構(gòu)建全等三角形將已知和所求條件轉(zhuǎn)化到相關(guān)的三角形中是解題的關(guān)鍵【答案與解析】（1）令BD=CEDE,有ABD和ACE，ABE和ACD面積相等.（2）取DE的中點O，連結(jié)AO并延長到F點，使得FO=AO，連結(jié)EF，CF在AD0和FEO中，又AOD=FOE，DO=EO,可證ADOFEO所以AD=FE因為BD=CE，DO=EO，所以BO=CO.同理可證ABDFCO，所以AB=FC.延長AE交CF于G點,在ACG中，AC+CGAE+EG，在EFG中，EG+FGEF,可推得AC+CG+EG+FGAE+EG+EF,即AC

15、+CFAE+EF,所以AB+ACAD+AE.【總結(jié)升華】正確構(gòu)造全等和利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊的結(jié)論是關(guān)鍵.舉一反三：【變式】在ABC中，,ACB=90，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且ADMN于D，BEMN于E.(1)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，求證：DE=AD+BE；(2)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，求證：DE=AD-BE；(3)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，試問：DE、AD、BE有怎樣的等量關(guān)系?請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明【答案】(1)證明：ACD+BCE=90DAC+ACD=90， DAC=BCE 又AC=BC，ADC=BEC=90， ADCCEBCD=B

16、E，AD=CEDE=CE+CD=AD+BE（2）證明：ACD+BCE=90DAC+ACD=90，DAC=BCE又AC=BC，ADC=BEC=90，ADCCEBCD=BE，AD=CEDE=AD-BE（3）證明：ACD+BCE=90DAC+ACD=90，DAC=BCE又AC=BC，ADC=BEC=90，ADCCEBCD=BE，AD=CEDE=BE-AD中考總復(fù)習(xí)：全等三角形鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一、選擇題1如圖，ABC是不等邊三角形，DE=BC，以D、E為兩個頂點畫位置不同的三角形，使所畫的三角形與ABC全等，這樣的三角形最多可畫出( ) .A.2個 B.4個 C.6個 D.8個 2如圖，RtABC

17、中，BAC=90，AB=AC，D為AC的中點，AEBD交BC于E，若BDE=，ADB的大小是（ ）A B C D 3如圖，ABC中，C為鈍角，CF為AB上的中線，BE為AC上的高，若CF=BE，則ACF的大小是（ ）.A45 B60 C30 D不確定 4如圖，ABC中，BAC=90 ADBC，AE平分BAC，B=2C，DAE的度數(shù)是( ) .A. 45 B. 20 C. 30 D. 15 5（2014春安岳縣校級期中）如圖，六邊形ABCDEF中，每一個內(nèi)角都是120，AB=12，BC=30，CD=8，DE=28求這個六邊形的周長為（）A125 B126 C116 D108 6. 如圖，ABBC

18、，BEAC，12，ADAB，則（ ）.A1EFD BBEEC CBFDFCD DFDBC二、填空題7如圖，ABE和ADC是ABC分別沿著AB，AC翻折180形成的。若1:2:3=28:5:3，則的度數(shù)為_.8如圖，把ABC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)35，得到，交于點，若，則A=_.9如圖，已知的周長是20，分別平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD3，ABC的面積是_. 10如圖，直線AEBD，點C在BD上，且點C為BD中點，若AE4，BD8，ABD的面積為16，則 的面積為_11（2015綏化）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，OEF是正三角形，且AE=BF，則AOE= 12將一列有理數(shù)1，2

19、，3，4，5，6，如圖所示有序排列根據(jù)圖中的排列規(guī)律可知，“峰1”中峰頂?shù)奈恢茫–的位置）是有理數(shù)4，那么，“峰6”中C 的位置是有理數(shù) ，2008應(yīng)排在A、B、C、D、E中 的位置.峰n峰1峰2 三、解答題13. 已知：如圖，過ABC的邊BC的中點M作直線平行于BAC的平分線AD，而且交直線AB、AC于E、F.求證： 14.如圖，ACD和BCE都是等腰直角三角形，ACDBCE90，AE交DC于F，BD分別交CE，AE于點G、H.試猜測線段AE和BD的位置和數(shù)量關(guān)系，并說明理由. 15如圖，已知中，厘米，厘米，點為的中點（1）如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在

20、線段CA上由C點向A點運動若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請說明理由；若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使與全等？（2）若點Q以中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在的哪條邊上相遇？ 16.（2015營口）【問題探究】（1）如圖1，銳角ABC中分別以AB、AC為邊向外作等腰ABE和等腰ACD，使AE=AB，AD=AC，BAE=CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理由【深入探究】（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm

21、，ABC=ACD=ADC=45，求BD的長（3）如圖3，在（2）的條件下，當ACD在線段AC的左側(cè)時，求BD的長【答案與解析】一、選擇題1.【答案】B.2.【答案】C.【解析】作關(guān)于BC的對稱圖形，作的中點，連接，則容易證明，說明和AE在同一條直線上的線段，根據(jù)對稱性交于E點，所以與DE在同一條直線上，容易證明 所以所以 3.【答案】C【解析】延長CF到D，使CD=2CF，容易證明AFC，所以D=FCA，所以ACBD，因為CF=BE，所以CD=2BE，即AC與BD之間的距離等于CD的一半，所以D=30所以內(nèi)錯角ACF=30 4.【答案】D.5.【答案】C.【解析】如圖，分別作直線AF、ED、B

22、C的延長線和反向延長線使它們交于點G、H、P六邊形ABCDEF的六個角都是120，六邊形ABCDEF的每一個外角的度數(shù)都是60PGH、BGA、DHC、EFP都是等邊三角形GB=AB=AG=12，DH=CH=CD=8GH=12+30+8=50，F(xiàn)E=PE=PHEDDH=50288=14，AF=PGPFAG=501412=24六邊形的周長為：24+12+30+8+28+14=116故選：C6.【答案】D.二、填空題7【答案】80.【解析】由三角形內(nèi)角和是180知1=140，2=25，3=15, 由翻折知：ABE=2，ACD=3, 8【答案】55.【解析】由旋轉(zhuǎn)知： ,， ， 55, 55.9【答案】30 .【解析】提示：面積法10【答案】8.11【答案】15.【解析】四邊形ABCD是正方形，OA=OB，AOB=90OEF是正三角形，OE=OF，EOF=60在AOE和BOF中，AOEBOF（SSS），AOE=BOF，AOE=（AOBEOF）2=（9060）2=15. 故答案為1512【答案】29 , B .三、解答題13.【答案與解析】證明：延長FM到G，使，連接 M為BC的中點， BMGCMF G=2，CF=BG,又 平分，M