D51定積分概念與性質(zhì)x課件

1、第五章定積分 積分學(xué)不定積分定積分第1頁，共24頁。第一節(jié)一、定積分問題舉例二、 定積分的定義三、 定積分的近似計(jì)算定積分的概念及性質(zhì) 第五章 四、 定積分的性質(zhì)第2頁，共24頁。一、定積分問題舉例1. 曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成 ,求其面積 A .矩形面積梯形面積第3頁，共24頁。解決步驟 :1) 分割：在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形;2) 近似代替：在第i 個窄曲邊梯形上任取作以為底 ,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得第4頁，共24頁。3) 求和：4) 取極限：令則曲邊梯形面積第5頁，

2、共24頁。2. 變速直線運(yùn)動的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動,且求在運(yùn)動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s.解決步驟:1) 分割：將它分成在每個小段上物體經(jīng)2) 近似代替：得已知速度n 個小段過的路程為第6頁，共24頁。3) 求和：4) 取極限 ：上述兩個問題的共性: 解決問題的方法步驟相同 :“近似 , 代替 , 求和 , 取極限 ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限第7頁，共24頁。二、定積分定義 (P225 )任一種分法任取總趨于確定的極限 I , 則稱此極限 I 為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時稱 f ( x ) 在 a , b 上可積 .記作第8頁，共24頁。積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)

3、式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) ,而與積分變量用什么字母表示無關(guān) ,即第9頁，共24頁。定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和第10頁，共24頁?？煞e的充分條件:取定理1.定理2.且只有有限個間斷點(diǎn) (證明略)例1. 利用定義計(jì)算定積分解:將 0,1 n 等分, 分點(diǎn)為第11頁，共24頁。注注 注. 當(dāng)n 較大時, 此值可作為 的近似值第12頁，共24頁。注 利用得兩端分別相加, 得即第13頁，共24頁。三. 定積分的近似計(jì)算根據(jù)定積分定義可得如下近似計(jì)算方法:將 a , b 分成 n 等份: 1. 左矩形公式例12. 右矩形公式第14頁，共24頁

4、。3. 梯形公式第15頁，共24頁。四、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)( k 為常數(shù))第16頁，共24頁。當(dāng) a , b , c 的相對位置任意時, 例如則有第17頁，共24頁。6. 若在 a , b 上則證:推論1. 若在 a , b 上則第18頁，共24頁。推論2.證:即7. 設(shè)則第19頁，共24頁。8. 積分中值定理則至少存在一點(diǎn)使證:則由性質(zhì)7 可得根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使因此定理成立.性質(zhì)7 第20頁，共24頁。說明: 可把故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣. 積分中值定理對因第21頁，共24頁。例3. 試證:證: 設(shè)則在上, 有即故即第22頁，共24頁。內(nèi)容小結(jié)1. 定積分的定義 乘積和式的極限2. 定積分的性質(zhì)3. 積分中值定理矩形公式 梯形公式連續(xù)